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OWA 算子的推广

OWA 算子的推广. 报告人 李少红. 回 顾. OWA 算子与 Choquet 积分的关系 任一带有权重 W 的 OWA 算子是一个 Choquet 积分；相应地，任一模糊测度只依赖于子集元素个数（对称的）的 Choquet 积分可以表示成一个 OWA 算子 举例 学生 a 和学生 b 的成绩如下. 则. 如果. 令. 则. OWA 算子的研究. 应用领域 各种推广形式 权重的学习方法. OWA 算子的应用领域(文献5 ). 神经网络模型、多水平决策、数据基系统、模糊系统模型、多水平融合问题、信息融合 模糊逻辑控制

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OWA 算子的推广

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  1. OWA算子的推广 报告人 李少红

  2. 回 顾 • OWA算子与Choquet积分的关系 任一带有权重W的OWA算子是一个Choquet积分；相应地，任一模糊测度只依赖于子集元素个数（对称的）的Choquet积分可以表示成一个OWA算子 • 举例 学生a和学生b的成绩如下

  3. 则 如果 令 则

  4. OWA算子的研究 • 应用领域 • 各种推广形式 • 权重的学习方法

  5. OWA算子的应用领域(文献5) • 神经网络模型、多水平决策、数据基系统、模糊系统模型、多水平融合问题、信息融合 • 模糊逻辑控制 • 模糊群决策理论 • 图像压缩和多属性分类 • 处理语言标签 • 用语言OWA算子处理群决策问题

  6. OWA算子的提出(文献1) OWA算子是由Yager于1988年在多水平决策问题中提出来的。文献1。 设 是多水平问题中的n个水平，X是选择的集合，对每一个水平 ， 表示 x 满足这个水平的程度。 我们感兴趣的是找一个决策函数D，使得对每一个选择 x， 表示 x满足我们需要的水平的程度。 两个极端情况： 我们希望一个选择满足“所有”的水平，水平间用 and 连接； 我们希望一个选择满足“至少一个”水平，水平间用or 连接; 。

  7. OWA算子的性质： 更多的情况是水平之间的关系处在两种极端情况之间，如 “大多数”、“许多”、“至少一半”、“多于四个”等，需要用更广泛的一种算子表示 单调性 幂等性 有界性 可交换性、对称性 这些性质使得OWA算子成为一种均值算子。

  8. 量词和OWA算子 • 传统的二值逻辑只能表示两种量词：“there exists”和“for all”。近似推理理论可以使我们表示自然语言中的“almost all” “many” “few” “most”等。 • 扎德指出：量词至少有两种形式 ，一种表示元素的个数 ，一种表示元素的比例。 • 量词可以表示成单位区间或实直线上的模糊集： • 如果Q是一个相对的量词如“most”，则Q可以表示成单位区间上的模糊集 • ， 表示目标中的r部分满足Q表示的概念的程度，如“for all”， • 可以表示成单位区间上的模糊集 • 如果决策者希望满足Q个水平，则Q是一个绝对量词，定义在 上。对于 , Q（y）表示决策者对 y个水平的满意程度。

  9. BUM函数 定义 满足下列条件的一个函数 叫做一个基本单元区间单调（BUM）函数： 文献2中，详细讲述了利用BUM函数确定权重的方法。 只要知道了相关的ＢＵＭ函数，就可以得到权重．

  10. ＢＵＭ函数的用处： 在融合n个元素和（n+1）个元素时保持一致．一般来说，均值算子，除少数极端情况下，是不满足结合律的，利用ＢＵＭ函数可以在定义n维和（n+1）维融合算子时，使用相同的ＢＵＭ函数生成权重从而达成一致性． 另一个用处是可以把重要性同变量联系起来

  11. OWA的各种推广形式 • GOWA • IOWA • HOWA

  12. 对OWA可以从两个方面推广(文献4) 从函数上： 输入 通过一个单调增函数 f 进行转换 ， ， 使得OWA处理单元是非线性的。特别地，取 从逻辑上： 通过对加权和中的积与和分别用某个T-模与S-模代替， ，这里对 的条件保留，对 的条件放弃。

  13. 对OWA可以从两个方面推广 由此我们可以发现这个OWA算子的特殊版本与模糊积分之间的一个有趣的关系：把 看作是模糊测度（ 测度）在集合 （假定 是单减顺序的）上的取值， 所以 表示被积函数的值，在0和1之间。序列 按单调增的顺序排列。 指定三角模：T-最小， S -最大，于是OWA算子可以计算 在 上的模糊积分.

  14. GOWA（generalized OWA aggregation operators） (文献7) GOWA是Yager于2004年提出来的，通过对OWA添加一个参数控制变量，它的一个特殊情况是推广的平均算子，另一个特殊情况是ordered weighted geometric operator. 定义 一个映射 叫做一个 n 维GOWA算子: 其中 ，GOWA是普通OWA算子； ，GOWA是推广的均值算子，

  15. 如果 又若 如果 ，GOWA为 如果 ，GOWA与调和平均密切相关。 如果 ，GOWA与几何平均密切相关，称为ordered weighted geometric operator

  16. Choquet Integral Aggregation Operator (CIA) 为水平集合， 是A上的模糊测度， 是 上的值。 为了得到M，我们定义A上的一些子集 则 注： 都有关 CIA是一种均值算子，并且与

  17. Generalized Choquet Aggregation (文献8)

  18. Further Generalization(文献8) g是一个连续的严格单调增的函数，取 ，即为GOWA。

  19. I-OWA和I-CIA(文献3) Yager 和 Filev 提出了一种更广泛类型的OWA算子，他们称之为 Induced Ordered Weighted Averaging (IOWA) Operator。可用于基于模糊偏好关系的群决策融合问题中。

  20. IOWA算子满足以下性质（文献9）： 可交换的； 有界的； 幂等的； 当导引变量不改变时，IOWA关于自变量单调增； 当二元组为 ，f为增函数时，IOWA就成为加权平均算子； 当二元组为 ，f为增函数时，IOWA就成为OWA算子。

  21. I-CIA(文献10) 是参与融合的水平集，假定我们所需要的Choquet融合中的模糊测度 存在，并且参与融合的每一个 都可以由一个二元组 表示， 称为顺序导引变量，而 称为自变量。我们要融合 ，但是顺序是由 产生的， ，

  22. HOWA（Heavy OWA Operators）(文献6) 用于不确定性下的决策问题中。与OWA不同之处在于放松了对权重的要求。

  23. OWA算子和模糊积分做为融合算子在融合过程中都要对被融合的值进行排序，区别在于模糊积分中的权重不是固定的，而是也与自变量的排序有关的。OWA算子和模糊积分做为融合算子在融合过程中都要对被融合的值进行排序，区别在于模糊积分中的权重不是固定的，而是也与自变量的排序有关的。 二者的权重都可以由一个BUM函数产生。 在融合问题中，OWA及模糊积分的各种推广形式广泛应用于群决策及不确定性下的决策中。

  24. 参考文献 • 1 Yager,R.R., “On ordered weighted averaging aggregation operators in multi-criteria decision making, ” IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 183-190,1988 • 2 Yager. “Quantifier guided aggregation using OWA aggregation”. International Journal of Intelligent Systems 11.49-73, 1996 • 3 Yager and D.P.Filev, Operations for Granular Computing: Mixing Words and Numbers, Proceedings of the FUZZ-IEEE World Congress on Computational Intelligence, Anchorage, 1988,123-128 • Witlold Pedrycz. OWA-Based computing:learning algorithms. • David L. La Red. etc. OWA Aggregation with Soft Majority Operators.

  25. 6 Yager. Heavy OWA Operators. Fuzzy optimization and decision making,1, 379-397,2002 7 Yager, Generalized OWA Aggregation Operators. Fuzzy optimization and decision making,3, 93-107, 2004 8 Learning Weights in the Generalized OWA Operators. Fuzzy optimization and decision making,4, 119-130,2005 9 Francisco Chiclana, etc. Some induced oredered weighted averaging operators and their use for solving group decision making problems based on fuzzy preference relations,2004 10 Yager. Choquet aggregation using order inducing variables, 2004

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