第 2 章计算机图形处理技术

第2章计算机图形处理技术

2.2.3三维图形的几何变换 一、基本变换三维图形的几何变换与二维图形类似，其基本变换也包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等，同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。 1、平移变换平移变换是使立体在三维空间移动一个位置，而形状保持不变。与二维平移变换相类似，平移变换矩阵为：其中，l，m，n分别为沿x，y，z方向上的平移量。

2、比例变换 比例变换使立体在三维空间中沿x、y、z坐标轴进行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为：其中，a，e，j分别为沿x，y，z方向的比例因子。它们的作用是使物体产生比例变换，当各变比相同时，称为全比例变换。

3、旋转变换 三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转，三维变换可以看成是由三个二维旋转变换组合而成，并分别取x，y，z为旋转轴。我们规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向为右手螺旋方向，即从该轴向原点看，是逆时针方向。如图所示。

（1）绕x轴正向旋转角 变换矩阵为（2）绕y轴正向旋转角变换矩阵为

（3）绕z轴正向旋转角 变换矩阵为立体分别绕x、y、z轴旋转90的变换结果如图所示。（a）原图（b）绕x轴旋转90度（c）绕y轴旋转90度（d）绕z轴旋转90度

4、对称变换 对称变换包括对坐标原点，对坐标轴和对坐标平面的对称，下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。（1）对xOy坐标平面的对称变换变换矩阵为

（2）对xOz坐标平面的对称变换 变换矩阵为（3）对yOz坐标平面的对称变换变换矩阵为

5、错切变换 与二维空间的错切变换功能相似，三维空间的错切变换可使空间立体上某个面沿x、y、z三个方向发生错移变形，其变换矩阵一般表示为根据这些元素所在的列，判断出沿哪个坐标轴发生错切。若d、h不为0，则沿x轴方向有错切；若b、i不为0，则沿y轴方向有错切；若c、f不为0，则沿z轴方向有错切。我们还可以根据这些元素所在的行，判断出是关于哪个变量的错切。比如，b、c是关于变量x的错切；d、f是关于变量y的错切；h、i是关于变量z的错切。错切变换按错切方向的不同，可有6种情况,即分别沿 x、y、z的正、负方向错切。（书P81表4-1）

二、逆变换 所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换，如以三维图形的逆变换为例，对平移的逆变换就是把移回到原处。其矩阵表达式为：对x轴旋转的逆变换是用－代替，所产生的变换为：其他一些几何变换的逆变换与此类似，再此不再一一介绍。

三、三维图形的组合变换 与二维组合变换一样，通过三维组合变换可以实现对三维物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例进行说明。假设空间任意轴P1P2由A（x1，y1，z1）及其方向数（n1，n2，n3）定义，空间一点A（x，y，z）绕轴P1P2旋转角，得到新点A*（x*，y*，z*），即其中，T为绕任意轴旋转的组合变换矩阵，构造矩阵T的步骤如下：

（1） 将点A与旋转轴P1P2一起作平移变换，使旋转轴 P1P2过原点， P1与原点重合。

（2）令P1P2轴首先绕x轴旋转 角，使其与xOz平面共面，然后再绕y 轴旋转角，使其与z轴重合。

（3）将A点绕z轴（即P1P2轴）旋转角。 （4）求步骤（2）和步骤（1）的逆变换，将旋转轴AA’恢复为原来的位置。那么，绕任意轴P1P2旋转的组合变换矩阵为 T=T1T2T3T2-1T1-1

例4：已知一立方体A（1，1，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，1，1），试写出该立方体例4：已知一立方体A（1，1，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，1，1），试写出该立方体 • 绕y轴顺时针旋转90度的变换矩阵； • 绕x轴逆时针旋转180度的变换矩阵； • 变换后A点的坐标。

解：（1）、绕Y轴顺时针旋转 （2）、绕X轴逆时针旋转

（3）、变换后坐标 则变换后A点的坐标为：

四、投影变换 投影就是从投影中心发出射线，经过三维物体上的每一点后，与投影平面相交所形成的交点集合，这个集合又称为三维物体在二维投影平面上的平面几何投影（简称投影）。根据投影中心与投影平面的距离，投影可分为平行投影、透视投影。当投影中心（射线源）与投影平面的距离为有限时，则投影为透视投影；若此距离为无穷大，则投影为平行投影。平行投影的一个特点是投影线彼此平行，当投影线垂直于投影平面时，为正平行投影；否则为斜平行投影。透视投影的特点是投影线彼此成放射状照射四周空间，正透视投影要求存在一条投影中心线垂直于投影平面，且要求其他透视线对称于投影中心线，否则为斜透视投影。

透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。

本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。在机械设计图中经常用来表达物体形状的三面视图即主视图、俯视图、侧视图均属于正投影。工程制图中的正投影就是按平行正投影绘制的，它取物体的主要坐标轴方向（长、宽、高方向）作为投影方向。它的特点是物体的投影能反映实形，即能直接反映物体在投影面方位的尺寸大小。

（一）正投影 1、三面投影

（1）V面投影 它的投影线与y轴平行，投影平面为xOz平面(V面)，即y=0，它的变换矩阵为: （2）H面投影投影线与z轴平行，投影平面为xoy平面（H面），即z=0，变换矩阵为：

（3）、W面投影 投影线与x轴平行，投影平面为yoz平面（W面），即x=0，变换矩阵为： 2、三面投影的展开在机械制图中，获得三面投影图后，还需将它们展开，得出在同一平面上的三面视图。变换过程为：

V面投影图保持不变，即主视图。H面投影图绕x轴顺时针旋转90度，可得到与xOz平面重合的视图，为了保持与主视图有一定的距离，再沿z轴的负方向平移zp得到俯视图。W面投影图绕z轴逆时针旋转90度，得到与xOz平面重合的视图。为了保持与主视图之间的距离，再沿x轴负方向平移xp距离得到左视图。因此三面投影的展开图应该是投影变换矩阵、旋转变换矩阵和平移变换矩阵三者的复合变换。

(1) 主视图。 又称前视图、正视图、正面投影等。它的变换矩阵为（2）俯视图。又称平面图、水平投影。

（3）侧视图。又称左视图、侧面投影。 根据上述三个视图的变换矩阵，即可根据一个三维物体的各角点的坐标值，获得它的三视图的顶点的坐标，生成三视图。例如立体A，其主视图的各点坐标值为： A*=A 从上述视图的变换矩阵中发现，第二列元素均为0，即变换后y均为0，这是由于变换后三个投影均落在XOZ平面内。

其俯视图的各点坐标值为： A*=A 其侧视图的各点坐标值为： A*=A

（二）正轴侧投影 正轴测投影图产生的过程如下图所示：将图（a）中所示的立方体直接向V面投影，得到（b）图；将立方体绕z轴正转角，再向V面投影，得到（c）图；将立方体先绕z轴逆时针旋转角，再绕x轴顺时针旋转角，然后向V面投影。得到（d）图，即立方体的正轴测投影图。 • （a）（b）（c）（d）

在上式中，只要给、 不同的值，就可得到不同的正轴测投影图。可以证明当，为正等轴侧投影，代入矩阵中得到正等轴测投影变换矩阵为

（三）透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形，即通过投影中心（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上产生的图形。具有真实感的效果，近大远小。一般变换矩阵中，p、q、r为透视参数。赋给它们非零数值将产生透视效果。

透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。

作业： • 已知一四棱锥A（1,0,1），B（1,0,0），C（0,0,0），D（0,0,1），试写出该四棱锥 • 绕y轴顺时针旋转90度的变换矩阵； • 绕x轴逆时针旋转180度的变换矩阵； • 变换后A、B、C、D各点的坐标。

解：（1）、绕y轴顺时针旋转 （2）、绕x轴逆时针旋转

（3）、 则变换后A、B、C、D各点的坐标分别为：（-1，0，-1）、（0，0，-1）、（0，0，0）、（-1，0，0）

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