제 6 장 경우의 수

제 6 장 경우의 수 손기락 한국외국어대학교 컴퓨터공학과 1

6.1 기본원리 • 철수의 점심 메뉴 • 식전음식 2 개, 주요리 3 개, 음료 4 개 • 가능한 점심 메뉴 조합은? • NHT, NHM, NHC, NHR, • NCT, NCM, NCC, NCR, • NFT, NFM, NFC, NFR, • SHT, SHM, SHC, SHR, • SCT, SCM, SCC, SCR, • SFT, SNM, SFC, SFR 식전음식(APPETIZERS) Nachos …………… 2.15 Salad ……………… 1.90 주요리(MAIN COURSES) Hamburger ……. 3.25 Cheeseburger... 3.65 Fish Filet ……….. 3.15 음료(BEVERAGES) Tea ………………… .70 Milk ……………….. .85 Cola ………………. .75 Root Beer ……… .75

곱셈원리 곱셈원리(Multiplication principle) 어떤 행위가연속된 k단계로 구성되고, • 단계 1 는 n1가지 방법으로 이루어질 수 있고 • 단계 2 는 n2가지 방법으로 이루어질 수 있고 • … • 단계 k 는 nk 가지 방법으로 이루어질 수 있으면 가능한 모든 경우의 수는 다음과 같다: n1n2…nk

덧셈 원리(Addition Principle) • 8 비트의 이진수 가운데 101 이나 111로 시작하는 것은 몇 개인가? • 101로 시작하는 8 비트 스트링 • 2 2 2 2 2 = 25 = 32 • 111로 시작하는 8 비트 스트링 • 2 2 2 2 2 = 25 = 32 • 101 이나 111로 시작하는 8 비트 스트링 • 32 + 32 = 64

덧셈 원리 덧셈 원리(Addition principle) X1, X2,…, Xk가 k개의 서로소인 집합이고, 각 집합은nj개의 원소를 가지고 있다고 하자, (1 <j<k), X1또는 X2,…, 또는 Xk에서 하나의 원소를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다: n1 + n2 + … + nk 같은 의미로 합집합 X 의 원소의 개수와 같다. k X = Xj j =1

n개의 서로 다른 원소 x1, x2,…, xn의 순열(permutation)은 n개의 원소의 순서를 정하는 것이다. 예: a, b, c의 순열의 수는3! = 6 : abc bac cab acb bca cba 6.2 순열과 조합 정리 6.2.3 n 개의 원소의 순열의 수는n! 이다.

r-permutations • n개의 서로 다른 원소의 r-순열는 {x1, x2,…, xn}의 r개의 원소를 가진 부분 집합의 순서를 정하는 것이다. • 예: • X={a,b,c} 의 2-순열의 수는? 32 = 6 • ab, ac, ba, bc, ca, cb 정리 6.2.10: n개의 서로 다른 객체 집합의r-순열의 수는 다음과 같다: P(n,r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1), rn

정리 6.2.17: r-조합의 수는 다음과 같다 C(n,r) =  =  =  , rn P(n,r) n(n-1)(n-2)…(n-r+1) n! r! r! (n-r)!r! 조합(Combination) X = {x1, x2,…, xn}라 하자 • X의r-조합은순서에 상관없이r개의 원소를 선택하는 것이다, ( r<n ) • r-조합의 수는 다음과 같이 표현한다: C(n,r) or () n r

조합 • 경로의 수 • nn정방 격자의 왼쪽 아래 지점에서 • 오른쪽 위 지점으로 이동 경로의 수는 얼마인가? • 단, 오른쪽이나 위쪽으로만 이동 가능 • Solution • 각 경로는 n개의R과n개의U를 포함하는 스트링이다. • 예: n=4, RUURRURU • C(2n, n) 가능한 경로가 있다.

카탈랑 수(Catalan Number) • 경로의 수 • nn정방 격자의 왼쪽 아래 지점에서 • 오른쪽 위 지점으로 이동 경로의 수는 얼마인가? • 단, 오른쪽이나 위쪽으로만 이동 가능 • 대각선을 넘는 경로는 허용하지 않는다. (o) (x)

카탈랑 수 • Solution • Gn + Bn = C(2n, n) • 좋은 경로(good route): 대각선을 넘지 않는 경로 • 나쁜 경로(bad route): 대각선을 넘는 경로 • Bn = (n+1)(n-1) 격자의 경로의 수. Why? • C(2n, n)- Bn=C(2n, n)- C(2n, n-1) =  -  = ( - )=    =  =  (2n)!(2n)! n!n!(n-1)!(n+1)! (2n)! 1 1 (2n)! 1 n!(n-1)!nn+1 n!(n-1)! n(n+1) (2n)! C(2n, n) (n+1)n!n!n+1

카탈랑 수 • Eugene-Charles Catalan (1814-1894) • 카탕랑 수는 (n = 0, 1, 2,…) Cn = C(2n,n) / (n+1) 처음 10개의 값은 다음과 같다:

6.3 일반화된 순열과 조합 Example • Problem • 다음 글자들을 이용하여 얼마나 많은 문자열을 만들 수 있나? MIS SIS SIP PI • Solution • 11! ? • no. why? 중복된 문자들이 있다! • 주어진 문자열로 11 개의 공란을 채우는 문제: . C(11,2) C(9,4) C(5,4) = = = 34,650 2 Ps, 4 Ss, 4 Is and 1 M 11! 9! 5! 11! 2!9! 4!5! 4!1! 2!4!4!1!

증명 C(n, n1)C(n-n1, n2)C(n-n1-n2, n3) … C(n-n1-…-nt-1, nt) = … = n!(n-n1)!(n-n1- …-nt-1)! n1!(n-n1)!n2!(n-n1-n2)!nt0! n! n1!n2!...nt! 일반화된 순열과 조합 정리 6.3.2: n 개의 항으로 이루어진 기호열S 가 • n1개의 형태 1의 원소, • n2개의 형태 2의 원소 • nt개의 형태 t의 원소를 가질 경우 S의 순서를 정하는 방법의 수는: n! n1!n2!...nt!

일반화된 순열과 조합 Example • Problem • 3 종류의 책 (각각 최소 6권의 소장본) • 전산학 책, 물리학 책, 역사학 책 • 도서관에서 이들 책을 6권 선택하는 방법의 수는? • Solution • 2개의 책꽂이를 8개의 위치에 배치하는 방법의 수 : C(8,2) 3 2 1 0 4 2 3 0 3

일반화된 순열과 조합 정리 6.3.5: X가 t개의 원소를 가진 집합이라 할 때, 반복이 허용된다면, X에서 순서에 관계없이 k개의 원소를 선택하는 방법의 수는 다음과 같다. C(k+t-1, t-1) = C(k+t-1, k)

제 6 장 경우의 수

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