Перестановки

1. Перестановки

2. Перестановки • Определение 1 Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов Пример 1 Дано множество . Составить все перестановки этого множества. Решение.

3. Число перестановок • Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно n! • Замечание. • Например, • Считают, что 0!=1 читается «n факториал» и вычисляется по формуле

4. Число перестановок • Доказательство теоремы 1. • Любую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий: • выбор первого элемента n различными способами, • выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом, • выбор третьего элемента (n-2) способами, …… n)выбор n-гоэлемента 1 способом. По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно Теорема доказана.

5. Перестановки • Число всех перестановок обозначается • Итак, Пример В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия? Решение Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

6. Перестановки с повторениями Теорема 2 • Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле где Доказательство. Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

7. Пример • Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»? • Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений • В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

8. Размещения

9. Размещения • Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

10. Число размещений • Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле • Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: • 1) выбор первого элемента n способами; • 2) выбор второго элемента (n-1) способами; • и т. д. • k)выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

11. Число размещений • Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде • Действительно

12. Пример • Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные? • Решение. Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

13. Размещения с повторениями • Определение 2 Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов возможно с повторениями. • Пример Дано множество Составим 2- размещения с повторениями:

14. Число размещений с повторениями Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из n элементов вычисляется по формуле Доказательство. Каждый элемент размещения можно выбрать n способами. По правилу умножения число всех размещений с повторениями равно

15. Пример • Сколько существует номеров машин? • Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно . Число перестановок цифр равно . По правилу умножения получим число номеров машин

16. Решение задач

17. Задачи • 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО? • Решение Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

18. Задачи • 2)Сколькими способами можно составить список 8учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом? • Решение Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

19. Задачи • 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно? • Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

20. Задачи • 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7? • Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

21. Задачи • 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны? • Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е возможны 9 вариантов цифры. В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3 По правилу умножения получим

22. Задачи • 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10? • Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

23. Задачи • 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома? • Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим • Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

24. Задачи • 8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0? • Решение.Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями