連続体構造物に対する 汎用低次元非線形振動解析

1. 連続体構造物に対する汎用低次元非線形振動解析連続体構造物に対する汎用低次元非線形振動解析 北海道大学大学院 工学研究科機械科学専攻 固体工学講座機械力学分野 原田　晃

2. 緒　言

3. FEM 解析的手法 ○ どのような境界条件，形状でも解ける 式の形で解が得られる ○ 境界条件等によっては　十分な精度を持った　　　支配方程式が得られない × × 数値でしか解が得られない 両者の欠点を利点で補う手法

4. 超低自由度モデルが得られる対象は限定される超低自由度モデルが得られる対象は限定される 形状関数の改良 モード展開を導入 改良 これまでの手法 低自由度FEMモデル FEM 低次元化モデル 本研究の手法 • 超低次元化モデル • 解析対象に制限なし

5. 非線形有限要素法に基づくはりの低次元非線形モード方程式の導出非線形有限要素法に基づくはりの低次元非線形モード方程式の導出

6. 非線形有限要素法の定式化

7. Fig. 2.1: Model of the analysis.

8. 慣性力，内力および外力による仮想仕事 　　　仮想仕事の原理 変位 ひずみ－変位関係式 運動方程式

9. モード座標系への変換

10. 0

11. 面内を直接近似 高い次元で両立 近似精度：高 モード数：少 面外モードを用いて面内変位を級数近似 J:モード数　→　大 {V}が{j1},{fa}を基底ベクトルとする平面に含まれると近似

12. Newton-Raphson法 NLFEM （ [f]=[{j1}] ） Newton-Raphson法 Modal FEM0 （ [f]=[{j1}{fa}] ） Newton-Raphson法 Modal FEMa 最もNLFEMに近いModal FEMa [f]=[{j1}{fｂ}] Modal FEMb

13. 運動方程式（モード座標系, [f]=[{j1}]） 運動方程式（モード座標系, [f]=[{j1}{jj}]） 運動方程式（モード座標系, [f]= [{yi}{j1}]）

14. 計算結果と考察

15. Table 2.1: Specification of the beam. Table 2.2: Specification of the external force.

16. {f}a={jj} (j=2,3,…,8)FRFs , displacements and strains

17. 両端固定はり- beam 1 -

18. Fig. 2.2: FRFs obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], j=0) and two-mode([f]=[{j1}{jj}]:j=2,3,…,8) analyses for beam 1.

19. Fig. 2.3: Displacements and normal strains obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], j=0) and two-mode([f]=[{j1}{jj}]:j=2,3,…,8) analyses for beam 1 at 50[Hz].

20. {f}a={yi} (i=2,3,…,8) FRFs , displacements and strains

21. 両端固定はり- beam 1 -

22. Fig. 2.4: FRFs obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], i=0) and two-mode([f]=[{yi}{j1}]:i=1,2,…,8) analyses for beam 1.

23. Fig. 2.5: Displacements and normal strains obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], i=0) and two-mode([f]=[{yi}{j1}]:i=1,2,…,8) analyses for beam 1 at 50[Hz].

24. 両端固定はり（中間支持を有する場合）- beam 2 -

25. Fig. 2.6: FRFs obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], i=0) and two-mode([f]=[{yi}{j1}]:i=1,2,…,8) analyses for beam 2.

26. Fig. 2.7: Displacements and normal strains obtained by FEM, single-mode([f]=[{j1}], i=0) and two-mode([f]=[{yi}{j1}]:i=1,2,…,8) analyses for beam 2 at 75[Hz].

27. NLFEM もう１つのベクトルは？ × but △ ○

28. NLFEMの妥当性FRFs , modes , strains

29. Fig. 2.8: FRFs obtained by NLFEM and numerical integration for beam 1; 10 elements, with damping term 2[M]{dV/dt}(N.I.).

30. NLFEMの仮定 調和バランス法 NLFEM : 実際よりも強い非線形性を示す

31. Fig. 2.9: Modes and normal strains obtained by NLFEM and numerical integration(NI) at 20 , 30 , 40 , 50 [Hz] for beam 1.

32. 定性的に利用 Table 2.3: Calculation time of Fig. 2.8. NLFEMの結果 妥当 計算時間の短縮

33. Fig. 2.10: Modes and normal strains obtained by FEM at 20 , 30 , 40 , 50 [Hz] for beam 1, at 45 , 55 , 65 , 75 [Hz] for beam 2.

34. 面外成分　　　　　 0 面内成分　　　　　 0 どの周波数における結果を利用するか？ 面外は？ {V}q:q[Hz]におけるNLFEMの結果 {y*q}:擬似非線形面内モード {j*q}:擬似非線形面外モード [f] = [{y*q}{j*q}] and [{y*q}{j1}]

35. beam 1[f] = [{y*q}{j*q}] and [{y*q}{j1}]difference of FRF , sqrt(k/m)

36. Fig. 2.11: Differences between NLFEM and Modal FEM, and sqrt(k/m) / w1 by using [f]=[{y*q}{j*q} ] and [{y*q}{j1}] (q=20,21,…,50) for beam 1.

37. 汎用性があり精度の高い超低次元モデルを得られる変換汎用性があり精度の高い超低次元モデルを得られる変換 [f]= [{y*w1/2p}{j1}] G.E.（モード座標系）

38. 他の解析法との比較- beam 1 -

39. beam 1w1 , m , k , bの収束

40. Table 2.4: Convergence characteristics of linear natural frequency for beam 1.

41. Table 2.5: Convergence characteristics of coefficients of G.E. for beam 1.

42. 直接数値積分との比較

43. Fig. 2.12: Comparison between the backbone curve and the numerical integration for beam 1; 10 elements, with damping term 2[M]{dV/dt}(N.I.).

44. YamakiとMoriによる結果との比較

45. Fig. 2.13: Comparison between the backbone curve obtained by the present method and that by Yamaki and Mori for beam 1.

46. 非線形有限要素法に基づく平板の低次元非線形モード方程式の導出非線形有限要素法に基づく平板の低次元非線形モード方程式の導出

47. Table 3.1: Specifications of the plates. Table 3.2: Specifications of the external forces.

48. Fig. 3.1: Finite element model of a rectangular plate.

49. 内部共振のない板の解析

50. モード方程式の導出