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例 1 任何一个 n 维向量 α =( a 1 , a 2 ,…, a n ) 都是 n 维向量组 ε 1 =(1,0,…,0), ε 2 =(0,1,0,…,0),…, ε n =(0,0,…,0,1) 的线性组合 . 因为 α = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 +…+ a n ε n ε 1 , ε 2 ,…, ε n 称为 R n 的初始单位向量组 . 例 2 零向量是任何一组向量的线性组合 . 因为 0=0 · α 1 +0· α 2 +…+0· α s
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例1 任何一个n维向量α =( a1, a2,…, an)都是n维向量组ε1=(1,0,…,0), ε2=(0,1,0,…,0),…, εn=(0,0,…,0,1)的线性组合. 因为α=a1 ε1+ a2 ε2 +…+ an εn ε1, ε2,…, εn称为Rn的初始单位向量组. 例2 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为0=0·α1+0·α2 +…+0·αs 例3向量组α1 ,α2…,αs中的任一向量αj(1≤j≤s)都是此向量 组的线性组合. 因为αj=0·α1+…+1·αj +…+0·αs
例4判断向量β1＝（4，3，－1，11）与 β2＝（4，3，0，11） 是否各为向量组α1＝ （1，2，－1，5），α2＝（2，－1，1， 1）的线性组合。若是，写出表达式。 解：设k1α1+k2α2= β1 ,对矩阵（α1Tα2Tβ1T)施以初等行变换：
类似地，对矩阵（α1Tα2Tβ1T)施以初等行变换：类似地，对矩阵（α1Tα2Tβ1T)施以初等行变换：
例1 证明Rn中的初始单位向量组ε1,ε2,…,εn线性 无关. 因为|In|=1≠0,故ε1,ε2,…,εn线性无关. 例2 一个零向量线性相关;而一个非零向量线 性无关. 因为当α=0时,对任意k≠0,都有k α =0成立, 而当α ≠ 0时,当且仅当k =0时k α =0才成立.
例3 判断向量组α1＝ （1，2，－1，5），α2＝（2，－1，1，1）， α3＝ （4，3，－1，11）是否线性相关。解：对矩阵（α1T，α2T，β1T)施以初等变换化为阶梯形矩阵： 所以向量组α1， α2， α3线性相关。
例4 判断向两组α1＝ （1，2，0，1），α2＝（1，3，0，－1）， α3＝ （－1，－1，1，0）是否线性相关。解： 即这个矩阵的秩为3，恰等于向量组中向量个数，故向量组α1， α2，α3线性无关。
例5 证明：如果向量组α，β，γ线性无关，则向量组 α＋β，β＋γ，α＋γ亦线性相关。 证:设有一组数k1,k2,k3使k1(α＋β)+k2 (β＋γ)+k3 (α＋γ)=0 ①成立,整理得(k1 +k3 ) α＋(k1 +k2)β +(k2 +k3 )γ=0 ②由α，β，γ线性无关，故
例1 求向量组α1＝ （2，4，2），α2＝（1，1，0）， α3＝ （3，5，2）的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组表示.解:对矩阵（α1Tα2T α 3T α4T )仅施以初等行变换: 由最后一个矩阵可知： α1 ，α2 为一个极大无关组，且
例2 证明：如果向量组α1 ,α2…,αs与向量组β1 , β2…,βl可以互相线性表示，则r（ α1 ,α2…,αs）＝ r（β1 ,β 2…,βl）证：设α1 ,α2…,αs与β1 ,β 2…,βl分别为这两个向量组的极大无关组，由定理3.8 ，知它们可互相线性表示，由定理3.9的推论知，r1＝r2。即r（ α1 ,α2…,αs）＝ r（β1 ,β 2…,βl）
例3 设Amxn 及Bnxs为两个矩阵，证明：A与B乘积的秩不大于A的秩和B的秩，即r（AB）≤min（r（A）， r（B）） 证：设A＝（aij）mxn＝ ( α1, α2,…, αn)B＝ （bij）nxsAB＝C＝（cij）mxs＝（ 1 2… s） 因此有j = b1j α1+ b2jα2+…bnjαn(j=1,2,…,s),即AB的列向量组 1， 2，… ，s可由A的列向量组α1, α2,…, αn线性表示，故 1， 2，… ，s的极大无关组可由α1, α2,…, α n的极大无关组线性表示，
