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粒子群优化算法及其在过程工业上的应用

Particle Swarm Optimization and its Application on Process Industry. 粒子群优化算法及其在过程工业上的应用. 浙江大学 控制系 赵成业. 2011.3.15. Content. 1 . 智能优化算法的理论和应用背景 3 2 . 一种改进的变参数粒子群优化算法 (MAPSO) 7 3 . MAPSO 与其他算法的性能比较 22

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粒子群优化算法及其在过程工业上的应用

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  1. Particle Swarm Optimization and its Application on Process Industry 粒子群优化算法及其在过程工业上的应用 浙江大学 控制系 赵成业 2011.3.15

  2. Content • 1. 智能优化算法的理论和应用背景 3 • 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 7 • 3.MAPSO与其他算法的性能比较 22 • 4. 基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 34 • 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 45 • 6. 基于MOPSO算法和高斯伪谱离散化的动态优化求解 67 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  3. 1. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 1. 智能优化算法的理论和应用背景 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  4. 1. 智能优化算法的理论和应用背景 1.1. 智能算法的一种层次分类 论文1.1节 • 1 模拟动物神经元的算法 • 自适应共振理论神经网络，自适应神经网络，BP网络，模糊神经网络等 • 2 模拟动物群体行为的算法 • 蚁群算法，粒子群优化算法等 • 3 模拟生物进化过程的算法 • 遗传算法，人工免疫优化算法等 它们的共同特点： （1）能处理真实世界的、不完整的、不确定的信息； （2）具备较强的归纳、综合和学习能力； （3）具有潜在的并行处理能力。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  5. 1. 智能优化算法的理论和应用背景 1.2. 智能算法在工业上已有的一些应用 论文1.3节 肖本贤等(2008)提出将改进粒子群优化算法(MPSO)融合到神经网络预测控制中,对某超临界600 MW直流锅炉高温过热器的过热汽温控制，结果表明该方法具有良好的性能指标和应用前景。 Rallo等(2002)应用模糊ARTMAP网络以及自适应SOM网络对过程低密度聚乙烯（LDPE）生产过程中的重要过程变量进行建模预报，取得了相比传统模型更好的预报效果。 Achichea等(2007)应用模糊决策系统以及遗传算法对纸浆生产过程中的纸张亮度进行统计建模，所得模型能够较精确的逼近分析值。 Zhang(2008)提出了一种针对间歇过程的基于Bootstrap聚合神经网络的多部目标优化控制方法，避免了建立机理模型的困难，并提高了模型的精度和可靠性。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  6. 1. 智能优化算法的理论和应用背景 1.3. 智能算法在过程工业上的应用前景 论文1.3节 标准PSO算法存在不足，需要改进后才能更好地实际应用 数据的采集已经不成问题，对已有数据进行大规模分析处理的需求增加 传统的单纯基于过程机理分析的建模以及优化方法在工业过程中的应用条件受到限制 智能算法具有较高的并行计算效率，算法实现成本低且应用灵活 尝试PSO算法？ 基础算法：神经网络建模，模糊控制，动态优化算法等 实施的技术：过程建模、先进控制与优化技术 实现过程建模是实施先进控制和动态优化的基础 实现过程动态的优化具有很高的经济回报 工业的需求：降低碳排放量，提高工业过程的生产效率，减小过程的能耗 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  7. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  8. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.1. 粒子群优化算法 论文2.1节 • 1 模拟了自然界生物集群活动的现象 从鸟类和鱼类的群体活动中得到启发而提出的，与遗传算法不同的是，不依靠遗传算子（选择算子、交叉算子、变异算子）来操作个体，而是依靠个体间的信息交换来达到整个群体的共同演化 • 2 算法行为与收敛性 整个解集是一个群，群中的每个解为一个粒子。每个粒子都有一个适应值，反映其对问题的适应程度。每个粒子都会启发式地改变速度方向，向局部最佳点和全局最佳点运动。理论上可以证明，经过有限次算法迭代，整个群体会收敛到一个相对较优的解空间上。 • 3 应用领域 工业过程，经济管理，金融工程等各领域 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  9. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.2.标准粒子群优化算法的动力学模型 论文2.1节 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  10. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.3.标准粒子群优化算法的缺陷和改进 论文2.1节 • 缺陷： • 算法的计算效率很大程度取决于迭代次数，更精确的说是取决于适应度函数的计算次数（function evaluations, FES），从而不利于解决适应度函数计算复杂度较高的优化问题。 • PSO算法在优化复杂多峰优化问题时容易陷入局部极值点（local optima），这也限制了算法在很多方面的应用[Li，2007]。 • 改进： • 研究人员提出了若干种PSO算法的变种，主要包括变参数PSO算法[Eberhart, et al.，2004]、局部最优PSO算法[Kennedy, et al.，2006]、综合PSO算法[Liang, et al.，2006]， 合作PSO算法[Bergh, et al.，2004]等算法。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  11. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.4. 基于迭代次数的算法控制 论文2.2.1节 • Shi(1998)提出一种基于惯性学习速率的改进算法，算法规定学习速率的值随迭代过程线性减小。 上述基于迭代次数的参数控制能够在一定程度上提高算法性能，但也使得算法容易在某些优化问题上进入参数失配的陷阱。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  12. 2. 一种改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.5. 状态估计和参数控制思想的引入 • а1 论文2.2.1节 • S1 • S2 • S3 • S4 • S3 • S2 • S1 • S4 • а2 • Zhan等(2009)提出了采用一种基于进化状态估计的参数控制的基本思路。算法根据种群中粒子的分布状态将算法的进化过程分为四个状态：探索期(S1)、开拓期(S2)、聚合期(S3)以及跳出期(S4)，在迭代计算过程中根据当前进化状态动态调整算法参数。 • 基于进化状态的参数控制的主要步骤： 但是该文献提出的进化因子算法和进化状态识别算法过于繁琐复杂，存在改进的余地。 1.进化因子计算 2.进化状态识别 3. 算法参数控制 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  13. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.6.1. 本文提出的状态因子算法 论文2.3.1节 其次，定义最优粒子与其他粒子之间连接向量之和的长度为： 首先，定义最优粒子与其他粒子的距离和为 最后，定义进化因子为： • 初始期 • 收敛期 • 跳出期 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  14. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.6.2. 变参数PSO算法：验证本文提出的进化因子（1） 论文2.3.1节 • 下图显示了PSO算法在优化维度为30的两个基准函数时进化因子的改变。 • Griewank函数 • Sphere函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  15. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.6.3. 变参数PSO算法：验证本文提出的进化因子（2） 论文2.3.1节 • 下图显示了PSO算法在优化维度为100的两个基准函数时进化因子的改变。 • Sphere函数 • Griewank函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  16. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.6.4. 变参数PSO算法：验证本文提出的进化因子（3） 论文2.3.1节 • 为了获得较稳定的进化状态观测，对观测到的状态进行时延并通过滑动平均去除过多的波动。 Griewank函数 Sphere函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  17. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.7.1. 本文提出的进化状态识别算法 论文2.3.1节 • 本文提出了基于状态转换机制的状态估计方法。如下图所示，S1至S4分别表示算法运行的四种进化状态，它们之间的连接表示在一定条件下发生的状态 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  18. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.7.2. 变参数PSO算法：本文提出的基于状态识别的算法控制 论文2.3.2节 • 学习因子控制 • 加速度参数控制 • 偏移算子 • 变异算子 • 当算法处于收敛阶段时，对粒子按一定概率在一定取值范围内进行变异，以求跳出局部最优点。 • 当算法处于收敛阶段时对最优的粒子进行轻微的抖动，以求获得更优的解 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  19. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.7.3. 变参数PSO算法：验证基于状态识别的算法控制（1） 论文2.3.2节 • 下图显示了加入参数控制后的进化因子变化，可以看到加入状态估计后进化因子的变化更加迅速和激烈。 • Griewank函数 • Sphere函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  20. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.7.4. 变参数PSO算法：验证基于状态识别的算法控制（2） 论文2.3.2节 • 下图显示了加入参数控制后学习因子的变化 • Sphere函数 • Griewank函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  21. 2. 改进的变参数粒子群优化算法(MAPSO) 2.7.5. 变参数PSO算法：验证基于状态识别的算法控制（3） 论文2.3.2节 • 学习速率随着状态的改变而波动。下图显示了加速度参数变化曲线，可以看到随着进化状态的波动，加速度参数在2.2与2之间波动 • Griewank函数 • Sphere函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  22. 3.MAPSO与其他算法的性能比较 3.本文提出的 MAPSO算法与其他算法性能比较 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  23. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.1.1 变拓扑粒子群优化算法：标准动力学公式的转换 论文2.2.2节 • 将标准PSO算法的动力学模型公式经过变换后得到如下变形公式： 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  24. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.1.2 变拓扑粒子群优化算法：一种通用的吸引子描述 论文2.2.2节 • 选取某种特定的吸引子的关键在于： • 邻域拓扑结构的选取 • 邻域内权值向量的选取 • 权值向量的计算方法有如下几种： • （1）设定邻域内所有粒子具有相同的权值； • （2）设定适应值较大的邻居具有较大的权值； • （3）设定适应值较大并且距离较近的邻居具有较大的权值。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  25. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.1.3 变拓扑粒子群优化算法：若干种拓扑结构 论文2.2.2节 • 五种常见的邻域拓扑，从上到下从左到右依次为：All型，Ring型，Four Cluster型，Pyramid型，Square型 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  26. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.2 合作粒子群优化算法 论文2.2.3节 • 合作PSO算法（CPSO）借鉴了Potter的思想。Potter(1996)提出的针对GA算法提出的将高维解向量划分为多个低维解向量的思想。Potter发现这种分解方法能够有效提高GA算法的性能，但是存在搜索局部最小点的副作用。CPSO算法可以分为CPSO-S和CPSO-SK算法。 • 在CPSO-S算法中，对于一个n维的优化问题，算法生成n个种群，每个种群负责优化问题中的一个维度，在每个种群内部按照标准PSO算法中的动力学模型进行搜索。 CPSO算法的详细描述不再展开 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  27. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.1 算法性能比较：基准测试 论文2.4节 • 为了比较前述PSO优化算法的性能，本节进行了基准测试。全部12个基准测试，其中前6个基准测试函数具有单峰（unimodal）特性，后6个函数为多峰特性（multimodal），测试函数的搜索空间维度为30。 • 单峰Rosenbrock函数 • 多峰Rastrigin函数 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  28. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.2 算法性能比较：测试的算法 论文2.4节 • 基准测试比较了6种不同的PSO算法。GPSO算法；LPSO算法；APSO算法；CPSO算法；MAPSO算法；MCPSO算法。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  29. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.3 算法性能比较：计算平台 论文2.4节 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  30. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.4 算法性能比较：优化精度比较 论文2.4节 • 单从优化精度上来看，没有一种算法在所有基准函数测试中都是最好的。 • 优化精度只是考察算法性能的一个重要指标 • 提高算法的某种性能指标往往要以牺牲另外的性能指标为代价，因而没有一种算法在所有优化问题上都能表现最优，即所谓的“No Free Lunch”（天下没有白吃的午餐）理论。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  31. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.5 算法性能比较：收敛速度比较 论文2.4节 • APSO算法在优化单峰问题时所用CPU时较少，但是在多峰问题上占用CPU时间很高而且优化成功率较低； • MAPSO算法在单峰问题上具有和APSO接近的FEs值和CPU时间，而且在多峰优化问题上相比APSO算法具有更高成功率 • MCPSO算法相比CPSO算法提高了对单峰优化问题的收敛速度。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  32. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.6 算法性能比较：综合性能比较 论文2.4节 • MAPSO和MCPSO是收敛速度、优化精度、全局搜索能力和优化成功率最为均衡的算法；GPSO和LPSO算法的全局搜索能力较强，但是收敛过于缓慢；APSO算法收敛速度很快，但是容易陷入局部极值点；CPSO算法的优化精度和全局搜索能力较强，但是收敛速度较慢。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  33. 3. MAPSO与其他算法的性能比较 3.3.7 算法性能比较：本文状态估计方法的提高 论文2.4节 • 比较本章提出的MAPSO算法和Zhan等(2009)提出的APSO算法，可以看到MAPSO算法一方面保持了APSO算法收敛速度较快的特点，又修正了APSO算法容易收敛到局部最优点的缺陷 • APSO算法与MAPSO性能指标比较：（a）MAPSO和APSO在各个基准函数上的平均收敛CPU时间之比；(b)两者优化成功率之比 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  34. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4. 基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 论文3.1节 • 聚丙烯的聚合工艺大致可分为三种基本类型：本体工艺，浆液法工艺和气相工艺。目前世界上约55%的生产装置采用本体法。下图本体聚合工艺的流程图，依次有4个反应容器，在前两个装置中发生液相反应，到后两个装置时以气相进行反应，最终得到粉末态的产品。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  35. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.1. 熔融指数及其预报 论文3.2.1节 • 熔融指数(melt index, MI)是反映塑料熔体流动特性的一个重要指标，其定义为：热塑性树脂在温度为190摄氏度，时间为10分钟，负荷为2160克时，通过直径为0.2厘米的流变仪小口时以克为单位的熔体量。 • 工业控制中需要使用熔融指数作为参数来控制反应过程，使得产品或者半成品的质量满足规定要求，但传统的实验室分析测定需要一小时甚至更长，在测量频率上远远无法满足实时控制的要求，由此导致产品质量下降并造成较大的经济损失。 • 直接测量存在困难和缺点，变通的办法就是通过建立熔融指数模型来实时测量熔融指数，从而指导生产操作，提高产品质量。 混合建模 统计建模 机理建模 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  36. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 论文3.2.1节 4.2.1. 本文提出的两种模型之一：基于RBF神经网络的模型 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  37. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 论文3.2.1节 4.2.2. 本文提出的两种模型之二：带在线矫正的FNN模型 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  38. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 论文3.3.3节 4.3.1. 本文提出的基于PSO算法的在线矫正方法（1） • 本节提出一种非严格的基于PSO算法的带在线矫正的建模方法。其主要思想是利用PSO算法在训练神经网络时保留的种群信息来指导在线训练。 • 基于该方法模型的初始学习阶段仍然使用批处理学习算法，在实际运行过程中使用在线学习算法（Online correcting strategy, OCS）来使用从现场取得的新训练样本。 • PSO算法在计算优化问题解时一般会输出搜索到的全局最优点，而种群内其他粒子的位置信息都被抛弃。OCS算法尽量保存的所有种群的位置信息，并通过对适应度函数的参数化，保证能够快速优化加入了新的训练数据的模型。 • 熔融指数预报模型在工业中实际应用的最大挑战来自于过程的不稳定性而导致的模型适配。 • 一方面，静态模型（比如RBF神经网络和模糊神经网络）的结构和参数一经确定，是无法自动随着系统的运行而动态改变的； • 另一方面，可以根据过程现场获得的新的数据采样点来重训练模型，但是需要高效的在线学习算法。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  39. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 论文3.2.1节 4.3.2. 本文提出的基于PSO算法的在线矫正方法（2） 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  40. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.4.1. 基于RBF神经网络模型的性能（1） 论文3.4.1节 • 四种RBF模型的预报精度:(a)测试数据；（b）泛化数据； 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  41. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.4.2. 基于RBF神经网络模型的性能（2） 论文3.4.1节 • 所有模型在测试数据和泛化数据上的预报相对误差都在1%以下； • 基于改进PSO算法（APSO，MPSO和MCPSO）的模型相对来说具有更好的精度。 • 基于PSO的模型的预报点相对于理想预报点较远；基于改进PSO算法模型的预报点集中在理想预报点附近。 • 综上所述，以RBF神经网络为基础结构，使用PSO算法及其改进算法优化模型参数的熔融指数预报模型具有较高的训练精度和泛化能力，具备实际应用价值。 • 所有模型在训练后都能较精确地逼近训练数据点，其中最好的MCPSO-RBF模型预报误差MRE为0.331%； • 所有模型在测试数据上的预报精度相对有所下降，但精度仍然很高； • 模型在泛化数据的某些点上预报精度仍在可接受范围内； • 使用改进PSO算法（包括APSO，MAPSO和MCPSO）的模型在测试和泛化数据上的预报精度大体高于使用标准PSO算法的模型。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  42. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.5.1. FNN模型的性能（1） 论文3.4.2节 • 四种模糊模型的预报精度:（a）测试数据；（b）泛化数据 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  43. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.5.2. FNN模型的性能（2） 论文3.4.2节 • 所有模型在测试数据上的预报相对误差都在1%以下，但在泛化数据上预报误差较大。 • 模型在测试数据上的预报点都比较接近理想预报点；在泛化数据上的预报点较为发散。 • 综上所述，以模糊神经网络为基础结构，使用PSO算法及其改进算法优化模型参数的熔融指数预报模型具有较高的训练精度；相比RBF神经网络模型，FNN模型在泛化能力上较差，但是其训练效率更高，而且模糊系统在工业上的基础也更加广泛；该模型具有进一步研究和应用的潜力。 • 所有模型在训练后都能较精确地逼近训练数据点，训练相对误差在1%以下，其中最好的MCPSO-FNN模型的训练误差MRE为0.291%； • 所有模型在测试数据上的预报精度相对有所下降，但精度仍然很高； • PSO-FNN模型和APSO-FNN模型在泛化数据上预报精度较差； • 使用改进PSO算法（MAPSO和MCPSO）的模型在测试数据和泛化数据上的预报精度高于使用其他算法的模型。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  44. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.6.2. 加入在线矫正后模型性能的提高 论文3.4.2节 • 针对前述训练得到的四种模糊神经网络模型在泛化数据集上性能下降的特点，在其预报过程中加入在线矫正算法，得到更具有实际应用价值的在线模型。从下图可以看到，加入在线矫正算法后的模型预报更加趋近于理想预报点,预报点偏离理想点的范围（用红线框出）明显减小。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  45. 4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报4.基于MAPSO算法和神经网络的熔融指数在线预报 4.7. 本文模型与参考文献中模型的性能对比 论文3.4.2节 • 下表给出了本文的研究结果与国际上相关研究报道结果在两个性能指标上的比较。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  46. 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 5. 一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 论文4.3.2节 • 约束优化问题的一种通用表述为 • 最常见的策略是通过引入罚函数将约束优化问题转化为无约束优化问题。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  47. 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 5.1. 双种群思想的引入 论文4.3.2节 • 该算法的核心思想在于通过自适应系数的引入在进化过程中通过动态调节其权重来保证非可行个体的比例。同时，该算法引入了粒子比较方案保证了两个种群的协同工作。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  48. 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 5.2. 一种解待约束问题的PSO算法（MOPSO） 论文4.3.2节 • 提出一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO)，它使用基于Local von Neumann拓扑结构的局部最优(LPSO)算法，并对种群中的不同粒子赋予不同的优化目标，从而提高了优化过程中粒子的多样性。MOPSO算法中，每个粒子在初始化时被随机地赋予三个优化目标之一，并在计算过程中保持目标不变。 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  49. 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 5.3. 带约束问题基准测试 论文4.4.1节 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

  50. 5.一种解带约束问题的PSO算法(MOPSO) 5.4. 基准测试使用的算法 • 修正GA算法，结合了遗传算法的全局搜索能力和基于梯度信息的局部精确搜索能力，因而具有很高优化精度和优化成功率；其缺点在于梯度修正方法的引入使算法只能用于具备精确数学描述的优化模型。 • MAPSO-C算法，直接把罚函数法和MAPSO算法相结合 • MCPSO-C算法，直接把罚函数法和MCPSO算法相结合 • MOPSO算法，本文提出的基于粒子多目标化的算法 浙江大学控制系 赵成业 2011.3.15

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