Andrzej Góralski Dzieło George Pólya jako realizacja intuicjonizmu syntetycznego

1. Andrzej GóralskiDzieło George Pólyajako realizacja intuicjonizmu syntetycznego

2. Pragnę wykazać, że nasz wspólny mistrz od heurystyki, a przy tym znakomity matematyk i wybitny pedagog, był także wielkiej miary filozofem.

3. 1. Zacznijmy od preliminariów. I zauważmy, iż zagadnienie sprawności nie jest filozofowi obojętne. Przeciwnie, mając świadomość ogromu i trudności stojących przed nim zadań, każdy myśliciel będzie dążył – tak starannie i tak skutecznie, jak to jest możliwe w danych okolicznościach, zewnętrznych i wewnętrznych – do efektywności poczynań. Filozofowi nie jest obojętna także umiejętność syntezy. To oczywiste, bowiem istotą, roboczą istotą filozofowania jest możność ogarnięcia wybranego i bardzo rozległego horyzontu poznawczego. Jestem zdania, że ważkim środkiem do sprawnej syntezy jest metoda poznawcza nazwana intuicjonizmem syntetycznym, będąca podejściem właściwym wówczas, gdy pragnie się ogarnąć poznawczo rzecz lub zjawisko złożone, wielopłaszczyznowe i trudne do uchwycenia analitycznego. Jak w przypadku teorii twórczości lub uniwersalnej metody rozwiązywania zadań.

4. A oto zwięzłe zestawienie podstawowych cech tej metody: • 1) intuicjonizm syntetyczny jest sposobem prowadzenia dyskursu z rzeczywistością; • 2) intuicjonizm syntetyczny jest chwytaniem nici przewodniej, czegoś, co umożliwia syntezę przynoszącą istotność treści, wrażliwość i otwartość języka, klarowność struktury wyników; • 3) intuicjonizm syntetyczny – dbając o czytelność syntezy –sięga do metafory uprzedmiotowienia dyskursu i nici przewodniej w pewną postać – wyraźną, bogatą, archetypicznie oczywistą; • 4) gdy synteza zostaje urzeczywistniona, następuje jej obudowanie, najpierw czymś ogólnym, potem, stopniowo, coraz drobniejszym, zaś relacja o uzyskanej całości jest profilowana na modłę ujęć analitycznych; • 5) trzeba podkreślać, że metoda nie jest łatwa i niezbędne jest pewne mistrzostwo, aby ją skutecznie stosować.

5. 2. Tworzywem, z pomocą którego przeprowadzę dowód, będą myśli i dokonania odnalezione w pięciu – głównych dla tej syntezy – dziełach George Pólya: . Aufgaben und Lehrsätzeausder Analysis (wraz z G. Szegö), wyd. 2, Berlin 1954 . How to Solve It, Priceton 1948 (Jak to rozwiązać?, PWN 1964) . Induction and Analogy in Mathematics (vol. 1 Mathemattics and Plausible Reasoning), Princeton 1954 . Mathematical Methods in Science, Studies in Mathematics, vol.XI, 1963 . Mathematical Discovery. On Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving, New York 1962 (vol. I), 1965 (vol. II) (Odkrycie matematyczne. O rozumieniu, uczeniu się i nauczaniu rozwiązywania zadań, WNT 1975)

6. 3. Dowodzić tezy można na różne sposoby: 1) wskazując na George’aPólya jako na twórcę nowoczesnej heurystyki, kontynuującego dokonania Sokratesa, Euklidesa, Archimedesa, Pappusa Aleksandryjskiego, Kartezjusza, Leibnitza, Bolzano, Macha, Poincaré i Hadamard’a; 2) analizując dokonania kierunku badań i działań nazwanego Problem Solving, na przykład fundamentalne Human Problem SolvingSimon’a i Newell’a; 3) badają wkład George’a do genezy i rozwoju dziedziny ArtificialIntelligence; 4) odnotowując znaczenie jakie przydają poglądom Pólyi teoretycy pedagogiki i pedagogiki twórczości; 5) mierząc – jeśli to możliwe – liczbę tych, którzy uważają się za Jego uczniów lub nimi są. Wybiorę inną drogę, bliższą mi. Otóż będę szukał „kluczy do twórczości” George’aPólya, formując je w postać nici przewodnich i opisów sposobów prowadzenia dyskursu z rzeczywistością, a także uprzedmiotowiając je w postać mistrza nauczającego.

7. 4. Głównych nici przewodnich i sposobów prowadzenia dyskursu z rzeczywistością odkryłem siedem: 1) sztuka zadawania pytań; 2) celowo dobrane zestawy zadań; 3) dialog; 4) indukcja, uogólnienie, specjalizacja, analogia; 5) reguły twórczości; 6) odgadywać i sprawdzać; 7) stopniowa uniwersalizacja dokonań. Przedstawiając je ograniczę się do przytoczenia wybranych fragmentów prac, zachowując prawo do komponowania z nich dowodowych całości.

8. 4.1. Sztuka zadawania pytań W How to SolveIt (HS): Autor przypomina sobie czasy, gdy sam był studentem, ambitnym żądnym rozumienia. Słuchał wykładów matematyki i fizyki, czytał książki, starał się zrozumieć istotę rozwiązań i przytaczanych faktów, lecz jedno go wciąż go niepokoiło: „No tak, rozwiązanie spełnia swoje zadanie, jest właściwe; ale – jak go można wymyślić? No tak, to doświadczenie przebiega jak należy, zaobserwowane zjawisko jest niezaprzeczalnym faktem; lecz jak można odkryć takie fakty? Jak można by znajdować takie rozwiązania lub samemu odkrywać fakty tego rodzaju?” W Induction and Analogy (IA): Niemała liczba przytoczonych zadań, komentarzy oraz opowieści uzyskała swą ostateczną postać dzięki sięgnięciu do nieformalnego eksperymentu psychologicznego. Dyskutując przedmiot z różnymi grupami słuchaczy, często przerywałem wykład i zadawałem pytania, takie na przykład: „No dobrze, a co byście uczynili w tej sytuacji?” Niektóre części tekstu książki zostały zasugerowane odpowiedziami, niekiedy reakcja audytorium nakazała zmienić pierwotną wersję wykładu.

9. W (HS): Autorowi wydawało się, że będzie rzeczą pożyteczną zebrać i pogrupować typowe pytania i wskazówki, które pomocne są przy omawianiu zadań. Zestawiona ich lista zawiera elementy pieczołowicie wybrane i uporządkowane, użyteczne także dla tych, którzy rozwiązują zadania samodzielnie. Tamże: Przytoczone pytania i wskazówki są ogólne, ale i naturalne, proste, oczywiste, wynikające ze zdrowego rozsądku. Ibidem: Najczęściej punkt widzenia autora jest punktem widzenia osoby, która po prostu pragnie rozwiązać stojące przed nią zadanie. Tamże: Autor, dobrze zdając sobie sprawę z możliwości krytyki i świadom ograniczonych ram swej wiedzy, chciałby na jedno zwrócić uwagę: ma pewne doświadczenie w rozwiązywaniu problemów oraz w nauczaniu na różnych poziomach.

10. 4.2. Celowo dobrane zestawy zadań Pisze autor w (IA): Książka jest kontynuacją wcześniejszej książeczki: How to SolveIt. Wiąże się także ze zbiorem zadań z analizy, zestawionym przez G. Szegõ i autora. W zbiorze tym starannie zgrupowano zadania w takim porządku, że wspierają się one na wzajem, dostarczając klucza do rozwiązywania innych, zaś jako całość obejmują określoną tematykę i stwarzają sposobność ćwiczenia pewnych chwytów, ważnych przy rozwiązywaniu zadań. Tamże: Komponując tekst uważałem, że powinienem przytoczyć zarówno zadania ważne ze względów historycznych, jak i zadania posiadające swoiste piękno matematyczne, jak również te, które ułatwiają wykazanie pewnego podobieństwa metod matematycznych do metod stosowanych w innych naukach lub w codziennym działaniu.

11. W Mathematical Discovery (MD): W większości rozdziałów podstawowa część tekstu poświęcona jest wyczerpującej prezentacji rozwiązań pewnej liczby zadań. To, co jest prezentowane, nie jest jedynie rozwiązaniem, lecz pewnym opisem przypadku właściwym danemu rozwiązaniu. W opisie wyróżniona zostaje sekwencja podstawowych kroków prowadzących do odkrycia rozwiązania, a także próba ustalenia motywów i postaw właściwych określonemu krokowi. Celem każdego z tych szczegółowych opisów jest zasugerować pewną ogólną zasadę postępowania, pewną metodę, która może okazać się pomocna w podobnej sytuacji. W (IA): Powiem to wyraźnie – starałem się wykorzystać całość doświadczeń badawczych i nauczycielskich tak, aby dać czytelnikowi możność rozsądnego naśladownictwa i samodzielnej pracy.

12. 4.3. Dialog W (HS): Etapy dialogu: (1) zaznajomienie się z zadaniem (2) głębsze wniknięcie w zadanie (3) poszukiwanie pomysłu rozwiązania (4) wykonanie planu (5) rzut oka wstecz pytania: . od czego powinienem zacząć? (1-5) . co mogę zrobić? (1-5) . co mógłbym zauważyć? . w jaki sposób myśl może być pomocna? . co mogę zrobić z pomysłem niekompletnym? . co mogę przez to zyskać? (1,2,4,5) . co mogę zyskać czynią to znów? (3) Tamże: Kto chce rozwijać zdolności do rozwiązywania zadań,musi rozbudzać zainteresowanie nimi, a także dać możność naśladowania i praktyki.

13. 4.4.Indukcja, uogólnienie, specjalizacja, analogia Paragraf 2.5. (IA): Uogólnienie, specjalizacja analogia Często pomocne w rozwiązywaniu zadań. Weźmy jako przykład dowód najlepiej chyba znanego twierdzenia geometrii elementarnej, twierdzenia Pitagorasa. Dowód,który podam, nie jest nowy, został bowiem sformułowany jeszcze przez Euklidesa (Elementy,VI,31). • .(1) Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, pierwszy z których jest przeciwprostokątną. • Zamierzamy udowodnić, że a2 + b2 = c2. (A) Tak sformułowany cel sugeruje, by zbudować kwadraty na trzech bokach naszego trójkąta prostokątnego. Czyniąc to dochodzimy do dobrze znanej części I rysunku:

15. .(2) Odkrycie, również odkrycie bardzo skromne, wymaga zauważenia czegoś, rozpoznania pewnego związku. Odkryjemy dowód, który zostanie przytoczony później, jeśli dostrzeżemy analogię między znaną już częścią I rysunku i niemal równie dobrze znaną częścią III: trójkąt prostokątny, ten sam co w I, w IIIpodzielony zostaje na dwie części wysokością, opuszczoną na przeciwprostokątną. .(3) Nie jest wykluczone, że nie dostrzegacie analogii między I i III. Jednakże można ją uwyraźnić, a to poprzez wspólne uogólnienie I i III, zobrazowane w II. Odnajdujemy tam ten sam trójkąt prostokątny, a na jego trzech bokach zbudowane zostały trzy wielokąty, podobne do siebie, a poza tym całkowicie dowolne. .(4) Pole kwadratu, zbudowanego w I na przeciwprostokątnej, to a2. Pole nieprawidłowego wielokąta, zbudowanego w II na przeciw-prostokątnej, można uznać za równe λa2; współczynnik λ określony jest jako stosunek dwu danych pól. Wobec czego z podobieństwa trzech wielokątów, zbudowanychw II na bokach a, b, c trójkąta, wynika, iż ich pola równe są odpowiednio λa2, λb2, λc2.

16. . (4) A więc, jeśliby równanie (A) było prawdziwe (jak ustanawia się w twierdzeniu, które zamierzamy udowodnić), to byłoby prawdziwe także λa2 + λb2 = λc2. (B) Jak widzicie (B) jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa: jeśli trzy podobne wielokąty zbudowane są na trzech bokach trójkąta prostokątnego, to pole wielokąta, zbudowanego na przeciwprostokątnej, równe jest sumie pól dwu pozostałych wielokątów. Jest pouczającym zauważyć, że to uogólnienie jest równoważne przypadkowi szczególnemu, od którego wyszliśmy. W rzeczy samej można wyprowadzać równania (A) i (B) jedno z drugiego, mnożąc lub dzieląc przez λ (które, jak stosunek dwu pól, jest różne od 0).

17. .(5) Twierdzenie ogólne, wyrażone przez (B), równoważne jest nie tylko przypadkowi szczególnemu (A), lecz i innym przypadkom szczególnym. Tak więc, jeśli okaże się, że istnieje pewien przypadek szczególny prawdziwy przez oczywistość, to tym samym udowodniony zostanie przypadek ogólny. Poszukując owej użytecznej specjalizacji rozglądamy się wokół za naszym szczególnym przypadkiem. Lecz oto właśnie III stanowi taki przypadek. Rzeczywiście, trójkąt prostokątny, zbudowany na swej własnej przeciwprostokątnej, jest podobny – jak dobrze wiadomo i co łatwo dostrzec – do dwu innych trójkątów, zbudowanych na jego przyprostokątnych. Ponad to – oczywiście – pole całego trójkąta równe jest sumie jego dwu części. Tak więc twierdzenie Pitagorasa zostało udowodnione.

18. Przeprowadzone rozumowanie jest nadzwyczaj pouczające. A mówimy, że przypadek jest pouczający, jeśli można nauczyć na nim czegoś, co da się zastosować do innych przypadków, i tym bardziej jest pouczający, im obszerniejsze są granice możliwych zastosowań. A przecież na rozpatrzonym przykładzie możemy nauczyć się wykorzystywania tak podstawowych operacji myślowych, jak uogólnienie, specjalizacja i percepcja analogii. Nie jest wykluczone, że ani w matematyce, równie dobrze elementarnej, jak i wyższej, ani nawet w dowolnej innej dziedzinie nie można dokonać odkrycia nie sięgając do tych fundamentalnych operacji. A rozpatrzony przykład wskazuje, jak od przypadku szczególnego (I) można wspiąć się z pomocą uogólnienia do sytuacji ogólnej (II), a następnie przejść z pomocą specjalizacji do przypadku analogicznego (III). Nasz przykład wskazuje poglądowo i sugestywnie, jak naturalnie łączą się z sobą uogólnienie, specjalizacja i analogiaw wysiłku osiągnięcia upragnionego rozwiązania.

19. W (HS): Całe nasze myślenie jest przeniknięte analogią: codzienna mowa i proste wnioskowania, literackie sposoby wyrażania się i największe naukowe osiągnięcia. Analogii używa się na bardzo różnych poziomach. Często sięga się do analogii mglistych, dwuznacznych, niepełnych lub niezupełnie określonych. Analogia może jednak osiągnąć matematyczny stopień precyzji. Przy czym – każdy rodzaj analogii może mieć znaczenie dla okrycia rozwiązania i dlatego nie należy zaniedbywać żadnej z nich. • Ibidem: W matematyce, tak jak w naukach fizycznych, możemy używać obserwacji i indukcji do odkrywania ogólnych praw. Istnieje jednak różnica – w fizyce nie ma większego autorytetu niż obserwacja i indukcja, w matematyce zaś jest nim ścisły dowód.

20. 4.5. Reguły twórczości W (HS): Wasz problem może być skromny; jeśli jednak zaciekawi was i pobudzi do czynu zdolności twórcze i jeśli rozwiążecie go własnymi siłami, możecie doznać emocji towarzyszącej napięciu umysłu i triumfowi dokonanego odkrycia. Takie emocje przeżyte w odpowiednim wieku mogą zrodzić zamiłowanie do twórczej pracy umysłowej i wywrzeć na całe życie piętno, zarówno na umyśle, jak i na charakterze. Tamże: Reguły dokonywania odkryć Pierwszą regułą jest mieć zdolności i szczęście. Regułą drugą – być wytrwałym dotąd, aż wpadnie się na dobry pomysł. W (IA): W tekście książki będę wielokrotnie omawiał odkrycia matematyczne, zarówno wielkie, jak i małe. Nie jestem w stanie opowiedzieć, jak do nich doszło, ponieważ tego nie wie nikt. Jednakże będę starał się dokonywać prawdopodobnych rekonstrukcji tego, jak mogło do odkrycia dojść. Będę więc zabiegał o wyjaśnienie motywów, leżących u podstaw odkrycia, schematów rozumowania, które do odkrycia doprowadziły, jednym słowem tego wszystkiego, co warte jest naśladowania.

21. W (MD): Reguły odkrywania? – racjonalnie, – oszczędnie, lecz bez założonych z góry ograniczeń, – wytrwale, lecz i różnorodnie, – stosując reguły preferencji, uwzględniające . zawartość rzeczową zadania, . dostępną wiedza, . zadania pomocnicze W (HS): Błędem byłoby sądzić, że rozwiązywanie zadań to wyłączna sprawa intelektu, ważną rolę grają tu również wytrwałość i emocje. Obojętność i bierna zgoda na zrobienie czegokolwiek może wystarczyć do rozwiązania zadania typowego. Ale do rozwiązania zagadnienia poważnego trzeba siły woli, której nie złamią lata trudów i gorzkich rozczarowań.

22. Treści wybranych rozdziałów (MD): Plan i program: – planowanie jako metoda, – metoda ogólniejsza, – program, – wybór między planami, – plan a program, – metoda a plan Narodziny pomysłu: – przebłysk światła, – o naturze użytecznego pomysłu, – pomysły zależą od trafu Praca umysłu: – jak myślimy, – to jest nasze zadanie, – związek z rzeczą, – bliskość, – przewidywanie, – obszar poszukiwań, – decyzje, – mobilizacja i organizacja, – rozpoznawanie i przypominanie,– uzupełnianie i przegrupowywanie, – izolacja i kombinacja, – diagram, – część sugeruje całość Dyscyplina umysłu: – jak powinniśmy myśleć, – ustalenie uwagi na celu, – ocena perspektyw, – poszukiwania: próby, – poszukiwania: bardziej obiecujący aspekt, – poszukiwania: wiadomości wiążące się z zadaniem, – poszukiwania: ponowna ocena sytuacji, – sztuka zadawania pytań

23. W (HS): Stosować regułę dosłownie, sztywno, ślepo, bez względu na to, czy pasuje do danej sytuacji czy nie – to jest szablonowość. Stosować regułę w sposób naturalny, rozsądnie, postrzegają przypadki, do których ma zastosowanie, nie pozwalać, aby słowa reguły zaciemniały cel działania albo możliwości wynikające z danej sytuacji – to jest mistrzostwo.

24. 4.6.Odgadywać i sprawdzać W (MD): Rozwiązywanie zadań stanowi jedną ze specyficznych właściwości intelektu, a intelekt to specyficzny rys gatunku ludzkiego. Rozwiązywanie zadań można więc uznać za najbardziej charakterystyczną domenę człowieczej aktywności. W (IA): Matematykę uważa się za naukę dedukcyjną. Jednakże jest to jedynie jeden z jej aspektów. Matematyka „zakończona”, przedstawiana w dopracowanej formie, wydaje się być czysto dowodową. Jednakże matematyka „tworzona” podobna jest do innych nauk, będących w trakcie stawania się. Zanim zostanie udowodnione, twierdzenie musi zostać odgadnięte; zanim przeprowadzicie szczegółowy dowód, musicie odgadnąć jego ogólną ideę. Czyniąc to, powinniście sięgać do obserwacji, zestawiać jej wyniki, wykorzystywać analogie; podjąwszy jedną próbę, trzeba podjąć następną, potem dalsze… Wynikiem twórczości matematycznej jest rozumowanie dowodowe, dowód; jednakże odkrywa się dowód z pomocą rozumowania wiarogodnego, dzięki odgadywaniu.

25. W (MD): Jeśli potrzebny jest wam trój-słowny opis metody naukowej, to pozwólcie, iż zaproponuję: ODGADYWAĆ I SPRAWDZAĆ. W (IA): Zawarte w książce przykłady rozumowań mogą rzucić pewne światło na jeden z najbardziej kontrowersyjnych problemów filozoficznych: na zagadnienie indukcji. Zasadniczym jest tu pytanie: czy istnieją reguły indukcji? Niektórzy filozofowie odpowiadają: tak. Większość uczonych myśli: nie. Moim zdaniem można uzyskać pewną informację o rozumowaniu indukcyjnym obserwując i porównując przykłady rozumowań wiarogodnych, mających za przedmiot tworzywo matematyczne. Tak oto otwarta zostaje droga do indukcyjnego badania indukcji.

26. W MathematicalMethodsin Science: Zobaczyliśmy więc jak Newton, poprzez odniesienie fenomenów spadającego jabłka, ruchu pocisku artyleryjskiego i Księżyca do odkrytych przez Keplera praw obrotów planet, doszedł do prawa powszechnego ciążenia i praw dynamiki. Czyż nie jest tak, że liczna rzesza satelitów i sond kosmicznych to godny pomnik i potwierdzenie jego geniuszu? W (HS): Wracanie do definicji jest ważną operacją myślową. Jeżeli chcemy zrozumieć, dlaczego definicje słów są tak ważne, to powinniśmy przedtem uświadomić sobie, że same słowa są ważne. Trudno byłoby myśleć nie korzystając ze słów, znaków czy innych symboli. Słowa i znaki mają więc pewną siłę. Ludzie prymitywni wierzą, że słowa i symbole mają moc magiczną. Możemy ich zrozumieć, jednakże nie powinniśmy podzielać ich wiary. Powinniśmy wiedzieć, że siła słowa tkwi nie w jego brzmieniu, ale w pojęciach, do których słowo się odnosi oraz – w rezultacie – w faktach, na których pojęcie jest oparte.

27. 4.7.Stopniowa uniwersalizacja dokonań Porównanie głównych elementów spisów treści: . How to Solve It: I W klasieII Jak to rozwiązać? III Krótki słownik heurystyczny, a w nim m.in.: analogia, definicja, indukcja, nowoczesna heurystyka, paradoks odkrywcy, reguły dokonywania odkryć, szablonowość i mistrzostwo, uogólnienie, wytrwałość, nadzieja, sukces . Induction and Analogy in Mathematics: rozdziały: Indukcja, Uogólnienie, specjalizacja, analogia, Indukcja i stereometria, Indukcja i teoria liczb, Różne przykłady indukcji, O pewnym ogólniejszym twierdzeniu, Indukcja matematyczna, Maksima i minima, Matematyka fizyczna, Zadanie izoperymetryczne,Inne rodzaje rozumowań wiarogodnych . MathematicalMethodsin Science: I. Z historii astronomii: pomiar i kolejne przybliżenia sekcje: Pomiar, Pomiary astronomiczne, Kolejne przybliżenia, Metoda Newtona II. Z historii statyki sekcje: Stevinus i Archimedes, Wektory III. Z historii dynamiki sekcje: Galileusz, Newton, Wahadło, Pierwsza szybkość kosmiczna IV. Rozumowanie fizyczne w matematyce V. Równania różniczkowe i ich wykorzystanie w nauce sekcje: Pierwsze przykłady, Przybliżenia: rozwinięcia potęgowe, Analogia fizyczna, Co to jest równanie różniczkowe?

28. . Mathematical Discovery: Część I Metody rozdziały: Metoda dwu miejsc geometrycznych, Metoda Kartezjusza, Rekursja, Superpozycja Część II W kierunku metody ogólnej rozdziały: O zadaniach, Rozszerzenie zakresu metody, Odwzorowanie geometryczne procesu rozwiązania, Plan i program, Zadania w zadaniach, Narodziny pomysłu, Praca umysłu, Dyscyplina umysłu, Reguły odkrywania? O uczeniu się, nauczaniu i uczeniu nauczania, Odgadywanie a metoda naukowa

29. W (MD): Ale oto poszukiwania metody uniwersalnej dały nie więcej od poszukiwań kamienia filozoficznego, zamieniającego ołów na złoto: są takie wielkie marzenia, które muszą pozostać marzeniami. I mimo to te nieosiągalne ideały nie są tak całkiem nieużyteczne: nikt nie dotarł do Gwiazdy Polarnej, wielu jednak, patrząc na nią, znalazło właściwą drogę. Książka ta nie może podać uniwersalnej metody rozwiązywania zadań (i nie ma takiej książki), jednakże nawet postawienie kilku kroków w stronę nieosiągalnego ideału może wzbogacić nasze umysły i pogłębić umiejętność rozwiązywania zadań.

30. W (IA): Książka zmierza do osiągania różnorodnych celów, ściśle z sobą powiązanych. Cel naczelny, to służyć jako przewodnik po ważnej, choć niedostatecznie wytyczonej drodze. To jednak nie wszystko – książka jest zarazem próbą eseju filozoficznego. Jest także kontynuacją i wymaga kontynuacji. W (HS): Bardziej ambitny plan może mieć większą szansę realizacji. To brzmi paradoksalnie. Jednakże przechodząc od jednego zadania do drugiego, możemy nieraz zauważyć, że nowym, bardziej ambitnym zadaniem łatwiej jest operować niż zadaniem wyjściowym. Może być łatwiej odpowiedzieć na więcej pytań niż tylko jedno. Może być łatwiej udowodnić twierdzenie ogólniejsze i rozwiązać ogólniejsze zadanie.

31. 5. Mam nadzieję, że przekonałem Was – nie ma wątpliwości, iż wkład George’aPólya do filozofii jest znaczny, a jego sedno to wyrazisty krok ku uniwersalnej metodzie rozwiązywania zadań. 5.1. Ten motyw, wymieniony jako siódmy, jest klamrą łączącą ogół dokonań i dążeń, a pozostałe nici przewodnie jawią się jako środki do urzeczywistniania uniwersalizacji. Pokażę to na przykładzie triady uogólnienie, specjalizacja, analogia.

32. Otóż czynną jej obecność można dostrzec, między innymi, w procesie odkrywania i transformacji reguł odkrywania: – od początkowego, sprawdzanego w praktyce . pierwszą regułą jest mieć zdolności i szczęście; . regułą drugą – być wytrwałym dotąd, aż wpadnie się na dobry pomysł, –poprzez percepcję reguł i właściwości analogicznych, charakterystycznych dla innych podejmowanych działań, a więc . formowania sztuki zadawania pytań, . konstruowania celowo dobranych zestawów zadań, . skutecznie i odkrywczo przeprowadzanego dialogu, . odnajdywania celnych odgadnięć oraz . perfekcyjnego sprawdzenia poprawności wyniku, – dochodzi Autor do zestawu końcowego: . racjonalnie, . oszczędnie, lecz bez założonych z góry ograniczeń, . wytrwale, lecz i różnorodnie, . uwzględniając reguły preferencji, ustalane ze względu na zawartość rzeczową zadania, dostępną wiedzę oraz zadania pomocnicze. Motyw „mieć szczęście” rozwinięty zostaje odrębnie, między innymi w „pomysły zależą od trafu”.

33. 5.2. Jak nazwać ten styl filozofowania i tę filozofię? Bez wątpienia jest rodzajem metodologii. Wykazałem, że będzie słusznym przydanie mu określnika intuicjonizm syntetyczny. Jednocześnie i z całą pewnością, jest to także – po drugie – teoria twórczości poznawczej,przede wszystkim matematycznej. • Nie sposób również nie zauważyć powszechnie docenianego znaczenia dokonań dla fundamentów i rozwoju pedagogiki twórczości. Jest więc – po trzecie – teorią wychowania do twórczości. 5.3. Kończąc pragnę podkreślić niezwykłość fenomenu jedności człowieka i dzieła. Bo przecież ów nauczający mistrz, to zarówno George Pólya, jak i jego dokonanie. Mistrz odszedł, dzieło trwa, a wraz z nim twórca.