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Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten. Klaus Becker 2004. Formale Sprachen. ! Terminalsymbole ATagZustand = '<' z '>' ETagZustand = '<' '/' z '>' ATagZustandsmenge = '<' z m '>' ETagZustandsmenge = '<' '/' z m '>' Bezeichner = {Alphanumeric}+ ! Produktionen

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Formale Sprachen und Automaten

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  1. Formale Sprachen und Automaten Klaus Becker 2004

  2. Formale Sprachen ! Terminalsymbole ATagZustand = '<' z '>' ETagZustand = '<' '/' z '>' ATagZustandsmenge = '<' z m '>' ETagZustandsmenge = '<' '/' z m '>' Bezeichner = {Alphanumeric}+ ! Produktionen "Start Symbol" = <Zustandsmenge> <Zustand> ::= ATagZustand Bezeichner ETagZustand<Zustaende> ::= <Zustand> <Zustaende> ::= <Zustand> <Zustaende><Zustandsmenge> ::= ATagZustandsmenge <Zustaende> ETagZustandsmenge

  3. Teil 1 Sprachbeschreibung und Spracherkennung

  4. Exkurs: XML <?xml version="1.0"?><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <anfangszustand> <zustand>off</zustand> </anfangszustand> <ueberfuehrungsfunktion> <delta>off,Schalter,low</delta> <delta>low,Schalter,high</delta> <delta>high,Schalter,off</delta> </ueberfuehrungsfunktion> <ausgabefunktion> <lambda>off,Schalter,AnAus</lambda> <lambda>low,Schalter,AnAn</lambda> <lambda>high,Schalter,AusAus</lambda> </ausgabefunktion> </automat>

  5. Was ist XML? <?xml version="1.0"?><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> ...</automat> „XML (Abk. für extended markup language) ist eine Metasprache zur Beschreibung von Auszeichnungssprachen für allgemeine Dokumente.“ (Duden Informatik) Mit Hilfe von XML kann man Informationen strukturiert darstellen. Des weiteren kann man die Struktur (und die Formatierung) von Dokumenten festlegen, d. h. man kann die Sprache festlegen, in der die Dokumente verfasst werden müssen.

  6. Darstellung von XML-Dokumenten <?xml version="1.0"?><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <anfangszustand> <zustand>off</zustand> </anfangszustand> <ueberfuehrungsfunktion> <delta>off,Schalter,low</delta> <delta>low,Schalter,high</delta> <delta>high,Schalter,off</delta> </ueberfuehrungsfunktion> <ausgabefunktion> <lambda>off,Schalter,AnAus</lambda> <lambda>low,Schalter,AnAn</lambda> <lambda>high,Schalter,AusAus</lambda> </ausgabefunktion> </automat> XML-Dokument Browser-Ansicht

  7. Ein fehlerhaftes Dokument <?xml version="1.0"?><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand><zustand>high<zustand> </zustandsmenge> <anfangszustand> <zustand>off</zustand> </anfangszustand> ...</automat> Der Browser erkennt, wenn ein allgemeiner Syntaxfehler vorliegt (hier: kein passendes Ende-Tag gefunden).

  8. Noch ein fehlerhaftes Dokument <?xml version="1.0"?><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <!-- kein Anfangszustand --> <ueberfuehrungsfunktion> <delta>off,Schalter,low</delta> <delta>low,Schalter,high</delta> <delta>high,Schalter,off</delta> </ueberfuehrungsfunktion> ...</automat> Der Browser erkennt aber nicht, wenn ein spezieller Syntaxfehler vorliegt (hier: betrifft die vom Benutzer vorgesehene Struktur des Dokuments).

  9. Festlegung der Dokumentenstruktur <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ <!ELEMENT automat (zustandsmenge?, anfangszustand, eingabemenge?, ausgabemenge?, ueberfuehrungsfunktion, ausgabefunktion)> <!ATTLIST automat name CDATA #REQUIRED> <!ELEMENT zustandsmenge (zustand)+> <!ELEMENT anfangszustand (zustand)> <!ELEMENT zustand (#PCDATA)> <!ELEMENT eingabemenge (eingabe)+> <!ELEMENT eingabe (#PCDATA)> <!ELEMENT ausgabemenge (ausgabe)+> <!ELEMENT ausgabe (#PCDATA)> <!ELEMENT ueberfuehrungsfunktion (delta)*> <!ELEMENT delta (#PCDATA)> <!ELEMENT ausgabefunktion (lambda)*> <!ELEMENT lambda (#PCDATA)> ]><automat name="Klimaanlage2">...</automat>

  10. Dokument mit festgelegtem Typ <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ <!ELEMENT automat (zustandsmenge?, anfangszustand, eingabemenge?, ausgabemenge?, ueberfuehrungsfunktion, ausgabefunktion)> <!ATTLIST automat name CDATA #REQUIRED> <!ELEMENT zustandsmenge (zustand)+> <!ELEMENT anfangszustand (zustand)> <!ELEMENT zustand (#PCDATA)> <!ELEMENT eingabemenge (eingabe)+> <!ELEMENT eingabe (#PCDATA)> <!ELEMENT ausgabemenge (ausgabe)+> <!ELEMENT ausgabe (#PCDATA)> <!ELEMENT ueberfuehrungsfunktion (delta)*> <!ELEMENT delta (#PCDATA)> <!ELEMENT ausgabefunktion (lambda)*> <!ELEMENT lambda (#PCDATA)> ]><automat name="Klimaanlage2">...</automat>

  11. Aktivierung des Parser <HTML> <HEAD> <TITLE>Automatenbeschreibungstest</TITLE> <SCRIPT LANGUAGE="JavaScript" FOR="window" EVENT="ONLOAD"> Document = Test.XMLDocument; message = "parseError.errorCode: „ + Document.parseError.errorCode + "\nl„ + "parseError.filepos: „ + Document.parseError.filepos + "\nl„ + "parseError.line: „ + Document.parseError.line + "\nl„ + "parseError.linepos: „ + Document.parseError.linepos + "\nl„ + "parseError.reason: „ + Document.parseError.reason + "\nl„ + "parseError.srcText: „ + Document.parseError.srcText; alert (message); </SCRIPT></HEAD> <BODY><XML ID="Test" SRC="Klimaanlage2.XML"></XML><H2>DTD Automatentest</H2></BODY> </HTML> nach J. Müller: XML, Teil 4. In: LOG IN 122/123 (2003)

  12. Korrekte Automatenbeschreibung <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ ... ]><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <anfangszustand> <zustand>off</zustand> </anfangszustand> ...</automat> <HTML> <HEAD> <TITLE>Automatenbeschreibungstest</TITLE> <SCRIPT LANGUAGE="JavaScript" FOR="window" EVENT="ONLOAD"> Document = Test.XMLDocument; message = "parseError.errorCode: „ + Document.parseError.errorCode + "\nl„ + "parseError.filepos: „ + Document.parseError.filepos + "\nl„ + "parseError.line: „ + Document.parseError.line + "\nl„ + "parseError.linepos: „ + Document.parseError.linepos + "\nl„ + "parseError.reason: „ + Document.parseError.reason + "\nl„ + "parseError.srcText: „ + Document.parseError.srcText; alert (message); </SCRIPT></HEAD> <BODY><XML ID="Test" SRC="Klimaanlage2.XML"></XML><H2>DTD Automatentest</H2></BODY> </HTML> Der Parser überprüft die Dokumentenstruktur.

  13. Fehlerhafte Automatenbeschreibung <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ ... ]><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <!-- kein Anfangszustand -->...</automat> <HTML> <HEAD> <TITLE>Automatenbeschreibungstest</TITLE> <SCRIPT LANGUAGE="JavaScript" FOR="window" EVENT="ONLOAD"> Document = Test.XMLDocument; message = "parseError.errorCode: „ + Document.parseError.errorCode + "\nl„ + "parseError.filepos: „ + Document.parseError.filepos + "\nl„ + "parseError.line: „ + Document.parseError.line + "\nl„ + "parseError.linepos: „ + Document.parseError.linepos + "\nl„ + "parseError.reason: „ + Document.parseError.reason + "\nl„ + "parseError.srcText: „ + Document.parseError.srcText; alert (message); </SCRIPT></HEAD> <BODY><XML ID="Test" SRC="Klimaanlage4.XML"></XML><H2>DTD Automatentest</H2></BODY> </HTML> Der Parser erkennt einen Syntaxfehler.

  14. Übersicht Aus: M. Näf: Einführung in XML, DTD und XSL. www.internet-kompetenz.ch/xml/

  15. Zielsetzung Ziel ist es, Verfahren zur präzisen Festlegung von Sprachen (wie der Automatenbeschreibungssprache) zu entwickeln. <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ <!ELEMENT automat (zustandsmenge?, anfangszustand, eingabemenge?, ausgabemenge?, ueberfuehrungsfunktion, ausgabefunktion)> <!ATTLIST automat name CDATA #REQUIRED> <!ELEMENT zustandsmenge (zustand)+> <!ELEMENT anfangszustand (zustand)> <!ELEMENT zustand (#PCDATA)> <!ELEMENT eingabemenge (eingabe)+> ... ]><automat name="Klimaanlage2">...</automat>

  16. Zielsetzung Ziel ist es, Systeme zu entwickeln, mit deren Hilfe man entscheiden kann, ob eine „sprachliche Beschreibung“ (wie eine Automatenbeschreibung) korrekt oder fehlerhaft ist. <?xml version="1.0"?><!DOCTYPE automat [ ... ]><automat name="Klimaanlage"> <zustandsmenge> <zustand>off</zustand> <zustand>low</zustand> <zustand>high</zustand> </zustandsmenge> <!-- kein Anfangszustand -->...</automat>

  17. Teil 2 Sprachbeschreibung mit Grammatiken

  18. Die Sprache der Zustandsmengen Das präzise Festlegen einer Sprache soll zunächst anhand einer übersichtlichen, vereinfachten Teilsprache der XML-Automatenbeschreibungssprache entwickelt werden. Wir betrachten hierzu die Beschreibung von Zustandsmengen, die in verkürzter Form dargestellt werden. <zm><z>z0</z><z>z1</z><z>z2</z><z>z21</z><z>z3</z></zm>

  19. Informelle Beschreibung <zm><z>z0</z><z>z1</z><z>z2</z><z>z21</z><z>z3</z></zm> Regeln: /1/ Eine Zustandsmengenbeschreibung wird durch die Tags <zm> und </zm> eingeschlossen. /2/ Sie enthält beliebig viele, aber mindestens einen Zustand. /3/ Jeder Zustand wird durch die Tags <z> und </z> eingeschlossen. ...

  20. Das Alphabet einer Sprache Jede Sprache benutzt bestimmte Zeichen, um Wörter bzw. Sätze zu bilden. Die Menge  der zulässigen Zeichen wird Alphabet genannt. Ein Alphabet ist somit eine endliche (geordnete) Menge von Zeichen. Zustandsmengenbeschreibung: <zm><z>z0</z><z>z1</z><z>z2</z><z>z21</z><z>z3</z></zm> Das Alphabet der Zustandsmengen-Sprache:  = {<, >, /, a, ..., z, A, ..., Z, 0, ..., 9}

  21. Wörter über einem Alphabet Durch Hintereinanderreihung endlich vieler Zeichen aus dem vorgegebenen Alphabet  erhält man Wörter (über dem Alphabet). Die Menge aller möglichen Wörter über einem Alphabet  wird mit * bezeichnet. Zu dieser Menge gehört auch das sogenannte leere Wort , das keine Zeichen enthält. Das Alphabet der Zustandsmengen-Sprache:  = {<, >, /, a, ..., z, A, ..., Z, 0, ..., 9} Wörter über diesem Alphabet: <zm><z>z0</z><z>z1</z><z>z2</z><z>z21</z><z>z3</z></zm> <zm><z>rotgelb</z></zm> <a><z3

  22. Formale Sprachen Eine (formale) Sprache über einem Alphabet  ist eine Teilmenge von *. Wörter, die zur Zustandsmengen-Sprache gehören: <zm><z>z0</z><z>z1</z><z>z2</z><z>z21</z><z>z3</z></zm> <zm><z>rotgelb</z></zm> Wörter, die nicht zur Zustandsmengen-Sprache gehören: <a><z3 <zm><z>rotgelb<z><zm> Problem: Festlegung aller Wörter, die zur Sprache gehören

  23. Syntaxdiagramme ATagZustand < z > ETagZustand < / z > ATagZustandsmenge < z m > ETagZustandsmenge < / z m >

  24. Syntaxdiagramme AlphanumerischesZeichen a b ... A B ... 0 1 ... Bezeichner AlphanumerischesZeichen Zustand ATagZustand Bezeichner ETagZustand

  25. Bestandteile von Syntaxdiagramme AlphanumerischesZeichen a b ... A B ... 0 1 ... Terminalsymbol Bezeichner AlphanumerischesZeichen Nichtterminalsymbol Terminalsymbole gehören zum Alphabet der Sprache. Nichtterminalsymbole sind Variablen, die als Platzhalter für syntaktische Einheiten fungieren.

  26. Übung Ergänzen Sie die Sprachbeschreibung um Syntaxdiagramme für Zustandsmengen. Beachten Sie, dass eine Zustandsmenge beliebig viele, aber mindestens einen Zustand hat.

  27. Lösung Zustandsmenge ATagZustandsmenge Zustand ETagZustandsmenge

  28. Übersetzung in Produktionsregeln ATagZustand < z > <ATagZustand>  '<' 'z' '>'

  29. Übersetzung in Produktionsregeln AlphanumerischesZeichen a b ... A B ... 0 1 ... <AlphanumerischesZeichen>  'a' <AlphanumerischesZeichen>  'b' ...

  30. Übersetzung in Produktionsregeln Bezeichner AlphanumerischesZeichen <Bezeichner>  <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner>  <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner>

  31. Übung Ergänzen Sie die fehlenden Produktionsregeln.

  32. Lösung <Zustand>  <ATagZustand> <Bezeichner> <ETagZustand> <Zustaende>  <Zustand> <Zustaende>  <Zustand> <Zustaende> <Zustandsmenge>  <ATagZustandsmenge> <Zustaende> <ETagZustandsmenge>

  33. Grammatik Eine Grammatik ist ein Tupel G = (T, N, P, S) bestehend aus - einer endlichen nichtleeren Menge T von Terminalzeichen,- einer endlichen nichtleeren Menge N von Nichtterminalzeichen,- einer endlichen Menge P von Produktionen (Regeln) und- einem Startsymbol S  N. Eine Produktion (Regel) hat die Gestalt u  v. Die linke Seite u und die rechte Seite v sind dabei Wörter über dem Alphabet V = T  N.

  34. Backus-Naur-Form Die Backus-Naur-Form ist eine Kurzschreibweise für Produktionen. <AlphanumerischesZeichen>  'a' <AlphanumerischesZeichen>  'b' ... <AlphanumerischesZeichen> ::= 'a' | 'b' | .. | 'A' | 'B' | .. | '0' | .. <Bezeichner>  <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner>  <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner> <Bezeichner> ::= <AlphanumerischesZeichen> | <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner>

  35. Übung Beschreiben Sie die gesamte Grammatik der Zustandsmengen-sprache in Backus-Naur-Form.

  36. Wortproblem Gegeben: Wort über dem Alphabet T Beispiel: <zm><z>z0</z></zm> Gesucht: Ableitung des Wortes mit Hilfe der Produktionen der Grammatik ausgehend vom Startzustand Ableitung durch Wortersetzung: Eine Produktion u  v wird so interpretiert, dass u überall, wo es als Teil eines Wortes auftritt, durch v ersetzt werden darf.

  37. Worterzeugung Gegeben: <zm><z>z0</z></zm> Gesucht: Ableitung des Wortes mit Hilfe der Produktionen Startsymbol <Zustandsmenge> <ATagZustandsmenge> <Zustaende> <ETagZustandsmenge> '<' 'zm' '>' <Zustaende> <ETagZustandsmenge> '<' 'zm' '>' <Zustaende> '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' <Zustand> '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' <ATagZustand> <Bezeichner> <ETagZustand> '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Bezeichner> <ETagZustand> '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Alphan.Zeichen> <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' <AlphanumerischesZeichen> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>' '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' '0' '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>' Wort aus Terminalsymbolen

  38. Übung Kommentieren Sie die Ableitung, indem Sie für jeden Ersetzungs-schritt die benutzte Grammatikregel (Produktion) angeben. <Zustandsmenge>  <ATagZustandsmenge> <Zustaende> <ETagZustandsmenge>  '<' 'zm' '>' <Zustaende> <ETagZustandsmenge>  '<' 'zm' '>' <Zustaende> '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' <Zustand> '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' <ATagZustand> <Bezeichner> <ETagZustand> '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Bezeichner> <ETagZustand> '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' <Alphan.Zeichen> <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' <Bezeichner> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' <AlphanumerischesZeichen> '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>'  '<' 'zm' '>' '<' 'z' '>' 'z' '0' '<' '/' 'z' '>' '<' '/' 'zm' '>'

  39. Teil 3 Ein Werkzeug zur Sprachbeschreibung

  40. Spracherkennung mit Werkzeugen Siehe: www.devincook.com/goldparser/

  41. Zwei-Stufen-Beschreibung Oft ist eine zweistufige Beschreibung der Sprache zweckmäßig: Zeichen: <, >, /, a, ..., z, A, ..., Z, 0, ..., 9 Festlegung der korrekten Token (Wörter) Wörter / Token: <zm>, <z>, rotgelb, gruen, ... Festlegung der korrekten Tokenfolgen (Sätze) Sätze / Tokenfolgen: <zm><z>rotgelb</z></zm>, <zm></z>, ...

  42. Sprache der Token Alphabet:  = {<, >, /, a, ..., z, A, ..., Z, 0, ..., 9} Grammatik: <ATagZustand> ::= '<' 'z' '>' <ETagZustand> ::= '<' '/' 'z' '>' <ATagZustandsmenge> ::= '<' 'z' 'm' '>' <ETagZustandsmenge> ::= '<' '/' 'z' 'm' '>' <AlphanumerischesZeichen> ::= 'a' | 'b' | .. | 'A' | 'B' | .. | '0' | .. <Bezeichner> ::= <AlphanumerischesZeichen> | <AlphanumerischesZeichen> <Bezeichner>

  43. Sprache der Tokenfolgen Alphabet:  = {<z>, </z>, <zm>, </zm>, ..., rotgelb, ..., gruen, ...} Grammatik: <Bezeichner> ::= ... | rotgelb | ... | gruen | ... <Zustand> ::= '<z>' <Bezeichner> '</z>' <Zustaende> ::= <Zustand> | <Zustand> <Zustaende> <Zustandsmenge> ::= '<zm>' <Zustaende> '</zm>'

  44. Darstellung einer Grammatik Zwei-stufige Darstellung beim Werkzeug „GOLD Parser Builder“ ! Terminalsymbole ATagZustand = '<' z '>' ETagZustand = '<' '/' z '>' ATagZustandsmenge = '<' z m '>' ETagZustandsmenge = '<' '/' z m '>' Bezeichner = {Alphanumeric}+ ! Produktionen "Start Symbol" = <Zustandsmenge> <Zustand> ::= ATagZustand Bezeichner ETagZustand<Zustaende> ::= <Zustand> <Zustaende> ::= <Zustand> <Zustaende><Zustandsmenge> ::= ATagZustandsmenge <Zustaende> ETagZustandsmenge Reguläre Ausdrücke Produktionen in BNF

  45. Ableitungsbaum

  46. Zustandsautomat Zur Analyse der Terminalsymbole benutzt das Werkzeug „GOLD Parser Builder“ einen Automaten.

  47. Übung Aufgabe 1Testen Sie das Werkzeug am Beispiel der Zustandsmengensprache. Aufgabe 2Erstellen Sie eine vollständige Grammatik zur Automaten-beschreibungssprache mit Hilfe des Werkzeugs.

  48. Exkurs: Verknüpfung von Sprachen X und Y seien Sprachen über dem Alphabet . XY = {xy | xX, yY} ist die Menge aller Worte, die sich ergeben, wenn man an ein beliebiges Wort aus X ein beliebiges Wort aus Y hängt. X0 = {}; X1 = X; X2 = XX; X3 = X2X = XXX; ... X* = X0  X1  X2  X3 … ist die Menge aller Worte, die sich ergeben, wenn man beliebig viele (auch keine) Worte aus X aneinanderhängt. X+ = X1  X2  X3  X4 … ist die Menge aller Worte, die sich ergeben, wenn man beliebig viele Worte, aber mindestens ein Wort, aus X aneinanderhängt. Beispiele: Sei X = {a, b}; Y = {c}. XY = {ac, bc} X0 = {}; X1 = X = {a, b}; X2 = XX = {aa, ab, ba, bb} X* = X0  X1  X2  X3 … = {, a, b, aa, ab, ba, bb, ...} X+ = X1  X2  X3  X4 … = {a, b, aa, ab, ba, bb, ...}

  49. Exkurs: Reguläre Ausdrücke Gebeben sei das Alphabet . ist ein regulärer Ausdruck, der die leere Menge {} bezeichnet. ist ein regulärer Ausdruck, der die Menge {} mit dem leeren Wort bezeichnet.Für jedes a   ist a ein regulärer Ausdruck, der die Menge {a} bezeichnet.Sind x und y reguläre Ausdrücke, die die Mengen X und Y bezeichnen, so ist auch- (x+y) ein regulärer Ausdruck, der die Menge XY bezeichnet,- xy ein regulärer Ausdruck, der die Menge XY bezeichnet,- (x)* ein regulärer Ausdruck, der die Menge X* bezeichnet,- (x)+ ein regulärer Ausdruck, der die Menge X+ bezeichnet, Beispiele: Sei  = {a, b, c}. (a+b)* = ({a}{b})0  ({a}{b})1  ({a}{b})2  … = {, a, b, aa, ab, ba, ...} a+b*c= ({a}1  {a}2  {a}3 …) ({b}0  {b}1  {b}2 …)({c}) = {ac, aac, aaac, …, abc, aabc, aaabc, …, abbc, aabbc, aaabbc, …} = {aibjc| i >0; j  0}

  50. Darstellung und Test regulärer Ausdrücke Beispiel 1: ! Regulärer AusdruckL = a[a|b]*c "Start Symbol" = <S><S> ::= L a(a+b)*c Beispiel 2: ! Regulärer AusdruckL = b[a]*|[b]+ "Start Symbol" = <S><S> ::= L ba*+b+ Beispiel 3: ! Regulärer AusdruckL = A{Letter}*n "Start Symbol" = <S><S> ::= L A(a+b+...+Z)*n

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