РОТАЦИОННИ ТЕЛА

1. РОТАЦИОННИ ТЕЛА Съдържание: Прав кръгов цилиндър Прав кръгов конус Пресечен кръгов конус Сфера Кълбо

2. Прав кръгов цилиндър ЕЛЕМЕНТИ: • Основи – еднакви кръгове, лежащи в успоредни равнини. • Радиус ( r ) – радиусът на основите. • Ос на цилиндъра (OO1) – перпендикулярна на равнините на основите. • Образуващи( l ) – всички отсечки, успоредни на оста и с краища върху окръжностите на основите. • Височина – разстоянието между равнините на основите.( h = l = OO1)

3. СЕЧЕНИЯ: • Успоредни – сечения с равнини, успоредни на основите. Представляват кръгове, еднакви с основите. Центровете им лежат върху оста на цилиндъра. • Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на цилиндъра. Представляват правоъгълници, две от срещуположните страни на които са диаметри на основите, а другите две са образуващи на цилиндъра. На чертежа е показано едно от осните сечения – ABCD.

4. ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ S - лице на околната повърхнина P - периметър на основата (дължина на окръжност) B - лице на основата ( лице на кръг ) S1- лице на повърхнината на цилиндъра V - обем на цилиндъра

5. ЗАДАЧИ: Внимание! В решенията на задачите и в крайните резултати числото π обикновено се записва като буквена константа и не се замества с приблизителната му стойност 3,14. Заместване се прави в задачите с практическо съдържание. Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с радиус r = 3 cm и образуваща l = 10 cm.Отг. S1 = 78π cm2; V = 90π cm3 Задача 2. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с радиус r = 4 cm и лице на осното сечение 96 cm2. Отг. S1 = 126π cm2; V = 192π cm3 Задача 3. Радиусът на прав кръгов цилиндър е 50 cm, а развивката на околната му повърхнина е квадрат. Намерете обема на цилиндъра. Отг. V = 25.104π2 cm3 Задача 4. Варел с диаметър 60 cm и височина 120 cm е напълнен с вода на височина 90 cm. Колко литра вода са необходими, за да се напълни варелът? Отг. ≈ 85 литра

6. Прав кръгов конус ЕЛЕМЕНТИ: • Основа – кръг к ( О; r ). • Връх –т. Q, нележаща в равнината на основата. • Радиус ( r ) – радиусът на основата. • Ос – отсечка, свързваща върха с центъра на основата (на чертежа – OQ ) и перпендикулярна на равнината на основата. • Образуващи (образувателни) – всички отсечки, на които единият край е върха на конуса, а другият е върху окръжността на основата. Те имат една и съща дължина l ( на чертежа – AQ и BQ ). Те образуват околната повърхнина на правия кръгов конус. • Височина ( h ) – разстоянието от върха до равнината на основата. ( h = OQ )

8. СЕЧЕНИЯ: • Успоредни – сечения с равнини, успоредни на основата. Представляват кръгове с център върху оста на конуса. Ако k1 ( О1; r1 ) е успоредно сечениена разстояние h1от върха , то:

9. Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на конуса. Представляват равнобедрени триъгълници с основа–диаметър на конуса и бедра–две образуващи. Височина към основата им (същевременно медиана и ъглопо- ловяща ) е оста на конуса. Познатите ни от 9-ти клас задачи за решаване на равнобедрен и правоъгълен триъгълник можем да използваме за намиране на елемен- ти на конуса, участващи в осното му сечение.

10. Ако разглеждаме образуващите като наклонени, а оста - като перпендикуляр от върха към равнината на основата, то радиусите към точките от окръжността на основата са ортогонални проекции на образуващите, чиито край са тези точки. Чрез познатите ни метрични и тригонометрични зависимости, приложени за правоъгълния триъгълник със страни основните елементи на конуса, може да се намират техните дължини, както и ъгълът между образуващите и основата.

11. Повърхнина и обем: S - лице на околната повърхнина B - лице на основата ( лице на кръг ) S1- лице на повърхнината на конуса V - обем на конуса r – радиус на конуса l – дължина на образуващата h – височина на конуса

12. Задачи: Задача 1. Намерете повърхнината S1и обема V на прав кръгов конус с радиус 3 cm, образуваща 5cm и височина 4 cm. Отг. S1 =24π cm2; V = 12π cm3 Задача 2. Намерете повърхнината и обема на конус с радиус 5 cm и височина 12 cm. ( Упътване: Разгледайте един от еднаквите правоъгълни триъгълници AOQ или BOQ и с теорема на Питагор намерете хипотенузата му. Какъв елемент на конуса е тя? ) Отг. S1 = 90π cm2; V = 100π cm3 Задача 3. Образувателната на прав кръгов конус е 12 cm и сключва с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете обема на конуса. Отг. V = 72√3 cm3 Задача 4. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен триъгълник с лице 4√3 cm2. Намерете околната повърхнина на конуса. Отг. S = 8π cm2

13. Прав пресечен кръгов конус ЕЛЕМЕНТИ: • Основи – кръговете k1( O1; R ) и k2( O2; r), лежащи вуспоредни равнини. • Ос – отсечката О1О2, перпендикулярна на основите. • Образуващи ( образувателни ). Всички образуващи на правия пресечен конус са с равни дължини ( l ). • Височина – разстоянието между равнините на основите (h). Височина е всяка отсечка, перпендикулярна на основите и с краища върху тях. ( h = O1O2).

14. Осно сечение Осно е сечението на пресечения конус с равнина, минаваща по неговата ос. Всяко осно сечение е равно- бедрен трапец с основи, рав- ни на диаметрите 2R и 2r и бедро – образуващата l. Висо- чината му е равна на височи- ната на пресечения конус. Построена както е показано на чертежа, тя, заедно с образуващата AD = l и отсечката AP = R–r са страни на правоъгълен триъгълник.

15. Повърхнина и обем • Околна повърхнина S: • Повърхнина на пресечения конус (пълна повърхнина ) S1: • Обем V:

16. Задачи: Задача 1. Намерете повърхнината S1и обема V на пресечен конус с радиуси на основите 4 cm и 1cm, образуваща 5 cm и височина 4 cm. Отг. S1 = 42π cm2; V = 28π cm3 Задача 2. Намерете обема на пресечен конус с радиуси на основите 7cm и 2cm и образуваща 13 cm. Упътване: Разгледайте правоъгълния триъгълник APD в осното сечение. Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощ- та на теоремата на …… Отг. V = 268π cm3 Задача 3. Намерете околната повърхнина на пресечен конус с радиуси на основите 6cm и 2 cm, ако образуващата сключва с долната основа ъгъл 60°. (Може да използвате чертежа.) Отг. S = 64π cm2

17. Задачи от ротационни тела: Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с радиус 3 cm и диагонал на осното сечение 10 cm. Задача 2. Височината на прав кръгов цилиндър е с 10 cm по-голяма от радиуса на основата, а лицето на пълната повърхнина е 144πcm2. Намерете радиуса и височината на цилиндъра. Задача 3. Периметърът на осното сечение на прав кръгов конус е 36 cm, а образувателната е 13 cm. Намерете обема на конуса. Задача 4. Радиусът на прав кръгов конус 3 cm, а образувателната сключва ъгъл 45° с основата. Намерете околната повърхнина на конуса. Задача 5. Образувателната на пресечен конус е 17 cm, височината му е 15 cm, а околната повърхнина - 544πcm2. Намерете радиусите на основите му. Упътване: От формулата за S след заместване намерете R + r. От правоъгълния триъгълник, образуван от височината, образувателната и отсечката с дължинаR – rнамерете R – r. Решете в система двете уравнения с неизвестни Rи r.

18. Сфера • Сферата е множество от точки в пространството, които се намират на дадено разстояние R от дадена точка О – център на сферата. А R

19. Елементи на сферата: • Център на сферата – точката О • Радиус на сферата: OA=OB=OC=OD=R • Хорди на сферата – отсечки, свързващи две точки от сферата (например ВС) • Диаметър на сферата – хорда, минаваща през центъра (например АВ и CD) • Голяма окръжност на сферата – пресечната линия на сферата с равнина, минаваща през центъра О (например к1 (О;R), к2 (О;R) и к3 (О; R) R R

20. Взаимно положение на сфера и права OO 1 = d < R Сферата и правата имат две общи точки. Правата g е секуща за сферата. OO 1 = d = R Правата g е допирателна (тангента) към сферата OO 1 = d > R Сферата и правата g нямат общи точки

21. Взаимно положение на сфера и равнина  Разстоянието от центъра на сферата до равнината  (ОО 1 ) е по-малко от радиуса (ОО 1<R). Равнината пресича сферата. Сечението е окръжност к (О 1 ;r) Разстоянието от центъра на сферата до равнината  е по-голяма от радиуса R.. Сферата и равнината нямат общи точки. Разстоянието от центъра на сферата до равнината  (ОО 1 ) е равно на радиуса (ОО 1 = R). Равнината е допирателна към сферата.

22. Лице на повърхнината на сфера S = 4πR 2

23. Кълбо • Множеството от точките на сфера и всички нейни вътрешни точки се нарича кълбо. • Центърът О и радиусът R на сферата се наричат център и радиус на кълбото. • Сечението на кълбото с равнина, минаваща през неговия център, се нарича голям кръг на кълбото. R R

24. Всяко сечение на кълбото с равнина е кръг. Ортогоналната проекция на центъра О на кълбото върху секущата равнина съвпада с центъра О 1 на този кръг. Колкото по-малко е разстоянието от центъра на кълбото до секущата равнина, толкова по-голям е радиусът на сечението.

25. Ако d е разстоянието от центъра на кълбото до центъра на някое негово сечение (кръг с радиусr), с помощта на чертежа и теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник АОО 1 , в който като страни участват отсечката, свързваща центровете, радиусът на кълбото и радиусът на сечението се получава метричната връзка: AO1 = r r = d2 + r2 = r 2 Следователно:

26. Обем на кълбо