第三章 力系的平衡

1. 第三章 力系的平衡 • 第一节 平面力系的平衡 • 第二节 静定问题与超静定问题 • 第三节 物系平衡问题的应用 • 第四节 空间力系的平衡

2. 第一节 平面力系的平衡 • 平面一般力系平衡方程的基本形式 • 平面一般力系平程方程的其它形式 • 平面特殊力系的平衡方程

3. 平面一般力系平衡方程的基本形式 • 平面力系平衡充要条件： 力系的主矢R和对任意点的主矩MO均等于零 结论：平面力系各力在任意两正交轴上投影的代数和等于零，对任一点之矩的代数和等于零。

4. 平面一般力系平程方程的其它形式 • 二力矩形式的平衡方程 条件：连线AB不垂直投影轴x • 三力矩形式的平衡方程 条件：A、B、C是平面内不共线的任意三点

5. 解析条件是： 几何条件： R=0 或F=0 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零。 力系中各力矢构成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。 • 平面特殊力系的平衡方程 平面汇交力系平衡方程 平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以，平面汇交力系 平衡的充要条件

6. 平面平行力系平衡方程 充要条件是：力系中所有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。 二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的作用线平行。

7. 平面力偶系 平衡方程 平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 m = 0 • 三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必共面，且汇交于一点。

8. 例3-1刚架如图 (a)所示，在B点受一水平力作用。设P=20 kN，刚架的重量略去不计。求A,D处的约束反力 解： 几何法 • 选刚架为研究对象 • 画受力图 • 作力多边形，求未知量 选择力比例尺F=5 kN/cm作封闭的力三角形，如图(c)所示。量得：RA=22.4kN，RD=10 kN。两反力的指向由力三角形闭合的条件确定

9. 解析法求解 • 选刚架为研究对象 • 画受力图 • 列平衡方程，选坐标轴如图所示 RA得负值，表示假设的指向与实际指向相反

10. 例3-3如图 (a)所示，重物P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 解： • 取滑轮B为研究对象 滑轮的大小可忽略不计，故滑轮所受的力可看作是汇交力系。

11. SBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。SAB为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力SBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。SAB为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力

12. 例3-2 平行轴减速箱如图示。可以认为各力都作用在同一平面内。已知减速箱的速比为2:1，若匀速转动时，在主动轴Ⅰ上作用有矩为m1=30 Nm的顺钟向力偶，而在输出轴Ⅱ上作用有工作机械施予的矩为m2的阻力偶，由于减速，则；求在A与B处螺栓和支承台所受的力。已知AB间距离l=18 cm。 解： 作用于减速箱上有矩为m1的主动力偶、矩为m2的阻力偶 减速箱的速比为2:1 m2=2m1=60 Nm

13. 取减速箱为研究对象 螺栓与支承台的约束反力RA、RB ，按力偶的平衡条件，反力RA及RB必构成一力偶，即RA= RB 反力RA及RB分别由A处螺栓及B处支承台产生，按作用与反作用定律，A处螺栓受拉力，而B处支承台受压力。

14. 解： 杆件AD、AC和BC都是二力杆，其约束反力SAD、SAC和SBC沿各杆的中心线，因指向未定，故暂都假设各杆受拉力 例3-4 一容器如图示，连同盛装物共重W=10 kN，作用在容器上的风荷载q=1 kN/m，在容器的受力平面内有三根杆件支承。求各杆所受的力。 • 研究容器受力图如图

15. （杆BC受压力） （杆AD受压力） （杆AC受压力）

16. 在单个物体上遇有分布载荷时，可先将分 布载荷简化为合力Q=q来计算，本题Q=q×4=40 kN，作用线在AB的中点。 例3-5 如图所示外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力P=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的反力。 解： 列力矩方程，矩心应选在两个未知力的交点，如图中A点或B点。

17. 投影方程中，不用考虑任何力偶的投影； • 在力矩方程中，不问矩心何在，只要将所有力偶矩的代数值统统列入即可 。

18. 例3-6 起重机的尺寸如图示，其自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。从实践经验可知，当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P为多少？

19. P=200 kN 符合题意要求。 • 画支座反力NA与NB。令NA=50 kN。列平衡方程： • 如为空载，仍应处于平衡状态，故

20. 例3-7 图示为可沿铁路行驶的起重机，本身自重G=250 kN，其重心在E点。最大载荷P=200 kN，在C点起吊。为防止机身向右翻倒，在左端D有一平衡重W，W的重心距支点A的水平距离为x。W与x必须计划适当，使得既能在C点满载时防止机身向右翻倒，又能在空载时机身不致向左翻倒。为保证安全，必须使任一侧轮（A或B）的向上反力，不得小于50 kN。设b=1.5 m，e=0.5 m，l=3 m，求W与x的适当值。

21. 满载时 Wx=425 联立解得：W=250 kN，x=1.7 m 解： • 空载时

22. 几点讨论： • 根据题意选择研究对象。 • 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。 • 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力； • 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位；

23. 两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。 • 用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出； • 用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。

24. 第二节 静定问题与超静定问题 • 物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 。 • 静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。 • 超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目

25. 独立的平衡方程 数：3 未知力数：3 独立的平衡方程 数= 未知力数 静定问题 独立的平衡方程 数：3 未知力数：4 未知力数>独立的平衡方程 数 超静定问题

26. 独立的平衡方程 数：6 未知力数：6 独立的平衡方程 数= 未知力数 静定问题 独立的平衡方程 数：6 未知力数：7 未知力数>独立的平衡方程 数 超静定问题

27. 第三节 物系平衡问题的应用 • 求解过程中应注意以下几点 • 首先判断物体系统是否属于静定问题 • 恰当地选择研究对象 在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。 当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其它物体。

28. 受力分析 ①首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，有利于解题。 ② 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束反力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束反力。 ③ 画受力图时，关键在于正确画出铰链反力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。 ④ 不画研究对象的内力。 ⑤ 两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律，即作用力与反作用力必定等值，反向和共线。

29. 列平衡方程，求未知量 ① 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 ② 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。 ③ 解题时应从未知力最少的方程入手，尽量避免联立解。 ④ 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。

30. 例3-8 如图所示结构中，AD＝DB＝2 m，CD＝DE＝1.5 m，Q＝120 kN，不计杆和滑轮和重量。试求支座A和B的约束反力和BC杆的内力S。 解： • 研究整体 解除约束，画整体受力图如图 (b)，显然图中绳的张力T＝Q。列平衡方程：

32. 取CDE杆连滑轮为研究对象（求BC杆内力S）

33. 求BC杆的内力S，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图如图3-8(d)求BC杆的内力S，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图如图3-8(d)

34. 例3-10 曲轴压力机由飞轮、曲轴、连杆和滑块组成，其中飞轮和曲轴固连成一体，如图所示。曲轴受到由传动机构（图中未画出）作用的力偶矩为M。曲柄长OA＝r，A、B、O可以作为光滑铰链。在图示位置，曲柄OA和连杆AB分别与铅直线成 和 角。此时滑块上受到的冲压力P大小已知，各部件重量可以略去不计。求系统平衡时力偶矩M的值。

35. 研究滑块，受力图如图示，其中力N为导轨的反力，力S为连杆作用于滑块的力，力P为冲压力（工作的反力） • 研究曲轴（连飞轮）

36. 例3-11 某厂厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，如图所示。刚架上的载荷已简化为两个集中力P1及P2。试求A、B、C三处的反力。 解：本题是静定问题，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未知数，而且不可能联立求解（读者可自己写出平衡方 程）

37. 将AC及BC两部分分开来考察 其余各未知反力，请读者自己计算并进行校核。如果A、B两点高度相同(h＝0)，又怎样求解最为简便？

38. 例3-12 已知结构如图所示，其上作用载荷分布如图，q1＝3 kN/m，q2＝0.5 kN/m，力偶矩M＝2 kNm，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。 解：本题如以整体为研究对象，固定端反力有XA、YA与MA，支座B反力有NB共四个未知量。又考虑到还要求铰链C的内力，故且先分开BC部分，画受力图如 (b)来求解。

39. 研究BC • 研究AC

40. 集中载荷加在中间铰链的情形的处理： • 如不需要计算受集中力的中间铰链的反力时，此集中力可以任意地加在某一部分分离体上。 • 如需要计算受集中力中间铰链的反力时，宜把中间铰链销钉单独作为一分离体，集中力则作用在销钉上来处理。

41. 例3-13 由两圆弧形曲杆所组成的结构如图所示。A、B、C三处均用铰链连接，受P＝100 kN，Q＝200 kN与F＝400 kN三个力的作用如图示，求A、B两铰链之反力。 解：研究BC

42. 解：研究整体

43. 例3-14 图 (a)示一公路桥，由梁AB、BC和CD所组成，该桥的计算简图如图 (b)所示。在B、C处，梁与梁之间可发生相对转动，故B、C处可抽象为铰链。 桥上的荷载为一辆重150 kN的汽车对桥的压力，其中前轮的压力为50 kN，后轮的压力为100kN，前后轮的轴距为4 m。求支座A、E、F、D及铰链B、C的约束反力。

44. 取梁BC为研究对象，受力如图 (d) 示 • 取梁CD为研究对象，受力如图 (c)示

45. 取梁AB为研究对象，其受力如图 (e)示 • 为进行校核，列出一个整体的平衡方程

46. 例3-15 图 (a)的构架中，AC杆上作用一力偶矩为m的力偶，在CD、BD杆的中点分别作用铅直力P、水平力Q。图中尺寸a、b为已知，不计杆的自重，试求AD杆所受之力。 解：在此构架中，除了AD杆是二力杆以外，其它杆均非二力杆，为了求AD杆的内力（拉力或压力），还必须先求某些非待求的未知量。 • 取整体为研究对象，受力图如图 (b)示。

47. 取CD杆为研究对象，受力图如图 (c)示。

48. 取BD杆连同中间铰链的销子D为研究对象，受力图如图 (d)示 其中： 由此可知： • 当m>bQ时，AD杆受拉力； • 当m<bQ时，AD杆受压力； • 当m＝bQ时，AD杆不受力。

49. 第四节 空间力系的平衡 物体在空间一般力系作用下平衡，必须且只须不沿任选的x轴、y轴、z轴方向移动，也不绕这三个坐标轴转动。 • 空间一般力系平衡的充要条件 力系各力在x轴、y轴、z轴上投影的代数和为零，且力系中各力对x轴、y轴和z轴之矩的代数和为零

50. 空间汇交力系的平衡方程 因坐标原点与汇交点重合，则mx≡my≡mz≡0 • 空间平行力系 若z轴与各力平行，则X≡0, Y≡0, Mz≡0 • 空间力偶系的平衡方程 因 X≡0，Y≡0，Z≡0 • 空间特殊力系的平衡条件