指數與對數函數

Chapter 5 指數與對數函數

5.1　指數函數 • 5.2　自然指數函數 • 5.3　指數函數的導數 • 5.4　對數函數 • 5.5　對數函數的導數 • 5.6　指數成長與衰減第五章　指數與對數函數 P.5-1

5.1 指數函數 學習目標 • 利用指數性質來計算與化簡指數算式。 • 繪製指數函數的圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-2

之前已介紹了諸如 等代數函數的性質，其中每個函數都是單變數的常數次方。若將常數次方與變數交換，可得到以常數為底的變數次方，此類函數稱為指數函數(exponential functions)。指數函數第五章　指數與對數函數 P.5-2

指數函數的例子為 一般而言，指數函數的底可以是任意正數 a (a ≠ 1)。指數函數第五章　指數與對數函數 P.5-2

指數函數 第五章　指數與對數函數 P.5-2

指數函數 • 在定義中排除以 a ＝ 1 為底，因為 f(x) ＝ 1x＝ 1 為常數函數，而不是指數函數。第五章　指數與對數函數 P.5-2

指數函數 • 下列的指數性質對於指數函數的運算相當有用。第五章　指數與對數函數 P.5-2

範例1　應用指數性質 第五章　指數與對數函數 P.5-3

利用指數性質來化簡下列各式。 檢查站 1 第五章　指數與對數函數 P.5-3

範例 1 是以指數為整數與有理數為例來做指數的運算，但是這類指數性質對於所有實數的指數也成立。若利用計算機，即可估算任意底 a 和任意實數指數 x 的 ax，譬如指數函數第五章　指數與對數函數 P.5-3

範例2　鑑定有機體的年份 • 在活的有機體中，放射性碳同位素與碳原子總數的比值約為 1 比1012。當有機體死亡時，其放射性碳同位素開始衰減，半衰期約為5715年。也就是，5715 年後同位素與總原子的比值減為原比值的一半，再過 5715 年該比值則減為原比值的四分之一，依此類推。第五章　指數與對數函數 P.5-3

範例2　鑑定有機體的年份 • 圖 5.1 顯示此遞減比值，而碳同位素與碳原子總數之比值 R 的公式為其中 t 是時間 (年)。求下列每段時間的 R 值。 a. 10,000年　　　b. 20,000年　　　c. 25,000年第五章　指數與對數函數 P.5-3

範例2　鑑定有機體的年份 第五章　指數與對數函數 P.5-3 圖5.1

範例2　鑑定有機體的年份（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-3

檢查站 2 • 利用範例 2 碳同位素與碳原子之比值的公式，求下列每段時間的 R 值。 a. 5000 年 b. 15,000 年 c. 30,000 年第五章　指數與對數函數 P.5-3

指數函數的圖形 • 指數函數圖形的基本特性可以描點法畫出。第五章　指數與對數函數 P.5-4

描繪下列指數函數的圖形。 範例3　繪製指數函數第五章　指數與對數函數 P.5-4

範例3　繪製指數函數（解） • 若要手繪這幾個函數，首先製作一個函數值表格。第五章　指數與對數函數 P.5-4

範例3　繪製指數函數（解） • 三個函數的圖形顯示在圖 5.2，其中 f (x) ＝ 2x和 h (x) ＝ 3x的圖形為遞增，而 g (x) ＝ 2－x的圖形為遞減。第五章　指數與對數函數 P.5-4 圖5.2

學習提示 • 範例 3(a) 的函數 f (x)＝ax的圖形和範例 3(b) 的函數f (x)＝a－x的圖形對稱於 y軸。第五章　指數與對數函數 P.5-4

檢查站 3 • 繪製指數函數 f (x) ＝ 5x 的圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-4

指數函數 • 指數函數 y ＝ a－x和 y ＝ ax(a > 1) 的典型圖形如圖 5.2 所示，這些圖形的基本特性摘要在圖 5.3。第五章　指數與對數函數 P.5-4~5-5 圖5.3

範例4　繪製指數函數 • 描繪指數函數 f (x) ＝ 3－x－ 1 的圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-4

範例4　繪製指數函數（解） • 首先製作函數值表格。第五章　指數與對數函數 P.5-4

由極限 可知圖形的水平漸近線為 y ＝－1，f 的圖形如圖 5.4 所示。範例4　繪製指數函數（解）第五章　指數與對數函數 P.5-4~5~5

範例4　繪製指數函數（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-5 圖5.4

檢查站 4 • 繪製指數函數 f (x) ＝ 2－x＋ 1 的圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-5

總結 (5.1 節) • 寫出指數函數的定義，參考範例 3。 • 寫出指數函數的性質，參考範例 1 與 2。 • 寫出指數函數 y＝ a－x與 y＝ ax的基本特性，參考範例 4 。第五章　指數與對數函數 P.5-5

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