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圆 的复习课

圆 的复习课. 《圆中常用辅助线的添加》. 【学习目标】 1、掌握圆中不同类型题的辅助线添加，合理应用垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定定理等知识解题。 2、 在练习中寻找解决问题的途径，通过归纳、总结、提升，形成完备的解题 方法和 思路。. ︵. ∵ CD 是 ⊙O的直径 ooC D⊥AB. ︵. ︵. ︵. D. ．. AC. BD. AD. BC. E. A. B. C. 【 知识梳理 】. 1 . 垂径定理 :. 垂直于弦的直径平分这条弦 , 并且平分弦所对的两条弧.

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Presentation Transcript

  1. 圆的复习课 《圆中常用辅助线的添加》

  2. 【学习目标】 1、掌握圆中不同类型题的辅助线添加，合理应用垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定定理等知识解题。 2、在练习中寻找解决问题的途径，通过归纳、总结、提升，形成完备的解题方法和思路。

  3. ︵ ∵CD是⊙O的直径 ooCD⊥AB ︵ ︵ ︵ D ． AC BD AD BC E A B C 【知识梳理】 1.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ∴___ = ___ AE BE ____ =___ ____ =___

  4. 1 ∠ACB= ∠AOB 2 C A 2.与圆有关的角----圆心角、圆周角 性质: (1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∵∠AOB和∠ACB分别 是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴_____________

  5. C D B A 性质(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等. ∵∠C与∠D是同弧AB所对的圆周角 ∠C=∠D ∴_________

  6. 性质(3):半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于900(直角). 性质(4): 900的圆周角所对的弦是圆的直径. ∵AB是⊙O的直径 ∴ __________ ∠ACB=900 反过来 ∠ACB=900 ∵___________ ∴AB是⊙O的直径

  7. ． O ． ∟ A 3、切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. l ∵_________________ 直线l是⊙O的切线 ∴ _______ OA⊥ l

  8. ． ． ． 切线长定理： (2)从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。 ∵PA、PB为⊙O的切线 A PA PB ∴ ____ = ____, ∠____ = ∠____ A PO BPO P O OA⊥ PA,OB⊥ PB, OP⊥ AB B

  9. ． O ∟ A 切线的判定定理: （3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 MN⊥OA且过半径外端点A ∵_____________________ ∴MN是⊙O的切线. M N

  10. E C D A B . O 【合作探究】 问题1 例1：在以O为圆心的两个同心圆中,若大圆的弦AB交小圆于C、D，AC＝BD成立吗？ 答：成立 　　证明：过点O作OE⊥AB于E， 则AE=BE，CE=DE， 　　∴AE-CE=BE-DE. 　　∵AC=AE-CE，BD=BE-DE. 　　∴AC=BD.

  11. O D B A C • 例2：如图，AB为⊙O的弦， ⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=2，则弦AB的长是___ 8 3 5 4 2

  12. O O O B B B A A A M M C (1) (2) (3) 归纳：解决有关弦的问题时 常常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距），或连接半径 作用： ①利用垂径定理，得到垂足为弦的中点； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

  13. 【合作探究】 • 问题2 • 例1、如图AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AC=AB，BD和CD有什么关系？为什么？ 答：BD=CD 证明：连接AD， ∵AB是直径 　　∴AD⊥CB 　　∵AB=AC 　　∴BD=CD. （等腰三角形的三线合一性）

  14. E • 变式：在⊙O中， CD=BD,延长AE交BD的延长线于点C，AB=AC • 求证：AB是⊙O的直径 证明：连接AD， ∵AB=AC，BD=CD ∴AD⊥CB （等腰三角形的三线合一性） 即∠ADB=900 ∴AB是直径　

  15. C C . A B . A B O O 归纳：遇到有直径时 常常连接一弦添加直径所对的圆周角，或作直径构造直角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 （1）连结弦BC (2 )延长半径AO交圆于B,连结弦BC

  16. 第（3）题 【合作探究】 问题3 如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求∠D的度数． 证明：连接OC， ∵CD与⊙O切于C ∴OC⊥CD ∵∠A=300 ∴∠COD=600 ∴∠D=900-600=300

  17. 归纳：遇到有切线时 常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得半径与切线垂直，得到直角或直角三角形。

  18. 第（4）题 【合作探究】 问题4 △ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB 于点E、F， 求证：AB是⊙O切线； 证明：连接OC， ∵OA=OB，AC=CB ∴AD⊥CB　 （等腰三角形的三线合一性） ∴AB是⊙O切线

  19. 归纳：遇到证明某一直线是圆的切线时 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即连半径） 作用：只需证OA⊥l，则l为切线。

  20. 谢谢大家 请多提宝贵意见

  21. C .O B A D 第（1）题 【达标反馈】 1、如图，直径为26cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，若油最大深度为8 cm， 那么油面宽度AB的长是多少cm？ 解：连接OA，作半径OD⊥AB于C， 则AC=BC. 在Rt△OAC中， OA=13cm，OC=13-8=5cm， ∴AC=12cm. ∴AB=2AC=24cm.

  22. C A B O 第（2）题 【达标反馈】 2、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= ________度 解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900 在Rt△ACB中， ∵AB=4，BC=2cm， ∴BC=1/2AB. ∴∠B=300

  23. P B A . O 图3 【达标反馈】 3.如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，若大圆的弦切小圆于P， （1）求证：AP=PB （2）若AB=4，求圆环的面积

  24. 第（4）题 【达标反馈】 4、如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，过C点的直线交AB的延长线于D，且AC=CD 求证：CD是⊙O切线．

  25. 谢谢大家 请多提宝贵意见

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