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中考复习专题

中考复习专题. 类比、归纳. —— 中考中的合情推理. 保定市育德中学　　刘惠云. 二 OO 八年三月. 引例 （ 2007 浙江绍兴中考） 课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图（ a ），已知四边形 ABCD 中， AC 平分 ∠ DAB ， ∠ DAB = 60 度， ∠ B 与 ∠ D 互补 ，求证： AB + AD = 3 AC 。小敏反复探索，不得其解，她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题。.

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Presentation Transcript

  1. 中考复习专题 类比、归纳 ——中考中的合情推理 保定市育德中学　　刘惠云 二OO八年三月

  2. 引例（2007 浙江绍兴中考）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图（a），已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠DAB=60度， ∠B与∠D互补，求证：AB+AD= 3 AC。小敏反复探索，不得其解，她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题。 （1）特殊情况入手添加条件：“∠B =∠D”，如图（b），可证AB+AD= 3 AC。（请你完成此证明） （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图（c）过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。（请你补全证明） 答案 答案 E B B 图(c) 图(b) D D D F C C C A B A A 图(a)

  3. H A A A 方法二 H E E F F F E P C B B C B D C P (D) D P 例（2007 黑龙江中考）在ΔABC中，AB =AC，点P为ΔABC所在平面内一点，过点P分别做PE∥AC交AB与点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F。若点P在BC边上（如图1），此时PD =0，可得结论：PD+PE+PF =AB。请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ABC内（如图2），ΔABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。 图(1) 图(3) 图(2)

  4. 反思与回顾： 1、以上两题有什么共同的特点？ 2、我们是通过怎样的方法完成证明的？ 利用了什么数学思想？ 一般 特殊 方法策略： 当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略。 数学思想：类比、转化

  5. 实战演练：（2007 河北）在ΔABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线与点G，一等腰直三角尺按如图（a）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。（1）在图（a）中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想。 答案 G F A C B 图(a)

  6. H M 答案 方法二 E D 图(b)

  7. 图(c)

  8. 引例（2007 河北）在ΔABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线与点G，一等腰直三角尺按如图（a）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。 （3）当三角尺在（b）的基础上沿AC方向继续平移到图（c）所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（b）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由） G (3)猜想仍然成立。 A E F H M C B D 图(c)

  9. 小结： 1、这节课你学会了解决什么类型的问题？ 2、解决这类问题的方法和策略是什么？ 你学会了用什么数学思想解决问题？

  10. 谢谢大家！ 祝你成功！

  11. 作业：反馈测试

  12. A A A 答案 返回 答案 E E F F F E M N P C B B C B D C P (D) D M N P 例（2007 黑龙江中考）在ΔABC中，AB =AC，点PΔABC所在平面内一点，过点P分别做PE∥AC交AB与点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F。若点P在BC边上（如图1），此时PD =0，可得结论：PD+PE+PF =AB。请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别ΔABC内（如图2），ΔABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。 图(2) 图(1) 图(3) B

  13. 解(1)猜想:BF =CG 证明:在ΔABF和ΔACG中 ∵∠F = ∠G =90度, ∠FAB =∠GAC,AB =AC. ∴ΔABF ΔACG(AAS) ∴ BF =CG. ∽ = 返回 G F A C B 图(a)

  14. (2)猜想:DE+ DF =CG. 证明:过点D作DH ⊥CG于点H,交AC于M. ∵DE ⊥BA,DH ⊥CG. ∴∠DEG =∠DHG =∠G =90度. ∴四边形EDHG为矩形. ∴ DE = HG,DH ∥ BG. ∴∠B =∠HDC 又∵ AB =AC ∴∠HDC =∠FCD = ∠B. ∵∠F =∠DHC =90度,CD =DC. ∴ΔFDC ΔHDC(AAS). ∴DF =CH. ∴DE +DF =GH +CH =CG。 即DE +DF =CG. ∽ ∽ = = H M 返回 E D 图(b)

  15. A 返回 E F M N P B C D 解：当点P在ΔABC内时，结论PD +PE +PF =AB仍成立。 证明：过点P作MN ∥BC分别交AB、AC于点M、N。 根据题意得：PE +PF =AM。 ∵MB ∥PD，MP ∥BD。 ∴四边形MBDP是平行四边形。 ∴MB =PD。 ∴PD +PE +PF =AM +PD =AM +MB =AB。 即PD +PE +PF =AB。 图(2)

  16. 当点P在ΔABC外时，结论PD +PE +PF =AB不成立。 猜想：PE +PF -PD =AB。 A 返回 F E C B D M N P 图(3)

  17. 返回

  18. 1 2 ( ) - AC 2 = 2 AC 3 1 AC 2 2 返回 3 3 AC 2 (1)证明： ∵AC平分∠DAB， ∠DAB=60度。 ∴∠CAB= ∠CAD=30度 ∵∠B与∠D互补， ∠B =∠D。 ∴∠B =∠D=90度 ∴CD= AC ∴AD= 同理AB= ∴AB +AD =AC D C B A 图(b)

  19. （2）证明：由（1）可知： AE+AF= AC。 ∵AC为角平分线，CF ⊥AD，CE ⊥AB。 ∴CE =CF。 而∠ABC与∠D互补， ∠ABC 与∠CBE也互补， ∴∠D =∠CBE。 ∴RtΔCD F RtΔCBE ∴DF =BE。 ∴AB+AD =AB+(AF+FD) =(AB+BE)+AF =AE+AF =AC。 即 AB+AD =AC。 ∽ = 返回 3 3 3 D F C E B A 图(c)

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