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空间解析几何

第六章. 空间解析几何. §1 　空间直角坐标系. 直线上的坐标系 有向线段 空间直角坐标系. o. 1. 一、直线上的坐标系 有向线段. 1. 直线上的坐标系. x. 中学代数和解析几何课程里，曾经介绍过数轴和直线 上坐标系的概念。在直线上， 任意选定一个 原点Ｏ ， 一个正向 （正向有两种可能的情形），和 一个单位长 度 ，该直线就叫做 数轴 。. 原点 O 把直线分为两个有向半线，从 O 出发，沿正向的半线叫做 正半轴 ，沿相反方向的半线叫做 负半轴 。直线上任意一点 P 可以用这样一个实数 x 表示：. 上一张. 下一张.

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  1. 第六章 空间解析几何

  2. §1　空间直角坐标系 • 直线上的坐标系 有向线段 • 空间直角坐标系

  3. o 1 一、直线上的坐标系 有向线段 1.直线上的坐标系 x 中学代数和解析几何课程里，曾经介绍过数轴和直线 上坐标系的概念。在直线上，任意选定一个原点Ｏ， 一个正向（正向有两种可能的情形），和一个单位长 度，该直线就叫做数轴。 原点O把直线分为两个有向半线，从O出发，沿正向的半线叫做正半轴，沿相反方向的半线叫做负半轴。直线上任意一点P可以用这样一个实数x表示： 上一张 下一张

  4. 在这里， 表示线段OP的长；在一切情况下，|x|= ,直线上的点和实数之间建立了一种 “一一对应关系”，即不但直线上每一点P之间确定 唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x显然也确定直线上唯一的一点P，因此，直线称为数轴。 • 当P和O重合（P=O）时，x=0 • 当P O而在正半轴上时， • 当P O而在负半思上时， 上一张 下一张

  5. 上一张 下一张 由上可知，对应于数轴上一点P的实数x也叫做P点的坐 标，这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点，一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系

  6. 坐标轴O x是有向线段，它上面的线段也可以是有向线段：若P1, P2为O x上任意两点，我们用 表示由P1到P2的有向线段（用 表示有向线段，以便和下一节的向量记号一致，因为有向向段本质上是向量）； P1是它的始点， P2是为它的终点。此外我们用 P1 P2代表有向线段 在坐标轴O x的代数长。其定义如下： 1）若P1,=P2，令 （0表示零线段），则 2）若 与 O x方向相同，则 3）若 与 O x方向相反，则 上一张 下一张 2. 有向线段

  7. 若P1,P2,P3为Ox轴上任意三点，则有向线段 的终点总是有向线段 的始点，因此无论这三点 在Ox轴上的顺序始何，很自然地令 为它们的和： 上一张 下一张 由定义易验证等式： （1） 根据数轴Ox上一点的坐标的定义和有向线段代数长的定义， 若P点坐标是X，则它就是有向线段 (3)

  8. Ox轴上有向线段 的代数长等于终点坐标减去始点坐标，即 上一张 下一张 定理 (4) 证明 根据（3），有 (5) 根据（2）又有 (6) 根据（1），（5）有 代入（6）得（4）的证明。 由上述定理，可以看出有向线段的长是

  9. 对于二维空间, 我们引入相应直角坐标系 的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的 数轴而成. 对于三维空间, 我们可类似地建立 相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点O, 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 且具有相同的单位长度, 这三条数轴分别称为 x轴, y轴, z轴, 都统称为数轴. 上一张 下一张 二 、空间直角坐标系 1. 直角坐标系的建立

  10. x y 0 y 0 x z z 0 z y z z 0 x x y O x y 上一张 下一张 数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如 为统一起见, 我们用右手法则确定其正向.

  11. 上一张 下一张 2.空间点与数组的一一对应 主要名称与记号: 三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面. 坐标平面: xoy平面, yoz平面, zox平面.

  12. z z O y M y x x 点M  (x, y, z) 上一张 下一张 空间点在空间直角坐标系中的表示法. 如此, 记P, Q, R 在x 轴, R y 轴, z 轴上的坐标 y, 依次为x, z. 因此, 点M Q 一一对应于 有序数组 P (x, y, z). 记为M (x, y, z) x, y, z 称为M 的坐标. 横坐标 竖坐标 纵坐标

  13. Ⅲ 面 面 Ⅱ I (+, +, +) Ⅳ Ⅰ (, +, +) II 面 (, , +) III (+, , +) IV Ⅵ Ⅶ (+, +, ) V Ⅴ (, +, ) VI Ⅷ (, , ) VII (+, , ) VIII 上一张 下一张 三个坐标平面将空间分为 卦限: 八个部分, 点在各卦限中坐标的符号： 每一部分叫做一个卦限.

  14. z R2 R R1 M2 设M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), 为空间两点, 连 M1 , M2得向量 M1M2, 由三角形法则 M1 Q N P Q2 Q1 y P1 O M1M2 = OM2 OM1 . P2 x 上一张 下一张 三、空间两点间的距离 现求M1 , M2两点间的距离 . 由图知,  为以M1QNP为底, M1R为高的长方体的一条对角线的长度.

  15. z R2 R R1 M2 M1 Q N P Q2 Q1 y P1 O P2 x 上一张 下一张 由勾股定理

  16. 例1.求在 z 轴上与两点 A(4, 1, 7)和 B(3, 5, 2)等距的点. 解:设所求点为(0, 0, z), 则 (7 z)2  (10)2  = (30)2 (40)2  (50)2  (2 z)2 17  49  14z  z2 = 34  4  4z  z2 , 18z = 28, 上一张

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