德布罗意

1923年，法国物理学家路易斯·德布罗意 （Louis Victor De Broglie, 1892～1987）在权威的英国《哲学研究》杂志上发表论文，提出了物质波的概念和理论，把量子论发展到一个新的高度。德布罗意本来是学历史的，他从大学毕业后，却没有在历史学领域进行更多的研究，因为他的兴趣已经强烈地转向物理方面。德布罗意德布罗意家族的历史悠久，家族继承着最高世袭身份的头衔：公爵(王子的爵号 ) 他的哥哥，莫里斯.德布罗意是一位著名的射线物理学家，参加了1911年的布鲁塞尔物理会议 (女巫盛宴)，将会上关于量子理论激烈的争论告诉了德布罗意。德布罗意对科学的热情被完全地激发出来，并立志把一生奉献给这一令人激动的事业。

德布罗意刚下定决心开始对理论物理的研究，不久，第一次世界大战(1914—1918年)就爆发了，他便服兵役上了前线，被分派了一个无线电技术人员的工作。德布罗意刚下定决心开始对理论物理的研究，不久，第一次世界大战(1914—1918年)就爆发了，他便服兵役上了前线，被分派了一个无线电技术人员的工作。直到1922年他才重回哥哥的实验室继续中断许久的研究。在长期思考后，他渐渐地生成了一个大胆的思想：爱因斯坦的光量子理论应该推广到一切物质粒子、特别是电子。德布罗意思路一开立即拓出一片新的天地。1923年他接连发表三篇论文，提出“物质波”的新概念。

1924年，他写出博士论文《关于量子理论的研究》，更系统地阐述了物质波理论。可以说是当时物理学界一个独一无二的新观点，许多人看了文章都摇头，德布罗意的导师朗之万也不相信这种观念，只不过觉得这篇论文写得很有才华，才让他得到博士学位。朗之万对这件事总是不放心，也不知他的这个学生到底该算是个才子还是个疯子，便将论文稿寄给爱因斯坦审阅。爱因斯坦真不愧为一个理论物理大师，他刚读完文章就拍案叫绝，并立即向物理学界的几个大人物写信，吁请对这个新思想给予关注：“请读一读这篇论文吧，这可能是一个疯子写的，但只有疯子才有这种胆量。爱因斯坦（美学的）宇宙观：和谐、对称。

§4 粒子的波动性 1.德布罗意物质波假设德布罗意根据对称性思想提出了物质波假设，认为波粒二象性不是光独有的特性，一切实物粒子都有波粒二象性。对于质量为m，以速度v 运动的实物粒子：光的波粒二象性：光子质量：光子动量：德布罗意“物质波”波长让我们在心里读两遍

德布罗意物质波的实验验证 德布罗意在1924年论文答辩时，当时著名的科学家J.B.Perrin问他“这些波怎样用实验来证实呢？” 德布罗意回答： “用晶体对电子的衍射实验可以做到。” 1927年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。同年汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象 X射线一样产生衍射现象。电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。

真实的历史 纽约贝尔电话实验室研究人员戴维逊，长期以来和助手革末做电子轰击金属的实验。这天二人正在做实验，忽然一只盛放液态空气的瓶子倒地炸裂。实验用的金属靶子是置于真空条件下的，现在液态空气立即气化，弥漫全室，钻进了真空系统，那块当靶子的钝锌板立即就被氧化。他们只好连夜加班，将这块锌板换下来又是加热，又是洗刷，费力地将锌板表面的氧化膜去乾净，再装回真空容器里。第二天，戴维逊和革末又来到实验室，他们将仪器安置好后又开始了那个不知重复了多少次的实验。戴维逊扳动开关将电流直向锌板射去，一边喊革末调整一下锌靶的角度。革未将锌靶轻轻转了一个角度，戴维逊却吃惊地喊道：“见鬼，今天怎么连电子也学会与我绕弯子！

这种现象很像一束波绕过障碍物时发生的衍射，但是电子明明是粒子啊，它怎么能有波的性质呢？二人又将这个实验重复了多遍，仍然如此，他们就这样百思不得其解，在闷葫芦里一直闷了两年。这种现象很像一束波绕过障碍物时发生的衍射，但是电子明明是粒子啊，它怎么能有波的性质呢？二人又将这个实验重复了多遍，仍然如此，他们就这样百思不得其解，在闷葫芦里一直闷了两年。两年后的夏天，戴维逊访问英国，遇到著名的物理学家玻恩。戴维逊将那个在肚子里憋了两年的问题提了出来。玻恩一听戴维逊如此这般地描述，便喜不自禁，也不顾是与客人初次见面，突然在对方肩上拍了一把，大声说道：“朋友，您已经撞开了上帝的大门。” “光有波粒二象性，一切物质微粒也有波粒二象性，电子也不例外。这正是欧洲大陆上近年来最新的理论。可惜这个假设还从没有人来验证，想不到证据却操在你的手里。”

“法国人德布罗意，本是学文科的，半路出家投身物理。但也正因此他没有我们同行中惯有的旧框子，所以倒捷足先登。他不但提出假设，还推出公式，能具体地求出粒子的波长呢。他的论文发表在法国科学院会议周报上和英国的《哲学杂志》上，您可以仔细研究一下。”“法国人德布罗意，本是学文科的，半路出家投身物理。但也正因此他没有我们同行中惯有的旧框子，所以倒捷足先登。他不但提出假设，还推出公式，能具体地求出粒子的波长呢。他的论文发表在法国科学院会议周报上和英国的《哲学杂志》上，您可以仔细研究一下。” 这两个科学家越谈越有劲，而戴维逊心里已在悄悄地说：只今天这一席谈话我就不虚此行了。拜会过玻恩之后戴维逊已无心再到哪里转了，便草草结束了这次访问。他回到美国后，重做了两年前的实验，果然与德布罗意的预言和计算完全一致。原来两年前的那次液态气瓶爆裂帮了他的大忙。他和革末对锌板加热、洗刷后，锌板就变成了单晶体，而任何一种波经过晶体，都会生成强度周期性的变化现象。他们真是因祸得福。

     抽真空 I G (单晶） U           电子束  I d      Ni单晶 C C C 戴维逊---革末实验戴维孙——革末实验电子束在晶体表面上散射的实验，观察到和X射线衍射类似的电子衍射现象，首先证实了电子的波动性。计算的理论值与实验值基本符合，证明了德布罗意物质波的存在。

栅极多晶薄膜阴极高压屏P 汤姆逊电子衍射实验以后，大量实验事实证明，电子，原子甚至分子等实物粒子都具有波粒二象性。

德布罗意因对实物波动性的发现而获1929年的诺贝尔物理学奖。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的诺贝尔物理学奖。德布罗意因对实物波动性的发现而获1929年的诺贝尔物理学奖。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的诺贝尔物理学奖。

物质波的一个最重要的应用就是电子显微镜 德布罗意的发现意味着如果能找到使电子束聚集的方法，就能将其用来放大物像。第一台电子显微镜是由德国鲁斯卡（E·Ruska）1932年研制成功，荣获1986年诺贝尔物理奖。从波动光学可知，由于显微镜的分辨本领与波长成反比，光学显微镜的最大分辨距离大于0.2m，最大放大倍数也只有1000倍左右。自从发现电子有波动性后，电子束德布罗意波长比光波波长短得多。而且极方便改变电子波的波长。这样就能制造出用电子波代替光波的电子显微镜。最大放大倍数已经达到150万倍。

磁聚焦 透射式电子显微镜，近几年来，一种新型的扫描电子显微镜，逐步发展起来磁场成了一个透镜电子变成了光

例题：求下列情况下的物质波波长： (1)质量为10克的小球以100 m·s-1的速度运动； (2)质子以1.0×104 m·s-1的速度运动； (3)自由电子的动能为54 eV。观测不到解：根据德布罗意公式：

结论： 对于宏观粒子来说，波长非常小以至很难观测到，宏观物体的运动几乎不显示波动性，可以过渡到经典物理。例如第一种情况。在第二种和第三种情况中，波长与X射线的波长相当，所以微观粒子的波动性不可忽略,观察其衍射需要利用晶体。

一切物质（包括光和实物粒子）都具有波粒 二象性，这一概念的提出及其被实验事实所证实，揭示了物质世界所具有的普遍属性。怎样理解波粒二象性? 物质波的本质？怎样把粒子性(颗粒性，集中于一点)与波动性(连续性，扩展于空间)统一起来？！量子论——翻开 “波粒统一” 一页 “概率波”

2 概率波 关于“波粒统一”历史上两种典型的看法一、把微观粒子看作是经典粒子和经典波的混合体 1.“粒子是由波组成的” 把粒子看作是由很多波组成的波包，但波包在媒质中要扩散、消失(和粒子性矛盾)； 2.“波是由粒子组成的” 认为波是大量粒子组成的；波动性是大量粒子相互作用而形成的，但这和单个粒子就具有波动性相矛盾。

电子逐个穿过双缝的衍射实验 如果减弱入射电子束的强度,使电子一个一个依次通过双缝,当电子数很少时,呈现的是杂乱的点,说明电子确实是粒子(电子到达何处完全是无规律的) 。当电子数很多时,就显示出明晰的条纹,与大量电子在短时间内通过双缝后形成的条纹相同. 则随着电子的积累,将逐渐显示衍射图样(有规律)。一个电子在许多次相同实验中的统计结果

什么是统计规律性 大量偶然（无规律）事件从整体上反映出来的一种规律性。尽管单个电子的运动是无规律的,但是大量电子在一定的条件下呈现出统计规律性。 (如双缝)：粒子性——波动性二、概率波玻恩认为——德布罗意波是一种概率波并且通过统计性把波和粒子两个截然不同的经典概念联系起来。

—— t 时刻，粒子在空间r处的 单位体积中出现的概率，又称为概率密度。引入能体现微观粒子“波粒二象性”的波函数 1、波函数玻恩假定： (1) 时刻 t , 粒子在空间r 处dV 体积内出现的概率 (2) 归一化条件(粒子在整个空间出现的概率为1) 概率波给出的结果服从统计规律性，它不能预言粒子必然在哪里出现，只能预言粒子出现的概率。用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一。

玻恩的波函数的概率解释 --- 量子力学的基本原理之一(基本假设) ★Max Born 荣获1954年Nobel Prize (for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wave function) 玻恩经常组织学术活动，每周一次的“物理结构讨论班”吸引了大批学生。讨论班的形式是活泼的，不拘礼节，允许争论。20年代先后参加讨论班的主要成员有泡利、海森堡、奥本海默、康普顿、狄拉克等。这个讨论班对来量子力学的发展有决定性的作用。玻恩吸引学生的一个重要原因是他的亲切。他经常和学生打成一片，一起参加散步、野餐、讨论各类问题。 Max Born72岁获Nobel Prize

迟到了22年的荣誉 玻恩于1924年率先提出"量子力学"这一专业术语。随后奠定了量子力学的几率诠释，确立了非决定论的思想。但1932年瑞典皇家科学院把诺贝尔物理学奖授予海森堡，却没把同样的荣誉授予他的老师和合作者、波函数统计解释的创始人玻恩，这使很多人大为吃惊。好在瑞典皇家科学院终于在1954年弥补了这一缺憾，只是这一年，玻恩都已经72岁了。玻恩对波函数作出的统计解释导致了科学思想的一次重大革命，实现了人类认识史上的又一次飞跃，非决定论的思想成为现代以系统辩证性思维方式为特征的思维方式的重要组成部分，它对信息论、控制论、耗散结构理论、模糊数学和灰色系统理论等的提出都产生了一定的影响。

但是，波函数的统计解释或者说几率波概念只是从现象上为人们提供了一种描述方法，或者说只是提供了一个唯象的解释，并没有从本质上说明问题。但是，波函数的统计解释或者说几率波概念只是从现象上为人们提供了一种描述方法，或者说只是提供了一个唯象的解释，并没有从本质上说明问题。因而量子力学只是一个唯象的理论，它虽然取得了令人信服的辉煌成就，但由于它的理论基础—物质的波粒二象性的本质问题没有解决，所以从某种意义上说，整个量子力学就像是辉煌壮丽的空中楼阁。关于量子力学的完备性问题物理学家们已经争论了几十年，现在还处于喋喋不休的争论之中。

经典物理：由t = 0时粒子坐标、动量 任意t 时粒子坐标、动量 粒子的轨道 (经典的决定论) 人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。然而统计解释的非决定论必然导致量子论——翻开 “苦涩” 一页：海森堡“不确定关系”

海森伯是二十世纪另一位大物理学家，1925年23岁时在德国《物理学杂志》上发表一篇论文，题目是《关于运动学和动力学的量子力学解释》。海森伯认为量子力学的问题不能直接用不可观测的轨道来表述，应该采用跃迁几率这类可以观测的量来描述。引导了量子力学的发展。海森伯是二十世纪另一位大物理学家，1925年23岁时在德国《物理学杂志》上发表一篇论文，题目是《关于运动学和动力学的量子力学解释》。海森伯认为量子力学的问题不能直接用不可观测的轨道来表述，应该采用跃迁几率这类可以观测的量来描述。引导了量子力学的发展。为了表彰在建立量子力学中的重大贡献——海森伯获得1932年诺贝尔物理学奖有人说这是三百年来物理学史上继牛顿的《数学原理》以后影响最深远的一篇文章。可是这篇文章只开创了一个摸索前进的方向，此后两年间还要通过玻恩、狄拉克、薛定谔、玻尔等人和海森伯自己的努力，量子力学的整体架构才逐渐完成。量子力学使物理学跨入崭新的时代，核能发电、核武器、激光、半导体元件等都是量子力学的产物。

海森伯所有的文章都有一共同特点：朦胧、不清楚、有渣滓，读了海森伯的文章，你会惊叹他的独创力，然而又觉得很难弄清楚他究竟想说些什么。海森伯所有的文章都有一共同特点：朦胧、不清楚、有渣滓，读了海森伯的文章，你会惊叹他的独创力，然而又觉得很难弄清楚他究竟想说些什么。狄拉克的文章给人“秋水文章不染尘”的感受，而海森伯的文章完全不同，二者对比清浊分明。 (1) 海森伯当时的工作、后人的评价、…… (2) 海森伯学术研究 1927年海森伯首先提出了测不准原理：两个确定微观粒子运动的参数：位置和速度。不过，任何时候也不可能同时准确地确定这两个参数。如果进行实验测量，如精确地测定粒子在特定时刻所处的位置，那么运动即遭到破坏，以致以后不可能重新找到该粒子。反之，如果精确地测出它的速度，那么它的位置图象就完全模糊不清。

威耳逊云室 3 不确定度关系（测不准原理现在称不确定关系） 1、坐标和动量的不确定关系微观粒子具有物质波的波动性且不可忽略，其运动不可用准确的坐标、动量、轨道来描述。据说海森伯1927年从云室中观察到电子轨迹粗大而发现了电子坐标是不确定的。电子枪电子径迹

x p y a 海森伯认为，一定是电子的位置存在着某种不确定关系，海森伯通过对电子单缝衍射等若干“理想”实验的分析研究后，提出了微观粒子的不确定关系。单缝衍射实验如右图所示： P 为衍射电子动量； a 是单缝宽度；  是衍射角。根据光的衍射规律，单缝衍射强度最小的条件是：对单个粒子来说，穿过狭缝后可以在衍射角范围内到达屏上的任何位置。

x p y a P Px  由于电子的波动性，我们只知电子穿过了狭缝，但无法准确测定它通过狭缝的那一点和到达屏上的那一位置。两个“不确定” 如果用坐标x 和动量Px 来描述单个电子在x方向的运动状态，那么狭缝的宽度a 就是电子坐标的不确定量，即（无法准确测定它通过狭缝的那一点）（无法准确测定它到达屏上的那一位置）可以决定电子的动量Px的不确定量电子的动量Px在零与Psin之间，而无法确定其量值，即电子动量Px的不确定量：

以代入上述单缝衍射公式得： （无法准确测定它通过狭缝的那一点）（无法准确测定它到达屏上的那一位置）称为不确定关系式，它对所有微观粒子都适用。量子力学公式：

该式说明，对微观粒子的坐标和动量不可能同时进行准确的测量。如果坐标测量得越准确，则动量测定的偏差就越大，反之亦然。该式说明，对微观粒子的坐标和动量不可能同时进行准确的测量。如果坐标测量得越准确，则动量测定的偏差就越大，反之亦然。 2、能量和时间的不确定关系原子光谱线都有一定的频率宽度，说明原子能量有一个不确定量 E。原子处于某激发态存在一个平均寿命（平均发光时间），说明原子处于激发态的时间也有一个不确定量t。能量和时间的不确定关系是：该式说明，对微观粒子的能量和时间不可能同时进行准确的测量。

牛顿力学的适用度 在相对论力学中，真空中的光速c是实物粒子运动的上限，同时也是能量和信息传播速度的上限。这个常数c为我们提供了相对论和非相对论考虑问题的判据。当速度比光速小得多时，非相对论理论已足够精确了。在这种情况下，牛顿力学是非常适用的。当速度与光速可相比拟时，相对论效应十分明显。在这种情况下，牛顿力学不再适用。

在研究微观粒子的运动规律时，是否也存在一个类似的判据和一个类似与光速c 那样的自然常数，使之成为量子物理和非量子物理处理问题的判据呢？这个判据和常数就是不确定关系和普郎克常数 h。在一个物理体系中，若具有h量纲的任何动力学变量用h来量度都非常大，非量子物理定律已足够精确；如果可与h相比拟，则必须用量子方法来处理。讨论不确定关系中h 的重要性，h  0 使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律；但h很小使不确定关系在宏观世界不能得到直接体现。当h 0时,量子物理经典物理(对应原理)

例：设子弹的质量为0.01㎏，枪口的直径为0.5㎝。例：设子弹的质量为0.01㎏，枪口的直径为0.5㎝。试求：子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。解：枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定量x。由于根据不确定性关系得和子弹飞行速度每秒几百米相比，这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。

例：原子的线度为10-10m，求原子中电子速度的不确定量。例：原子的线度为10-10m，求原子中电子速度的不确定量。解：说“电子在原子中”就意味着电子位置的不确定量为10-10m，由不确定关系可得：照牛顿力学计算，氢原子中电子轨道运动速度约为106 m/s，与上面的速度不确定量同数量级。所以，对原子范围的电子，讨论其速度进而讨论其轨道是没有实际意义的。

物质波假设（粒子的波动性） 让我们在心里读两遍应该不仅有波函数来描述物质波，波还需要传播方程！量子论——翻开 “理性、快速发展”的一页 “薛定谔方程”

薛定谔 1933年度诺贝尔物理学奖德布罗意假设一提出，当时大部分物理学家都抱着试试看的态度。其中有一个奥地利物理学家薛定锷(1887－1961)在维也纳大学任教。当时在维也纳大学主持物理学术活动的教授德拜建议他把这个假设拿到学生中去讨论，他很不以为然，只是出于礼貌，才勉强答应下来。可是当他为讨论准备介绍报告时，立即被德布罗意的思想抓住了。薛定谔认为德布罗意的讨论方式过于简单，为了正确处理波，应当有一个波动方程。于是，薛定谔开始认真考虑物质波的可能形式，以及它所遵循的传播方程。薛定锷的特长是数学很好，像牛顿总结伽利略、开普勒的成果，麦克斯韦总结法拉第的成果一样，立即用数学公式将德布罗意的思想又提高了一层，得出一个著名的“薛定锷方程”。

薛定谔在接下来的两周里，仔细的读了一下德布罗意的“博士论文”，其实从内容上来讲也许根本就用不上“仔细”二字，这篇论文只不过一页纸多一点，通篇提出的式子也不过就两个而已，并且其原型是已经在爱因斯坦发表的论文中出现过的。薛定谔在接下来的两周里，仔细的读了一下德布罗意的“博士论文”，其实从内容上来讲也许根本就用不上“仔细”二字，这篇论文只不过一页纸多一点，通篇提出的式子也不过就两个而已，并且其原型是已经在爱因斯坦发表的论文中出现过的。　　两周之后，薛定谔硬着头皮在seminar上讲了一下这篇论文的内容，讲者不懂，听者自然也是云里雾里，而德拜则做了一个客气的评价： “这个年轻人的观点还是有些新颖的东西的，当然也许他需要更深入一步，比如既然提到波的概念，那么总该有一个波动方程吧” 。并且，德拜建议薛定谔做一做这个工作，在两周以后的seminar上再讲一下。　　两周以后。薛定谔再次在seminar上讲解德布罗意的论文，并且为德布罗意的“波”找了一个波动方程这个方程就是著名的“薛定谔方程”！

§5 薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，从波函数入手建立了微观粒子的波动微分方程，即薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学中的又一基本方程。当初薛定谔就是通过“猜”加“凑”得到的.

1. 波函数 “猜”加“凑” 自由粒子沿x方向运动，能量：E 动量：P 复函数在波函数中成功地引进了描写粒子性的物理量：E、P

“猜”加“凑”、类比 由麦克斯韦电磁场方程组可解出一维情形电磁波波动方程：波函数对x取二阶偏导数，对t取一阶偏导数可以得到自由粒子沿x方向运动的薛定谔方程为：

2. 定态薛定谔方程 定态是指粒子的概率密度、能量不随时间变化的状态。自由粒子在稳定势场中运动是定态问题。微观粒子作定态运动，可对波函数分离变量。令其中得到：

对任意的 x,t 都成立 代入上式可得：若粒子在稳定势场中运动，则代入上式得：

一维非相对论定态薛定谔方程 考虑: 教材 (17.45) 三维非相对论定态薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

注意： （1）薛定谔方程是线性微分方程. 作为方程解的波函数 满足叠加原理. （2）从数学上来说,对于任何能量E 的值,方程都有解,但不是对所有E值的解都能满足物理上的要求。一般而言,作为有物理意义的波函数,方程的解必须是单值的,有限的和连续的。这就波函数的标准条件。根据这些条件,从薛定谔方程自然而然就能得到微观粒子的重要特征—量子化条件。在当今材料科学领域中,电子体系的薛定谔方程决定着材料的电导率、金属的热导率、超导电性、能带结构、磁学性能等等。

U(x) o a 3. 薛定谔方程的简单应用 (1) 一维无限深势阱质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，满足：自由电子在金属内部的运动可以看成自由的，但要逸出金属表面，就必须克服正电荷的吸引力而作功（逸出功）。这相当于在金属的表面处电子的势能突然增大，因此，自由电子在金属内的运动就相于粒子在势阱中运动，粗略分析，可以用无限深势阱这一图象。

U(x) o a 由一维定态薛定谔方程：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。粒子只可能在阱内运动根据波函数的标准化条件，在边界上在阱内粒子势能为零，满足：U(x) = 0

0 令通解：由边界条件得：据归一化条件，得得定态波函数表达式：

令通解：由边界条件得：结论：由在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。得到

0 0 若n=0，没有意义。 n=1时粒子取最低能量，称之为基态能量。概率分布函数

德布罗意

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