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§3-1 力矩的概念和计算. §3-2 力偶的概念. §3-3 平面力偶系的合成与平衡. 第 3 章 力矩与平面力偶系. 力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。. 主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。. 谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的， 因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就
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§3-1 力矩的概念和计算 §3-2 力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡 第 3 章 力矩与平面力偶系
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。 主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的， 因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。 动力臂越长，施力的一方经过的距离越 长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支 点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你 无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要 把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算， 要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。 ——来自中国科普网
l A F d O 图3-1 §3-1 力矩的概念和计算 1. 力对点之矩 (1) 用扳手拧螺母； (2) 开门，关门。 由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积F·d 来度量力的转动效应。该乘积
根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号M O (F)表示。 即 O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F 作用线的垂直距离d，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。
O F d 图 3-2 (a) 应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。 力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m） 力矩的性质： (1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；
F F2 O 图 3-2 (b) 图 3-2 (c) F1 o (2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
y Fy F a x A Fx r y q x O d a-q 图 3-3 2. 合力矩定理 表达式： 证明： 由图得 而
则 若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有 该汇交力系的合力FR=∑F，由式(a)，它对O点的矩 为： 比较(b)、(c)两式有 证毕。
F1 F′ 力偶臂 C F d A B D F′ F1′ F 图3-5 力偶作用面 图 3-4 §3-2 力偶的概念 1. 力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用图3-4表示, 例如：方向盘等
力偶臂 F d F′ 力偶作用面 x 图3-6 (2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
F d O F x 图3-7 (3) 力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。 例如：
F1 F′ C A 图3-8 B D F1′ F (4) 力偶的三要素 (a) 力偶矩的大小； (b) 力偶的转向； (c) 力偶作用面在空间的方位。 2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。 例如：方向盘
A′ b P1 P1′ B′ D C P′ F′ Q A B a Q′ F P 图3-9 设有一力偶 (F, F ′),如图所示 . 运用加减平衡力系的公理并注意到： 证明：
M M A A B B C (a) (b) 图3-10 两个重要推论： 推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应
F 1 F D 2 d A A B B F 2 F 1 (a) (b) 图3-11 推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D 注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
F11′ d1 F1′ F22 F1 d d F2 FR′ FR d2 F11 F22′ = = F2′ §3-3 平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。 1. 合成 (1) 两个力偶的情况
Mn M1 M2 图3-13 这样得到新的力偶(FR , FR′),则 M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2 (2) 任意个力偶的情况 M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
F 180mm 1 F 2 F 4 80mm F 3 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。 例 题 3- 1 解：由式 M = M1 + M2 则 M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 = -350 N· m 负号表明转向为顺时针。 图3-14
M1 M1 B A B A FB FA 60 M2 M2 4m d (a) 图3-15 (b) 长为 4 m的简支梁的两端A、B处作用有二个力偶，大小各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m，转向如图。试求A、B支座的约束力。 例 题 3- 2 解：作AB梁的受力图，如图(b)所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。
M1 B A FB FA M2 d (b) 例 题 3- 2 由平衡方程 ∑M =0 得 -M1+M2+FB l cos60º= 0 解得 FB=6 N 故 FA = FB = 6 N FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
B A q M2 M1 D O 例 题 3- 3 如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ =30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。
B A q M2 M1 D O 解：因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。 例 题 3- 3 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA，且与其方向相反。
因为 所以求得 B FBA FAB A M2 M1 O FO D FD 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
z F2 F2′ O y F1 图3-16 x F1′ 思考题 3-1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？
F1 F1 F2′ F2 F2 F2′ F1′ F1′ 图3-17 思考题 3-2 如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′)和 (F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？
M O 图3-18 F 思考题 3-3 图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？ 思考题3-4 力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？
F/2 r O2 r O1 F/2 (b) F (a) 图3-19 思考题 3-5 两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为F的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？两轮上的力对轮的外效应是否相同？
r F/2 r O1 O2 F (b) F/2 (a) 图3-20 思考题 3-6 图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？
