دولة الإمارات العربية المتحدة وزارة التربيـــــــة والتعلـــــيم منطـقة رأس الخيمة التعليمـي ـ ة

1. دولة الإمارات العربية المتحدة وزارة التربيـــــــة والتعلـــــيم منطـقة رأس الخيمة التعليمـيـة مدرسة الحمرانـيـة الثانوية للبنين الجـبـــر إعــداد الأ ستــــاذ أشــــــــرف صــــــــــالـــــح..

2. الجـبــــــــر Algebra حـــل معـــادلات مــن الـدرجة الثــانـيــة فــي متـغـيـــر واحـــــد

3. تـــذكــر :تحـلــيل المـقاديــر الجـبـريــة مـثـــال :حلل المقادير الجبرية التالية : 2 x – 9 ( Χ – 3 ) ( Χ +3 ) = 1. 2 ( Χ – 6 ) ( Χ + 1 ) x – 5x– 6 = 2. 2 ( Χ + 3 ) ( Χ – 1) x + 4 x+ 3 3. =

4. مثـــال :حـلل مـا يلـي بالإكمــال إلــى مـربع : x + 2 x- 5 2 = 1. 2 نضيـف و نطــرح( ) = 1 x + 2 x + 1 – 1 ــ 5 2 = 2 ( Χ + 3 ) ( Χ + 1- ) ( Χ + 1+ ) 6 = ـــ

5. استخــدام التحـليل في حـل المعـادلات من الـدرجة الثــانية : مثــال : حـــل المعـادلات التـاليـة : 2 x – 7x+ 10 = 0 1. باستخــدام التحليــل ( Χ – 2 ) ( Χ - 5 ) = 0 or x – 2 = 0 x – 5 = 0 x = 2 or x = 5

6. إستخدام القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد على الصورة 2 هو : ax + bx + c = 0 ,حيث a ≠ 0 2 X = 2 ويسمـى المقـدار b – 4ac بالمميـز ويـرمز لـه بالـرمز : 

7. يسمـى المميـز بالمميـز لأنــه يمـيــز نـــوع جــذري المــعادلـــة حـــيث : 1- إذا كان المميز موجبا , للمعادلة جذرين حقيقـيين مختلفيـن . 2- إذا كان المميز يساوي صفر , للمعادلة جذرين حقيقـيين متساويين . 3- إذا كان المميز سالبا , للمعادلة غير جذرين حقيقيين ( تخيلييـن ) .

9. 2 2) 4x + 4x + 1 = 0 , , c = 1 b = 4 a = 4 2  = b - 4ac 2 = (4) – 4 x 4 x 1 = 16 – 16 = 0 بما أن المميز يساوي صفر , يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان

10. 2 3) x + 2x + 5 = 0 , , b = 2 c = 5 a = 1 2  = b - 4ac 2 = (2) – 4 x 1x 5 = 4 – 20 = -16< 0 بما أن المميز أقل من صفر , يكون للمعادلة جذران غير حقيقيان( تخيليين )

11. يمكن توضيـح العـلاقـة بين المميـز ونوع الجذريـن كما في الجـدول : 2

12. 2

13. 2

14. مـــــلاحـــظــــــــات : 2 إذا كانت إشارة معامل x موجبة , يكون المنحنى مـقعـــراً . 2 إذا كانت إشارة معامل x سالبة , يكون المنحنى مـحــدباً .

15. تــــدريـبـــــــــــــــات : حــل المعــادلات التـاليـــة بإسـتخـدام القانـــون العـــام : 2 1) x - 2x – 3 = 0 , , c = -3 a = 1 b = - 2 2  = b - 4ac 2 = (-2) – 4 x 1x -3 = 4 + 12 = 16 > 0 بما أن المميز أكبر من صفر , يكون للمعادلة جذران حقيقيـان مختـلفـان

16. 2 X = X = X =  X = = -1 , X = = 3

17. 2 2) X + 6x + 9 = 0 , , a = 1 b = 6 c = 9 2  = b - 4ac 2 = (6) – 4 x 1x 9 = 36 - 36 = 0 بمـا أن المميز يساوي صفر , يكـون للمعـــادلـة جـذران حقيقيـان متساويـان

18.  X = X = X =  X = -3

19. 2 3) 2X + 3x + 4 = 0 b = 3 c = 4 a = 2 , ,  = b - 4ac 2 2 = (3) – 4 x 2x 4 = 9 - 32 = -23 < 0 بما أن المميز أقـل مـن صفر , لا يوجــد للمعـادلـة جــذور حقيقـيـة  X= , X =

20. مجمــــوع و حـاصــــل ضـــرب جــذري المعـادلـــــــة : 2 • إذا كـــان جذرا المعادلـة ax + bx + c = 0 هما n , m فـإن : حــاصــل ضـــــرب الجـذريــــن mn = , m + n = حاصــــل جمــــــــع الجذريـــــن ,

21. مـثـــــال : بدون حـل المعادلــة , أوجـد مجموع وحاصل ضرب جذري المعادلة إذا وجــدا : 2 1) 3x + 2x – 3 = 0 , c = -3 a = 3 , b = 2 2  = b - 4ac = 4 – 4 x 3x -3 = 4 + 36 = 40 > 0 يوجد للمعادلة جذرين حقيقيين  m + n = = =-1  mn = =

22. مثــــــــــــــــــــال : إذا كان مجموع جذري المعادلة 2x + bx – 5 = 0 يساوي 1 , فأوجد b ثمحل المعادلة : 2  m + n = = 1 x = = 1 x =  b = -2 2  2x + -2x – 5 = 0 x = a = 2 , b = 3 c = 4 , 2  = b - 4ac x = = 4 – 4 x 2x -5 = 4 + 40 = 44 > 0

23. إيجـــاد المعادلة إذا علـم جذراها : لتـكن المعادلة هي : ax + bx + c = 0 , a ≠ 0 , وليكن جذراها n , m. 2 بالقسمة على a تكون صورة المعادلة : x + x + = 0 ولـكـــــن : m + n = mn = , 2  x – ( m + n ) x + ( m n ) = 0

24. مـثــــــــــــــال : أوجـــــــد المعادلــــة التـــي جـــــذراها : 1) 3 , 5 2  x – ( m + n ) x + ( m n ) = 0  x – ( 3 + 5 ) x + ( 3x 5 ) = 0 2 2  x – 8 x + 15 = 0