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1-5 反矩陣

1-5 反矩陣. 首先考慮聯立方程式 AX = b ， A 為 n 階方陣。 假設有一矩陣 B ，可使得 BA = I n ，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B ，可得 BAX = Bb I n X = Bb 或 X = Bb 換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb 。對於這個 B 矩陣，我們稱它為 A 的 反矩陣 (inverse matrix) 。. 1-12.

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1-5 反矩陣

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  1. 1-5 反矩陣 • 首先考慮聯立方程式 AX = b，A 為 n 階方陣。 假設有一矩陣 B，可使得 BA = In，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B，可得 BAX = Bb InX = Bb 或X = Bb 換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb。對於這個 B 矩陣，我們稱它為 A 的反矩陣(inverse matrix)。

  2. 1-12 • 設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B，使得AB = BA = In，則稱 A 為非奇異矩陣(nonsingular matrix)或可逆矩陣(invertible matrix)，並稱 B 為 A 的反矩陣。反之，若沒有這種B矩陣的存在，則稱 A 為奇異矩陣(singular matrix)或不可逆矩陣(noninvertible matrix)。

  3. 1-7 • 若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。 證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則 BA = AB = In CA = AC = In 因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。 習慣上，我們用符號 A1表示 A 的反矩陣。 即　A A1 = A1A = In

  4. 例題1-25 9 -2 1 2 矩陣 的反矩陣為 ，因為 同理，我們亦稱 為矩陣 的反矩陣。 -4 1 4 9 9 -2 1 2 1 0 9 -2 1 2   -4 1 -4 1 4 9 0 1 4 9 1 2 9 -2 -4 1 4 9

  5. 例題1-26  試利用例題1-25的結果，解聯立方程式 x1 + 2x2 = 0 ----  4x1+ 9x2 = 1 -----  解：若以矩陣來表示，可寫成 兩端各乘以 可得 x1 0 1 2  x2 1 4 9 9 -2 -4 1 x1 x1 9 -2 -2 9 -2 0 1 2    x2 x2 -4 1 -4 1 1 1 4 9

  6. 1-8 • 若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 • 矩陣 A 與 A1應滿足關係式 AA1 = In(1-5) 若將 A1 及 I 分別用行向量表示成 [X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]

  7. 其中 則(1-5)式可改寫成 AX1 = E1,……, AXn = En(1-6)

  8. 也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式的解 AX = E1, AX = E2, ……, AX = En(1-7) 這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為 [AE1], [AE2], …… , [AEn] (1-8) 若利用基本列運算和定理1-8及(1-6)，可將(1-8)化成列同義的擴張矩陣 [InX1], [InX2],~…… ,[InXn](1-9)

  9. 今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡的符號表示，可得今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡的符號表示，可得 [AIn] ~ [InA1] (1-10) 因此，我們若能利用基本列運算將矩陣 [AIn] 轉換成 [InB] 的型式，則 B 必為 A 的反矩陣。

  10. 例題1-27 1 2 4 9 在例題1-25中， A = ，試求 A-1。 解： [A I2] = 即 A-1 = ，與例題1-25所示完全一 致。  (-4)R1+R2 1 2 1 0 1 2 1 0 4 9 0 1 0 1 -4 1  1 0 9 -2 (-2)R2+R1 0 1 -4 1 9 -2 -4 1

  11. 例題1-28 -1 2 1 4 1 2 -1 3 2 設 ，試求 A-1。 解： [A I3] =  1 -2 -1 -1 0 0 -1 2 1 1 0 0 (-1)R1 4 1 2 0 1 0 4 1 2 0 1 0 -1 3 2 0 0 1 -1 3 2 0 0 1   (-4)R1+R2 1 -2 -1 -1 0 0 1 -2 -1 -1 0 0 R2↔R3 0 9 6 4 1 0 0 1 1 -1 0 1 R1+R3 0 1 1 -1 0 1 0 9 6 4 1 0  2R2+R1  1 0 1 -3 0 2 1 0 1 -3 0 2 (-1/3)R3 0 1 1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 (-9)R2+R3 0 0 -3 13 1 -9 0 0 1 -13 /3-1/3 3

  12. (-1)R3+R1 (-1)R3+R2 因此 A-1 =

  13. 1-9 (1)若 A 為非奇異矩陣，則 A1亦為非奇異矩陣， 且(A1) 1 = A。 (2)若 A，B 皆為非奇異矩陣，則 AB 亦為非奇異矩陣，且(AB) 1 = B 1A 1。 (3)若 A 為非奇異矩陣，則 AT亦為非奇異矩陣，且(AT) 1 = (A1) T。

  14. 例題1-29 設 A = ，B = 則 A-1 = B-1 = AB = =

  15. (AB)-1 = B-1A-1 = 4/5 -1/5 = -11/10 2/5 (AB)(AB)-1 = =

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