Fisici sul mercato Introduzione alla finanza quantitativa

1. Fisici sul mercatoIntroduzione alla finanza quantitativa Leonardo Bellucci 3 Dicembre 2008

2. Outline • I modelli in finanza • Un primo sguardo: mondo binomiale • Il principio: Black-Scholes e le sue formulazioni • Il modello di Heston

3. Models in Finance Esiste una sola legge, la legge del prezzo unico: Due strumenti con gli stessi flussi futuri, qualunque futuro si realizzi, devono avere lo stesso prezzo. E. Derman • replication • no-arbitrage

4. semplici complessi opinioni prezzi Models in Finance I modelli hanno quindi due compiti fondamentali. Identificare strategie di replica (statica/dinamica): Permettere ai traders di sfruttare le loro opinioni:

5. Market • Money Market Account • Asset • Derivative PUT CALL

6. Call Diritto ad acquistare, al tempo T, l’asset S al prezzo K.

7. Toy Model Evoluzione su un time-step, tutte le quantità note

8. ? Toy Model Call su S con maturity T1, strike K=100 NO!

9. No-Arbitrage Pricing Portafoglio in S e B piuttosto che call.

10. ! No-Arbitrage Pricing Opportuna scelta di a e b strategia di replica della call: Per la legge del singolo prezzo:

11. Risk-neutral measure Riarrangiando la formula di pricing: Dalla misura reale a quella risk-neutral:

12. The Black-Scholes model • Money Market Account • Asset • Normalità dei ritorni (logaritmici) • Discretizzazione di Itô

13. Stratonovich vs Itô La forma differenziale non è ben definita (integrale stocastico): Itô Stratonovich • Discretizzazione • Non anticipatore

14. The Black-Scholes model • Option Applicando il lemma di Itô:

15. The Black-Scholes model Portafoglio costituito da call e asset: L’evoluzione del valore del portafoglio è data da: no m no risk delta

16. Black-Scholes PDE The Black-Scholes model Essendo risk-less: Uguagliando con la precedente:

17. The Black-Scholes model Supponendo tassi nulli: La volatilità realizzataè indipendete dal path !

18. BS: PDE approach Tramite una serie di cambi di variabile la BS-PDE può essere ricondotta all’equazione del calore e risolta: • Vol implicita: • Formula di BS come metrica

19. BS: MC approach Il teorema di Feynman-Kac permette di formulare il problema come valore atteso: • Valutazione Monte Carlo da simulazione diretta del processo. • Possibilità di gestire strumenti non analitici.

20. BS: SC approach La determinazione della strategia di hedge, e quindi del prezzo, è un problema di controllo ottimo (stocastico): • Variabile di controllo: • Funzione costo: La soluzione in tempo continuo del problema è:

21. BS: success • Ipotesi ragionevoli: realistico • Semplice e intuitivo: gedanken experiment • Non solo formula di prezzo: strategia di hedge • Unico parametro “opinabile”: volatilità implicita • Assunzioni chiare: aggiustamenti intuitivi

22. Quant’s activities Variazioni fenomenologia Nuovi prodotti (su nuovi rischi) INNOVAZIONE MODELLISTICA Approfondimento implicazioni fisiche Sviluppo aspetti analitici/numerici

23. Quant’s activities Smile Path-dependent, barrier options HESTON MODEL Dinamica dello smile, strategie di hedge Calibrazione, soluzione MC e PDE

24. The Heston model Anche la volatilitàè una variabile stocastica. Si assume che la volatilità segua un processo di Ornstein-Uhlenbeck, da cui un processo di tipo CIR per la varianza. Il mercato non è completo.

25. The Heston model Risolvendo il processo CIR: Il processo è non negativo: • : strettamente positivo. • : 0 è una barriera riflettente.

26. The Heston model • : evoluzione deterministica. • : variabilità della volatilità. • : correlazione fra i processi.

27. The Heston model • : componente deterministica. • : distribuzione di vol - variance. • : distribuzione di vol - skewness.

28. Heston: calibration Il primo requisito di un modello è che recuperi i fenomeni elementari direttamente osservabili sul mercato. Non costanza (smile) della volatilità implicita Non-lognormalità della distribuzione dell’asset

29. Heston: calibration Queste informazioni sono contenute nelle quotazioni delle opzioni plain-vanilla (call/put). Il problema della calibrazione è quindi un problema di minimizzazione nello spazio dei parametri del modello. Dove p() è una funzione di regolarizzazione e c() è una funzione di constraints nello spazio dei parametri. Tecniche di ottimizzazione

30. Heston: analytical solution Una calibrazione efficiente richiede la soluzione analitica del problema di valutazione delle plain-vanilla. Per la call:

31. Heston: analytical solution Passando in trasformata di Fourier: L’integrale complesso della funzione caratteristica può essere ridotto ad un integrale sulla parte reale: Dove Gè la funzione generatrice dei momenti.

32. Heston: pricing Un modello di smile permette di valutare strumenti non trattabili in maniera chiara nel modello di Black. Come esempio possiamo considerare una barrier option: Call up&out, strike K1, barriera K2. Il prodotto si comporta come una call plain-vanilla con strike K1, ma se il sottostante sale sopra K2 viene cancellata. Non risolvibile analiticamente, MC o PDE.

33. Heston: MC approach La simulazione del sottostante a tutte le date rilevanti di vita del prodotto è ancora un problema aperto. • Aderenza al processo • Prestazioni Schema di Eulero: Il processo discreto per V può diventare negativo.

34. Heston: MC approach Schema di Broadie-Kaya: Molto costoso da un punto di vista computazionale. Schemi di dicretizzazione

35. Heston: PDE approach PDE: Equazione convettivo-diffusiva in due variabili con termine in derivata mista.

36. Heston: PDE approach Anche per semplici plain-vanilla (call/put), le condizioni al contorno possono essere difficili da trattare: Schemi di risoluzione e condizioni al contorno per prodotti complessi

37. Heston: delta hedge Portafoglio con una call con strike K1 e una call con strike K2, sullo stesso sottostante. I due delta sono confrontabili/additivi? Non nel modello di Black-Scholes: Si suppone una variabilità dello stesso sottostante diversa nelle due valutazioni.

38. Heston: delta hedge Un modello di smile, come quello di Heston, permette di trattare i due casi in maniera omogenea. Intuitivamente, il delta è dato da: Delta di Black-Scholes Correzione per variazione dello smile generato dal modello

39. Heston: delta hedge La determinazione del delta è affrontabile in maniera rigorosa come problema di controllo ottimo. Si riesce a dimostrare che:

40. Heston: vega hedge La volatilità è stocastica… …hedge anche sulla volatilità (vega) e non solo sul sottostante (delta) • Non coerente con le ipotesi di Black-Scholes • Significatività del vega • Problema di confrontabilità/additività Un modello di smile permette un approccio coerente.

41. Heston: vega hedge Calcolo del vega rispetto ai parametri del modello. Problema di rappresentazione se vengono usati più modelli per vari strumenti sullo stesso sottostante. Via SVD ci si riconduce ad un “vega di Black”:

42. Heston: vega hedge Calcolo del vega su scenari predefiniti e basket di hedge, rendendo più intuitivo il metodo precedente. • Definizione dei componenti del portafoglio di hedge. • Definizione di scenari di variazione dello smile. • Calcolo delle variazioni di prezzo dello strumento esotico e del basket di hedge. • Selezionare i pesi del portafoglio di hedge per minimizzare le differenze fra le variazioni. • Il vega è il “vega di Black” del portafoglio di hedge.

43. Heston: vega hedge L’approccio precedente dovrebbe poter essere affrontato con le metodologie delle strategie di controllo ottimo. • Selezione del portafoglio di hedge ottimale. • Stima dell’effettiva replicabilità. • Stima dell’incertezza dei profitti. L’utilizzo del controllo ottimo per questi fini è un argomento di frontiera

44. Heston: smile dynamics Le più recenti strutture esotiche sono sensibili non solo alla configurazione attuale dello smile, ma soprattutto alle sue realizzazioni future. Napoleon Cliquet: Un’analisi approfondita del comportamento di questa opzione mostra che si comporta come una put sulla volatilità futura.

45. Heston: smile dynamics Nel modello di Heston la dinamica dello smile è determinata dal processo che abbiamo scelto per la volatilità: sticky strike sticky delta

46. Heston: smile dynamics L’informazione sulla dinamica non può essere ricavata dallo smile delle plain-vanilla: queste dipendono solo dalla distribuzione terminale del sottostante, e non da quelle condizionali. Il mercato tende ad alternare i due regimi: sticky strike su scale di tempo brevi, sticky delta su orizzonti temporali lunghi. Come formalizzare un modello in cui la dinamica dello smile è uno dei “parametri” del modello stesso? Un modello di dinamica dello smile è uno dei temi dell’attuale ricerca.

47. Grazie per l’attenzione Il presente documento è stato predisposto in maniera indipendente da MPS CAPITAL SERVICES Banca per le Imprese SpA ( di seguito: MPS CS). Esso contiene opinioni, informazioni e dati, con fine divulgativo, ottenuti dalla predetta MPS CS tramite fonti ritenute in buona fede attendibili, tuttavia MPS CS non ha la qualifica di agenzia di rating, quindi non intende certificare, come in effetti non certifica, la veridicità, l'accuratezza e la completezza delle predette informazioni e dei predetti dati.

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