函数的单调性

1. 函数的单调性 巩固提高 反思与小结 互动达标 合作探究 创设情景 双基回眸 山东省桓台第一中学 苏同安

2. 探索神奇的数学世界

3. 双基回眸 科学导入 函数的定义 函数的三种表示方法 区 间 分段函数 映 射 设A、B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数。 记作 y=f(x) , x∈A 解析法、列表法、图象法.

4. 双基回眸 科学导入 在上一节课中，我们曾用函数的图像表示出三名学生的六次考试成绩的变化情况，从而直观地对这三名同学的数学学习情况做了一个分析，再来回顾一下当时利用图像分析的情况： 函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值或最小值，函数的图像有什么特征等，是非常重要的。 下面我们来根据几组函数的图像试着探究一下函数的性质：

5. 请同学们观察下面三组在相应区间上的函数图像，然后指出这三组图像有什么区别？它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？请同学们观察下面三组在相应区间上的函数图像，然后指出这三组图像有什么区别？它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？ 创设情境

6. 合作探究 第一组函数图像，从左到右是上升的。 第二组函数图像，从左到右是下降的。 第三组函数图像，第一个从左到右是上升的，其他两个均是有升有降。 函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。那么如何用数学语言来描述函数的“上升”“下降”呢？

7. 合作探究 函数的单调性 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 2．减函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

8. 合作探究 函数的单调性 3．单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

9. 小试牛刀 判断题： （1）已知f(x)= ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 增函数。 （2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。 （3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。 （4）因为函数f(x)= 在区间（-∞，0）和（0，+∞） 上都是减函数，所以f(x)在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

10. 关于利用图象直观地分析函数的单调性的问题 互动达标 问题1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 函数的单调区间有 其中在区间 ， 上是减函数， 在区间上 是增函数。

11. 关于函数的单调性证明的问题 互动达标 利用定义证明函数单调性的步骤： 问题2 证明函数 在 上是减函数。 证明 （1）取值 （2）作差 （3）定号 （4）结论

12. 关于函数的单调性应用的问题 互动达标 问题3 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 证明

13. 关于函数的单调性应用的问题 互动达标 问题4 求函数 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 解析

14. 关于函数的单调性应用的问题 互动达标 问题4 求函数 在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

15. 思悟小结 基本思想方法 基本问题 基本知识 思想方法线 知识线 应用线 （1）关于函数的单调性的判断与证明问题； （2）关于函数的单调性运用的问题； （3）关于函数的最值问题。 （1）定义法与比较法； （2）图像法与观察法； （3）单调性法； （3）数形结合思想； （4）转化思想。 （1）函数的单调性概念； （2）增函数、减函数； （3）函数的单调区间； （4）函数的最值。

16. 巩固提高 若a ≠ - , 则当x = - 时，分式的值为零。 见学案或教案 若a = - , 则无论 x 为何数值，分式的值都不为零 .