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第二章 复变函数的积分

第二章 复变函数的积分. 本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的 柯西定理和柯西积分公式 ，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。. 第一节 复变积分的定义和性质. 复变函数的积分定义为和的极限。. 2 ．复变函数积分的计算 — 分解为实变函数的积分的计算. 由积分的定义. 由积分的定义 +. 二 复变函数积分的性质. 三 复积分的计算方法. 例 2. (1) 解. 1. y = x. 积分路径的参数方程为. 解 2. y = x. y = x. (2) 积分路径的参数方程为.

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第二章 复变函数的积分

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  1. 第二章 复变函数的积分 本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的柯西定理和柯西积分公式，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。 第一节 复变积分的定义和性质 复变函数的积分定义为和的极限。

  2. 2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算

  3. 由积分的定义 由积分的定义+ 二 复变函数积分的性质

  4. 三 复积分的计算方法

  5. 例2 (1)解 1 y=x

  6. 积分路径的参数方程为 解2 y=x

  7. y=x (2) 积分路径的参数方程为

  8. y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为

  9. 1.复变函数的积分定义为和的极限。 3.复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算

  10. 4. 复变函数积分的性质 5. 复积分的计算方法

  11. 例3 (1)解

  12. (2) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 3到3+4i直线段的参数方程为 这两个积分都与路线l 无关

  13. 复习：格林公式—平面上曲线积分与路径无关的条件复习：格林公式—平面上曲线积分与路径无关的条件 定理2设函数P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域D内有一阶连续偏导数，则曲线积分 与路径无关的充要条件是

  14. 例4 解: 积分路径的参数方程为

  15. 例6 解 积分路径的参数方程为

  16. 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.

  17. 已知:

  18. y 1 p O q

  19. D 第二节 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式 思考：什么样的积分与路径有关？什么样的积分与路径无关？什么样的积分之值是零？ 一 单连通区域的柯西定理

  20. 1851年,黎曼在附加条件“f'(z)在D内连续”的条件下,借助于Green公式给出了一个简单的证明;1851年,黎曼在附加条件“f'(z)在D内连续”的条件下,借助于Green公式给出了一个简单的证明; 1900年Goursat发表了柯西积分定理证明方法,他的证明较长且复杂; 2004年莫国瑞、刘开第采用逼近论的方法给出了柯西积分定理的一个较为简单的证明，证明中用到逼近论和实分析等许多高深的知识; 2005年王信松、陆斌采用调和分析的方法给出了柯西积分定理的一个简单证明,但是证明中用到了控制收敛定理等实分析的高级工具,不利于复变函数的教学.

  21. 复习： D

  22. D 证明： 根据格林公式： 由C-R条件

  23. 推论2 l l 1 A B D l 2

  24. 推论2 单连通区域的柯西定理

  25. 例3 解 根据柯西定理得

  26. 计算复变函数的环路积分： 首先应判断被积函数有无奇点？ 有何奇点？ 从而选择合适的公式计算。

  27. 现证明 是 的原函数 二 原函数和定积分

  28. 三 复连通区域的柯西定理

  29. 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为l不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线l内即可.

  30. 例题5 C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 解： （由闭路变形原理(推论3)）

  31. 推论2 单连通区域的柯西定理

  32. 在 的解析区域中，积分回路连续变形， 其积分值不变。 复连通区域的柯西定理 推论3

  33. 例6 打洞! 解 依题意知,

  34. Cauchy定理 重要公式 重要 公式 Cauchy定理

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