一、数列极限的定义

Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学 §1.2 数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、小结思考题

一、数列极限的定义 1、概念的引入 ⑴背景知识极限(Limit)是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如， 3世纪中国数学家刘徽的割圆术，即用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似计算圆周率π的，随着微积分的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由柯西和维尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。

正六边形的面积 正十二边形的面积正形的面积一、数列极限的定义 ⑵引例： ①割圆术 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

一、数列极限的定义 ②截丈问题 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”—— 庄周 ③人追乌龟的故事: 10 1

一、数列极限的定义 2、数列的定义 ⑴定义: xn= f (n)的定义域为N +, 当n按自然数1,2, 3 ,… 顺序编号依次排列的一列数 x1 ,x2 ,x3, …,xn,… 称为(无穷)数列。 ⑵通项:xn= f (n)，数列简记为{xn}。例如 ⑶几何意义数列对应着数轴上一个点列。可看作一动点在数轴上依次取

一、数列极限的定义 3、数列的变化趋势 ——极限 ⑴ 演示实验：播放

一、数列极限的定义 问题① 当n→∞时, xn→某确定数值？若是, 如何确定？通过上面演示实验的观察: 问题② “无限接近”意味什么？如何用数学语言刻划它.

一、数列极限的定义 ⑵ 定义 ① 定性定义：设{xn}为一数列, 若存在常数a, 对任给定的正数ε(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n >N时，不等式| xn -a |<ε都成立,那么就称a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为或。注： a)不等式| xn-a |<ε刻划了xn与a的无限接近； b)ε的任意性，N的存在性， N依赖ε。 c)意义: 用一个有限数，概括出一个无限变化的量(用常量研究变量)。 ②发散：如果数列没有极限，就说数列是发散的。注：发散有三种: 极限为 ①不存在；②-∞；③+∞。

一、数列极限的定义 ③精确定义(ε-N定义) Any表任意(给) Exist表存在或至少有一个 ⑶几何意义: 注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.

一、数列极限的定义 例1 证所以,

用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N，但不必要求最小的N。一、数列极限的定义例2 证所以, 说明: 常数列的极限等于同一常数. 小结:

一、数列极限的定义 例3 证

一、数列极限的定义 例4 证

二、收敛数列的性质 1、唯一性定理1如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。证由定义，故收敛数列极限唯一.

二、收敛数列的性质 2、有界性定义:对数列{xn} ,若存在M >0 ,使得对一切xn,恒有|xn |≤ M 成立, 则称数列{xn}有界; 否则, 称为无界。例如:数列xn =n /(n+1) 有界；数列xn =2n无界。注：数轴上对应于有界数列的点xn都落在[-M,M]上. 定理2收敛的数列必定有界. 证由定义, 推论无界数列必定发散. 注：有界性是数列收敛的必要条件.

二、收敛数列的性质 例5 证由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内.

二、收敛数列的性质 3、保号性定理3 证就a >0情形证。推论证

二、收敛数列的性质 4、子数列的收敛性定义:在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）。例如: 注：定理4收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．证证毕．

中的错误． 指出下列证明要使只要使证明从而由得取当时, 必有成立 §1.2 数列的极限一、数列极限的定义练习:P30 1. 2. 3.(1)(4); 4. 思考题 1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列变化趋势—极限二、收敛数列的性质 1、唯一性 2、有界性 3、保号性 4、子数列的收敛性作业：第30~31页 3.(2)(3); 5. 6. 三、小结

!思考题解答 即证明中没有采用“适当放大” 的值 ~ （等价）证明中所采用的实际上就是不等式反而缩小为仅有成立，从而时，但不是的充分条件．

一、数列极限的定义

一、数列极限的定义

Presentation Transcript