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导数及其应用（一）

导数及其应用（一）. ------ 函数单调性与导数的关系 曲周县第一中学 赵永国. ★ 回顾 ：在区间 ( a ， b ) 内，函数的单调性与其导数有什么样的关系呢？ 如果 , 那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递减； 如果 ，那么函数 y= f ( x ) 在这个区间内为常数．. 教材再回首. f ′( x )>0. f ′( x )<0. f ′( x )=0. y. y. y=f′(x). y=f (x). o. x. o. x. y. y.

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导数及其应用（一）

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  1. 导数及其应用（一） ------函数单调性与导数的关系 曲周县第一中学 赵永国

  2. ★回顾：在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数有什么样的关系呢？★回顾：在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数有什么样的关系呢？ 如果,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； 如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减； 如果，那么函数y=f(x)在这个区间内为常数． 教材再回首 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0

  3. y y y=f′(x) y=f (x) o x o x y y y=f (x) o x o x y=f′(x)

  4. 拓展一：原、导函数图形间对应关系 1.已知函数y=f′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y=f(x)的大致图象是( ) A

  5. 拓展一：原、导函数图形间对应关系 2、设函数在定义域内可导，图象如下图，则导函数的图象可能为 （ ） D

  6. 1、设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()1、设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是() 变式训练： D 2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,且|x1|＜|x2|,则有( ) A. a＞0,b＞0,c＜0,d＞0 B. a＜0,b＞0,c＜0,d＞0 C. a＜0,b＜0,c＞0,d＞0 D. a＞0,b＜0,c＞0,d＜0

  7. 2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,且|x1|＜|x2|,则有 () A.a＞0,b＞0,c＜0,d＞0 ( ) B.a＜0,b＞0,c＜0,d＞0 C.a＜0,b＜0,c＞0,d＞0 D.a＞0,b＜0,c＞0,d＜0 解析 因f′(x)=3ax2+2bx+c,由题 意可知导函数f′(x)的图象如图, 所以a＜0,c＞0,　　　 则b＜0, 由原函数图象可知d＞0. C ●通过以上试题使学生更好地理解单调性与导数的关系，同时注重数形结合思想的应用.

  8. 结论：若函数f(x)在(a，b)内，f′(x)>0（f′(x)＜0 ）则函数y=f(x)在这个区间内单调递增（递减）. 它的逆命题是什么？ 即：若函数f(x)在(a，b)内单调递增（递减），那么在(a，b)内有f′(x)>0 （f′(x)＜0 ） . 上述说法正确吗？ 【解析】一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0. 因此f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件． 拓展二：函数单调性与导函数的关系

  9. 那么，若f(x)在(a，b)上递增(或递减)时，f′(x)满足什么条件呢？　 f(x)在(a，b)上递增(或递减)满足f′(x)≥0 (或f′(x)≤0) x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0. 注:已知函数单调性，求参数的取值范围时，常利用 这一性质.

  10. 典 例 例：已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围. 解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0.

  11. 再如：若f(x)= 在(－2，＋∞)上是增函 数,求实数a的取值范围. 分析：由f′(x) ≥0得a ≥ ， 但当a= 时, f(x)= 是常函数，无单调性， 所以 a> . 探究：此题直接用f′(x) ≥0，得出a≤0.那么类似这样的问题都可以这样做吗？ 因此在能否取等号上，要进行验证.

  12. 典例再析 ●已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围. 解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0. 当a =0时f(x)＝x3－1， 在(－∞，＋∞)上f′(x)＝3x2 ≥0， f(x)为单调递增函数， 故a的取值范围是(－∞,0].

  13. 变式训练 若f(x)= x2+blnx在(1,+∞)上 是减函数,则b的取值范围是( ) A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 解析由题意知 即-x2+b≤0恒成立. ∴b≤1.经验证b=1成立. C

  14. ★已知函数的单调性，求参数的取值范围时，可以这样做：★已知函数的单调性，求参数的取值范围时，可以这样做： ①求导数y=f′(x); ②根据单调性转化为f′(x)≥0 (或f′(x)≤0) 在给定区间上恒成立； ③由不等式恒成立求参数范围； ④验证等号是否成立.

  15. 释疑解惑： 同学们,你在本节学习中，还有不理解的吗? 请回忆本节我们学习了哪些知识，学到了哪些方法？

  16. 再攀高峰（课下探讨） 1、已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)设a＝2，求　f(x)的单调区间； (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点求a的取值范围． 3、已知函数f(x)=x2-aln x在(1,2]上是增函 数,g(x)=x- 在(0,1)上是减函数. 求f(x)、g(x)的表达式；

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