Decadimento b

1. Decadimento b

2. Decadimento b • Decadimento b-: • Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un neutone in un protone • Decadimento b+: • Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un protone in un neutrone

3. Cattura elettronica • Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone • Stesso effetto di un decadimento b+ • L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo • Nota: • La cattura elettronica ha un Q-valore più alto del decadimento b+ e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale • Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola (<1.022 MeV) per consentire il decadimento b+, ma la cattura elettronica può invece avvenire, ad esempio: 83Rb decade in 83Kr (DM = 0.9 MeV) solo attraverso cattura elettronica

4. Dal modello a goccia (1) • Dalla formula della massa di un nucleo, per A fissato si vede una dipendenza parabolica da Z: • che ha un minimo per:

5. Dal modello a goccia (2) • Nuclei con A dispari: • Il parametro d vale 0 e quindi M(A,Z) ha un solo valore • Fissato A esiste un solo isobaro stabile con Z=Z0

6. Dal modello a goccia (3) • Nuclei con A pari • M(A,Z) assume due valori diversi per nuclei pari-pari e dispari-dispari • Possono esserci fino a 3 isobari stabili per i nuclei pari-pari • Tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili • Uniche eccezioni sono: 2H, 6Li, 10B e 14N in cui le parabole sono disposte come in figura b) nuclei dispari-dispari nuclei pari-pari

7. Dal modello a goccia (4) • Nuclei con A pari • Caso particolare in cui A=14

8. Teoria elementare di Fermi • Modello del 1934 basato sulla teoria di Fermi delle interazioni deboli • Si usa la seconda regola d’oro di Fermi per calcolare il rate di decadimento: • Ipotesi: • La hamiltoniana di interazione è un operatore che agisce sui campi fermionici mediante assorbimento o emissione di fermioni • L’interazione è a corto raggio d’azione (interazione a contatto) • Spiegato nella teoria elettro-debole dall’alto valore di massa dei mesoni W che mediano l’interazione debole

9. Densità degli stati finali (1) • Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi • Il numero di stati in cui l’elettrone ha quantità di moto compresa nell’intervallo tra pe e pe+dpe e il neutrino nell’intervallo compreso tra pν e dpv è dato da: • Integrato su tutte le possibili direzioni della quantita’ di moto ( ∫dW=4p ) • Integrato su tutte le possibili coordinate all’interno del volume di normalizzazione ( ∫d3x=V ) • Il volume della celletta di quantizzazione vale h3

10. Densità degli stati finali (2) • Si introduce l’energia Ef a disposizione nello stato finale: • dove si è trascurata l’energia cinetica di rinculo del nucleo • Da cui per Ee fissato:

11. Densità degli stati finali (2) • Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi • Sostituendo • Si ricava:

12. Densità degli stati finali (3) • La densità degli stati finali per i quali l’elettrone ha una quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe quando l’energia totale è compresa tra Ef e Ef+dEf è quindi: • che in caso di massa nulla del neutrino si riduce a: End point: Ef=Ee pmax=√(Ef2-me2c4) mn>0 mn=0

13. Campo coulombiano del nucleo • Deformazione dello spettro beta dovuta all’interazione dell'elettrone (positrone) con il campo coulombiano del nucleo. • L'effetto è diverso per il decadimento b-, in cui il potenziale è attrattivo, e per il decadimento b+, in cui il potenziale è repulsivo • La distribuzione di momento degli elettroni (positroni) diventa: • F(ZD,Ee) è la funzione di Fermi che è stata calcolata e tabulata ed è apprezzabilmente dievrsa da 1 solo per ZD (numero di protoni nel nucleo figlio) grandi o energie piccole

14. Grafico di Fermi-Kurie (1) • Se si riscrive la distribuzione di momento degli elettroni emessi come: • Nel caso di massa nulla del neutrino si ha: • che mostra una dipendenza lineare da Ee • La retta, in caso di massa nulla del neutrino interseca l’asse x nel punto Ee=Ef • Questo modo di presentare i dati sperimentali è il grafico di Fermi-Kurie • La conferma sperimentale dell'andamento previsto costituisce il primo successo della teoria di Fermi.

15. Grafico di Fermi-Kurie (2) • La misura della distribuzione vicino all’end-point (Emax) della distribuzione, fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. • La misura più precisa è stata fatta studiando il decadimento del Trizio: • Nuclei semplici, correzioni facili da valutare • Energia disponibile nello stato finale è piccola (530 keV) -> aumenta la sensibilità della misura

16. Elemento di matrice (1) • Elemento di matrice per un decadimento b: • yNi è la funzione d’onda che descrive il nucleone “genitore” all’interno del nucleo prima del decadimento • ye e yn sono le funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino • yNf è la funzione d’onda che descrive il nucleone “figlio” all’interno del nucleo dopo il decadimento • L’integrale è esteso al volume del nucleo • Nella teoria di Fermi si fa l’ipotesi che l’interazione avvenga “a contatto”, per cui l’hamiltoniana di interazione vale: • dove g è la costante di accoppiamento che ha dimensioni [energia x volume] e misura l’intensità dell’interazione • L’elemento di matrice risulta quindi:

17. Elemento di matrice (2) • Dall’ipotesi di raggio d’azione nullo per Hint, segue che elettrone e neutrino sono particelle in moto libero dopo il decadimento • Si trascura l’interazione coulombiana dell’elettrone con il nucleo, che è stata inclusa nel fattore di Fermi • Il volume di integrazione (il nucleo) ha un raggio di qualche fermi e le energie dell’elettrone sono dell’ordine del MeV, quindi pr<<1 e si può approssimare: • Quindi, al primo ordine, l’elemento di matrice si riduce all’integrale delle funzioni d’onda dei nucleoni coinvolti nel decadimento:

18. Rate di decadimento • La probabilità di transizione per unità di tempo per emissione di elettroni con quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe dalla seconda regola d’oro di Fermi vale quindi: • che in caso di massa del neutrino nulla o trascurabile diventa:

19. Vita media (1) • La vita media è data da: • dove 0 - pmax è il range di energie dell’elettrone nello stato finale • Per calcolare l’integrale conviene introdurre le variabili: • da cui: • e quindi:

20. Vita media (2) • L’integrale che compare nella formula della vita media dipende solo dal limite superiore di integrazione pmax, o h0 • Si pone: • E quindi: • La vita media risulta essere il prodotto di: • Una costante (mec2)5/2p3ħ(ħc)6 = 1.46104 MeV-2fm-6s-1 • Il quadrato della costante di accoppiamento, dimensioni: MeV2fm6 • Il quadrato dell’elemento di matrice adimensionale Mif • La funzione adimensionale f(ZD,h0) che dipende dalla carica del nucleo e del limite superiore di integrazione h0=pmax/mec

21. Costante di accoppiamento • Il rapporto G=g/(ħc)3 è la costante di Fermi che ha le dimensioni di [Energia-2] • Dal decadimento beta del neutrone si misura: • Dalla misura della vita media del muone si ricava: • che è detta costante universale di Fermi • Si conclude che l’accopiamento del campo debole con i leptoni non è esattamente uguale a quello con i quark • L’origine di questa differenza è dovuta al mixing dei sapori dei quark attraverso l’angolo di Cabibbo • L’accoppiamento debole tra quark u e d vale gcos C

22. f(ZD,h0) • I valori della funzione f(ZD,h0) sono stati calcolati e tabulati • Risulta molto sensibile all’energia dell’end-point

23. Legge di Sargent • In decadimenti in cui l’energia disponibile Ef è >> mec2, si ha: h0=pmax/mec>>1 e F(Z,h)≈1. • Si può quindi approssimare: • E quindi (essendo pmaxc ≈ Emax=Ef): • Questa approssimazione ci dà la legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale • Questo è uno dei motivi alla base delle diverse vite medie dei decadimenti b dei nuclei

24. Legge di Sargent • Legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale

25. Valore di log-ft • Si possono usare le misure della vita media dei nuclei per ricavare il valore di g|Mif| che contiene l’informazione sulla struttura nucleare • E’ conveniente introdurre il valore ft (ft-value) definito come il prodotto di f(Z,h0) e del tempo di dimezzamento t1/2=tln2 • Può essere interpretato come la vita media corretta per gli effetti nucleari (Z) e per l’energia a disposizione (h0) • Il valore di ft varia tra un minimo di 103 s e un massimo di 1022 s, per cui di solito si usa il log-ft value che è il logaritmo il base 10 del ft-value

26. Momento angolare • Conservazione del momento angolare nel decadimento beta: • JP e JD sono lo spin dei nuclei genitore e figlio, L (=Le+Ln) il momento angolare orbitale dei leptoni, e S (=Se+Sn) lo spin dei leptoni • Un ragionamento semiclassico ci dice che il momento angolare orbitale dell’elettrone e del neutrino è dato da: • dove b è il parametro di impatto e R il raggio del nucleo • Si ricava: • dato che R è dell’ordine di qualche fm e pe è al più dell’ordine di qualche MeV/c • I decadimenti con l=0 si chiamano permessi, quelli con l>0 proibiti • I leptoni sono emessi preferenzialmente senza momento angolare orbitale • La somma degli spin dei leptoni deve bilanciare la variazione di momento angolare del nucleo

27. Spin nel decadimento beta • Gli spin dell’elettrone (positrone) e del neutrino possono essere paralleli o anti-paralleli. • Spin di en antiparalleli  (S=0) -> transizioni di Fermi • Elettrone e neutrino sono in uno stato di singoletto • Spin di en paralleli   (S=1) -> transizioni di Gamow-Teller • Elettrone e neutrino sono in uno stato di tripletto • Entrambi i tipi di transizione possono avvenire • Un singolo decadimento beta può essere una mistura dei due tipi di transizione

28. Transizioni permesse e proibite • I decadimenti con l=0 si chiamano permessi, quelli con l>0 proibiti • NOTA: questa non è un vera e propria regola di selezione: decadimenti con l>0 sono possibili, anche se improbabili • Le funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino: • possono essere viste come uno sviluppo in serie nel numero quantico l • Il prodotto pr/ħ è dell’ordine di 10-2: i termini della successione diventano via via più piccoli • Il valore log-ft dipende dal modulo quadrato di Mif, quindi ogni unità di l porta un fattore di soppressione del rate di decadimento dell’ordine di 10-3-10-4 • Il primo termine della serie (=il valore di lpiù basso) che rispetta la conservazione del momento angolare domina in Mif e quindi determina il valore di log-ft e il rate di transizione

29. Parità • Per transizioni permesse (l=0) la parità del nucleo deve rimanere immutata, visto che Pf=Pi (-1)l • L’elemento di matrice al prim’ordine si annulla se la parità del nucleo cambia • Transizioni in cui cambia la parità del nucleo devono essere quindi descritte dai termini successivi dello sviluppo: • Il primo termine corrisponde a transizioni con l=1 e cambio di parità -> decadimenti primo-probiti (first-forbidden) • Soppresse di un fattore 10-4 vita media più lunga di un fattore 104 • Il termine successivo corrisponde a transizioni con l=2 senza cambio di parità -> decadimenti doppio-probiti (double-forbidden)

30. Regole di selezione • Le regole che mettono in relazione le caratteristiche del decadimento (=variazione di momento angolare e parità del nucleo) con l’ordine della transizione (permessa, primo proibita …) si chiamano regole di selezione • La transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft

31. Transizioni permesse • Transizioni permesse: • Il momento angolare orbitale della coppia elettrone-neutrino è 0, lo spin è 1/2, quindi il momento angolare totale portato via della coppia elettrone neutrino può essere J=0 o J=1 • Quindi nei decadimenti beta permessi, la variazione di momento angolare tra nucleo padre e figlio sarà DJ=0 o DJ=1 • Transizioni permesse di Fermi (S=0, ): • Le transizioni permesse lasciano immutati il momento angolare e la parità del nucleo • Transizioni permesse di Gamow-Teller (S=1,  ): • Le transizioni beta permesse lasciano immutata la parità del nucleo, ma c’è un cambio di momento angolare: • Il caso 00 è escluso perché non c’è momento angolare da portare via

32. Esempi di transizioni permesse Pura transizione di Gamow-Teller • Il rate di decadimento e l'elemento di matrice Mif dipendono da: • overlap dalle funzioni d’onda dei nucleoni nel nucleo. • principio di esclusione di Pauli che impedisce che il nuovo nucleone vada in uno stato già occupato Pura transizione di Fermi Transizioni miste (DJ=0, ma Ji0)

33. Transizioni super-permesse • Transizioni super-permesse: • Se le funzioni d’onda nel nucleo dei nucleoni genitore e figlio si overlappano perfettamente, il probabilità di decadimento diventa grande • Caso in cui il protone e il neutrone coinvolti nel decadimento hanno gli stessi numeri quantici • I valori ft per questo tipo di decadimento sono simili a quelli del decadimento del neutrone libero • Sono tipicamente decadimenti b+ (eccezione il decadimento del 3H in 3He) • La repulsione Coulombiana nel nucleo separa leggermente i livelli energetici dello stesso multipletto di isospin, con energie più elevate per stati con più protoni e meno neutroni • Esempio: 14O 14N p n 1p1/2 p n b+ 1p1/2 1p3/2 1p3/2 1s1/2 1s1/2 14O 14N

34. Permesse e super-permesse • Distribuzioni di log-ft (logf dalla teoria + logt1/2 misurato) per transizioni permesse e super-permesse: • La larghezza della distribuzione di log-ft all’interno di una classe è dovuta alla variazione dell’elemento di matrice Mif • Esempio: 14C14N (transizione permessa di Gamow-Teller pura) • t1/2=5730 anni • log-ft = 9.04 ( >> dei valori tipici dei decadimenti permessi )

35. Transizioni proibite • La transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft • Per transizioni proibite (l>0) l’elemento di matrice Mif dipende dal momento dell’elettrone • Ha effetto anche sulla forma dello spettro dell’elettrone emesso • Un grafico di Fermi-Kurie non-lineare è un’indicazione che una certa transizione è di tipo proibito

36. Esempi di transizioni proibite b- • 40K : t1/2 = 1.27109 anni,ft=1018s • I nucleoni “un-paired” nel 40K si sommano a JP=4-, mentre gli stati base del 40Ar e 40Ca sono 0+ -> decadimento triplo-probito • Il decadimento nel più basso stato eccitato del 40Ar (JP=2+) per cattura elettronica è primo proibito, ma lo spazio delle fasi è molto piccolo perché il Q-valore è di soli 0.049 MeV • 137Cs 137Ba : DJ=2, ft = 4109 s b+ p n p n 1f7/2 p n 1f7/2 1f7/2 1d3/2 1d3/2 1d3/2 40K 40Ca 40Ar