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数学物理方法课件之 特殊函数

数学物理方法课件之 特殊函数. Γ 函数 勒让德函数 贝塞尔函数. 江西师范大学物理与通信电子学院物理系. 特殊函数 内容提要. 函数. 勒让德函数. 连带勒让德函数. 贝塞尔函数. 第一类贝塞尔函数图像. 第二类贝塞尔函数图像. 诺伊曼函数图像.

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数学物理方法课件之 特殊函数

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Presentation Transcript

  1. 数学物理方法课件之特殊函数 Γ函数 勒让德函数 贝塞尔函数 江西师范大学物理与通信电子学院物理系

  2. 特殊函数内容提要 函数 勒让德函数 连带勒让德函数 贝塞尔函数 第一类贝塞尔函数图像 第二类贝塞尔函数图像 诺伊曼函数图像

  3. 在教学过程中发现很多同学对于特殊函数部分的学习有一种潜在的恐惧感，原因是大部分特殊函数其表达式比较复杂，同学对它们缺乏感性认识；我认为在特殊函数的教学中利用数学软件的绘图功能来帮助教学和辅助学习可以增强同学们对特殊函数性质的了解。同时大部分特殊函数的表达式是求和形式，在做具体运算时必须借助计算工具或数学软件，那么在此章的教学中学习数学软件并引用数学软件来协助教学和学生自学是势在必行且十分有意义的工作。在教学过程中发现很多同学对于特殊函数部分的学习有一种潜在的恐惧感，原因是大部分特殊函数其表达式比较复杂，同学对它们缺乏感性认识；我认为在特殊函数的教学中利用数学软件的绘图功能来帮助教学和辅助学习可以增强同学们对特殊函数性质的了解。同时大部分特殊函数的表达式是求和形式，在做具体运算时必须借助计算工具或数学软件，那么在此章的教学中学习数学软件并引用数学软件来协助教学和学生自学是势在必行且十分有意义的工作。

  4. Γ函数 • Γ函数的定义是 约定其中的积分变量t>0。利用等式 可以将Γ函数在全平面上作解析延拓，延拓后的Γ函数在整个复平面上除去z=0,-1,-2,..之外解析。 取Γ函数中的自变量为实数，利用程序指令可以画出它的图像。

  5. Γ函数的图形 MATLAB程序指令： x=-3:0.01:3; y=gamma(x); plot(x,y,'linewidth',4); grid on axis([-3 3 -5 5])

  6. 勒让德函数 • L阶勒让德多项式PL(x)的定义是 其中 当l为偶数时，Pl(x)中的最低幂项为x0即l-2km＝0，所以km＝l/2；当l为奇数时，Pl(x)中的最低幂项为x1即l-2km＝1，所以km＝(l－1)/2。

  7. 勒让德函数的图形 MATLAB指令： x=0:0.01:1; y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x); y5=legendre(5,x); y6=legendre(6,x); plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),... x,y4(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:)) title('勒让德多项式')

  8. 连带勒让德函数 的定义是 其中l=0,1,2,…，m=0,1,2,…,l, 而 是Pl(x)的m阶导数。

  9. 三阶连带勒让德函数的图形 • MATLAB指令： x=0:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),'-',x,y(2,:),'-.',x,y(3,:),':',x,y(4,:),'--') legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3'); title('3阶连带勒让德函数')

  10. 勒让德函数实际上是以cosθ为变量的函数，也可在极坐标下作图。下面画出 在极坐标下的图形。

  11. 连带勒让德函数 的极坐标图形

  12. 所用程序如下： subplot(3,4,9) polar(t,rho2(1,:)) subplot(3,4,10) polar(t,rho2(2,:)) subplot(3,4,11) polar(t,rho2(3,:)) subplot(3,4,12) polar(t,rho2(4,:)) rho=legendre(1,cos(0:0.1:2*pi));t=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(2,cos(0:0.1:2*pi));rho2=legendre(3,cos(0:0.1:2*pi));subplot(3,4,1)polar(t,rho(1,:))subplot(3,4,2)polar(t,rho(2,:)) subplot(3,4,5) polar(t,rho1(1,:)) subplot(3,4,6) polar(t,rho1(2,:)) subplot(3,4,7) polar(t,rho1(3,:))

  13. 贝塞尔函数 • 贝塞耳函数是在求解柱面对称的系统微分方程时提出的。BesselJ[n,x]和BesselY[n,x]是微分方程 • x2y〞+xy′+(x2－n2)y=0的两个线性无关解。 • Jn(x)称为第一类贝塞耳函数，Yn(x)称为第二类贝塞耳函数，也称为Neumann函数（记为Nn(x)）。 • Hankel函数是贝塞耳函数的另一种表示形式，与第一类和第二类贝塞耳函数的关系为Hn(1,2)(x)= Jn(x)±i Yn(x)。Hankel函数也称为第三类贝塞耳函数。

  14. 1．贝塞尔函数的定义  阶贝塞尔函数的定义是： 阶诺伊曼函数的定义是：

  15. 当取整数m时，得m阶诺伊曼函数：

  16. 第一类和第二类汉开尔函数的定义是： 虚宗量贝塞尔函数的定义是：

  17. 定义虚宗量汉开尔函数为： 当取整数m时，得m阶虚宗量贝塞尔函数为 注意存在以下关系：

  18. 半整数阶的贝塞尔函数 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数 球汉开尔函数

  19. 以下是用mathematica软件绘图的操作过程。通过这些图形的绘制，让我们对贝塞耳函数的性质有了进一步的了解。以下是用mathematica软件绘图的操作过程。通过这些图形的绘制，让我们对贝塞耳函数的性质有了进一步的了解。

  20. 第一类贝塞耳函数 的图像 Plot[{BesselJ[0, x], BesselJ[1, x], BesselJ[2, x], BesselJ[3, x]}, {x, 0, 15.0}]

  21. 对于整数n，Jn(x)关于x＝0对称（如图）。由图可见，在x很大时，为周期接近于2p 的衰减振荡图形。进一步观察可发现，J0(x)、J2(x)关于x＝0呈偶对称，J1(x)、J3(x) 关于x＝0呈奇对称。 Plot[{BesselJ[0, x], BesselJ[1, x], BesselJ[2, x], BesselJ[3, x]}, {x, -15.0, 15.0}]

  22. 第二类贝塞耳函数 的图像 • Yn(x)则是对数发散的（如图）。在x很大时，也是周期接近于2p 的衰减振荡图形。 Plot[{BesselY[0, x], BesselY[1, x], BesselY[2, x], BesselY[3, x]}, {x, 0, 15.0}]

  23. MATLAB中计算贝塞尔函数的指令： besselj 第一类贝塞尔函数Bessel bessely 第二类贝塞尔函数Neumann besselh 第三类贝塞尔函数Hankel besseli 第一类虚宗量贝塞尔函数（虚宗量贝塞尔） besselk 第二类虚宗量贝塞尔函数 （虚宗量汉开尔）

  24. 诺伊曼函数n0,1的图形

  25. 球诺伊曼函数n0,1,2,3的图形

  26. 勒让德函数的母函数 勒让德函数的母函数公式： 可画出两个等式两边在第一象限的图形。

  27. 勒让德函数的母函数等式两边图形 左图可看成是在极轴上z=1处放有4电量的电荷在空间产生的电势。说明:只要右图取足够的项数，两图会非常接近。

  28. 贝塞尔函数的母函数 • 贝塞尔函数的母函数公式是 这是一个以x为参数的复函数的展开式，给定一个x值，可以画出它们两边的图形。由于z＝0是函数的奇点，函数值变化剧烈，我们选择离原点稍远的区域画图。

  29. 贝塞尔函数的母函数等式两边图形

  30. 谢谢观看！

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