导数、微分部分可选用例

导数、微分部分可选用例 北京邮电大学理学院张文博

影子的速度 张文博，孙洪祥假设一盏路灯高度为 H，一个人从路灯下走过，他的身高为 h，假设他行走的速度是固定的，试考虑他在地面上的影子头顶移动的速度。

影子的速度 H h O P Q P’ Q’ 为讨论这个问题，首先如图所示建立坐标系统。假定他行走的速度为 v，且当 t = t0时，P点的坐标为 (a, 0)，则影子头顶的位置 Q的坐标为

影子的速度 H h O P Q P’ Q’ 如果 Dt小时后，P点移动到 P’，则 P’ 的坐标为点 Q 移动到 Q’，Q’ 坐标可求得为

影子的速度 H h O P Q P’ Q’ 综上，影子头顶位置的平均速度就是当 Dt → 0 时，若上式右端的极限存在，即可得任意一点处影子头顶的速度。

影子的速度 接下来的事情就是可以引入导数的定义了。

返回舱外壳材料选择 张文博 2001年1月10日1时0分前，“神舟二号”飞船正与“长征2号F”运载火箭对接。 2003年1月5日晚7时许，“神舟”四号飞船顺利回收。

返回舱外壳材料选择 工程师需要设计返回舱的材料，以适应返回舱在进入大气层的时候强烈的高温。然而，除了对材料本身要求耐高温之外，对材料的韧性还有着重要的要求。为对材料进行选择，假设工程师已经确定了在任意给定的深度 x，温度 u在材料内的分布（其中，温度是无量纲化后的，0 ≤ u ≤ 1；深度也是无量纲化后的， 0 ≤ x ≤ 1），工程师需要确定温度变化最快的位置。

返回舱外壳材料选择 从图中容易看出，在点 P(0.5, 0.5) 处，函数的斜率是最大的。事实上，从下图容易看出，从 Q 到 P 温度的平均变化率为然而，这个平均值无法告诉我们在点 P温度的变化率。为此，考虑当 Q点逐渐接近 P点时，平均温度变化的趋势。

返回舱外壳材料选择

返回舱外壳材料选择 接下来的事情就是可以引入导数的定义了。

滑雪中的数学问题 张文博滑雪场通常是建在山坡上的，而且为保证滑雪者的安全，通常都对滑雪道的难度进行了规定。例如根据滑雪者下坡的角度不同，通常分为练习道、普通道和高级道。如何在给定的山坡上建立满足规定的滑雪道？

滑雪中的数学问题 假定，如图所示，整个山坡可以表示成为一个曲面 z = f (x, y)（函数 z = f (x, y) 可微），且其在 xOy坐标系中的投影区域为 D；又假设滑道下降的坡度不超过 5 度。这个问题等价于问，在山坡上，任意一个给定点 (x, y) 处，沿什么方向走单位步长，函数 z = f (x, y)下降的值不超过 arctan 5o ？

滑雪中的数学问题 接下来的事情就是可以引入方向导数的定义了，并且可以指出，梯度方向是函数增加最快的方向，其相反方向是函数减少最快的方向。

导数、微分部分可选用例

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