参数的点估计：用样本统计量的值估计未知参数的值。

估计量：设 为总体X的未知参数，用样本(X1, X2, …, Xn)构成的一个统计量来估计 的真值，称为的估计量。估计值：对应于样本的一组观测值 ( x1, x2, …, xn)，估计量的值 ( x1, x2, …, xn)称为 的估计值，仍记作。第七章参数估计问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它的一个或多个参数未知,如何估计这些未知参数？想法：用X的样本观察值(x1，x2，…，xn)来估计总体中未知参数的值，即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值。 §7.1参数的点估计参数的点估计：用样本统计量的值估计未知参数的值。本节介绍：1）矩估计法；2）极大似然估计法。

一、矩估计法 矩估计法：用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数估计总体矩的同一函数。理论根据：格利文科定理：Fn(X) 以概率1收敛于F(X)。进而可以证明, 只要总体的k阶矩存在, 样本的k阶矩依概率1收敛于总体的k阶矩。总体矩总体矩的估计值样本矩 mk= E(Xk) = ck= E[X-E(X)]k = 显然通常取

例1设总体X的均值和方差都存在， (x1，x2，…，x6)是来自X的样本，试求X的均值和方差的矩估计量，并依据样本观察值 1.20 0.82 0.12 0.45 -0.85 -0.30 计算X的均值和方差的矩估计值．解由于令

从中解出和2作为其估计量，得到 (7.2) (7.3) 即样本均值是总体均值的矩估计，样本的二阶中心矩是总体方差2的矩估计．但更多的是以S2估计2，其原因将在估计量的评选标准中解释．代入样本值（-1.20, 0.82, 0.12, 0.45, -0.85, -0.30），得到其矩估计值

例2设总体X服从 [1, 2]上的均匀分布，密度函数为其中2> 1，试求1 , 2的矩估计量．解由第四章4.2.3节的讨论，知由(7.2)、(7.3)式，令

解由于D(X)=  ，得的矩估计量 ; 又由于E(X)= ，故得的另一个矩估量．由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的．解之即得1, 2的矩估计量为：例3设总体X服从泊松分布，即试求的矩估计量．

二、极大似然估计法 极大似然估计法是求估计值的另一种方法，最早由高斯 (R. A. Gauss) 提出，后来为费史(Fisher)在1912年重新提出，并证明该方法的一些性质．它是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法．极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果A, B, C, …若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大．引例甲、乙两个箱子外形完全相同，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球，随机取出一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪个箱子中取出的？解甲箱中抽得白球的概率P(白|甲)＝99/100 乙箱中抽得白球的概率P(白|乙)=1/100 白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，根据极大似然原理，既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的，所以，可作出统计推断：白球是从甲箱中抽出的.

二、极大似然估计法 1. 极大似然估计法设总体X的概率密度函数为 f(x; )，(若X是离散型, f(x; ) 是分布律），则样本（x1, …，xn ）的联合密度函数为：这是参数 的函数，称为样本的似然函数，记为L()。使似然函数取得最大值的称为的极大似然估计量。这种方法称为极大似然估计法。 2. 求极大似然估计步骤 (1)写出似然函数 (2) 求出使L(x; )达到最大值的特别地，若的取值范围为开集时，可转化为求L(x, )的驻点. 取对数lnL，求lnL关于未知参数的导数。由导数等于零解得的估计值

例4设连续型随机变量 , 即X的密度函数为其中>0为参数．(x1, x2, …, xn)为的一组样本观察值，求的极大似然估计．解由上述得似然函数为所以

令解得即为的极大似然估计．例5某电子管的使用寿命X（单位：h）服从指数分布，概率密度见例4，今抽取一组样本，其具体数据如下： 1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948 试估计估计其平均寿命．解根据例4的结果，平均寿命即参数用样本均值来估计，于是为平均寿命的极大似然估计值．

一般情况，但希望n→∞时 。这就是说当样本容量n无限增大时，估计值非常接近真值的概率趋近于1. 若依概率收敛于θ，即对于任意ε>0,有，则称为 的一致估计量。则称为 的无偏估计量。定义2设为未知参数 的估计量，若E( ) = ，三、评价估计量的优劣标准 1 . 一致性为未知参数 的估计量，定义1设一致估计是对极限性质而言的，只在样本容量较大时才起作用。 2 . 无偏性一个好的估计量的数值应该在参数的真值周围摆动，也就是估计的期望值与未知参数的真值相等。

故为μ的无偏估计量。 例6 试证样本均值及样本方差S2分别是总体均值μ及总体方差σ2的无偏估计。证明而故，即S2为2的无偏估计量。即样本的二阶中心距，不是总体方差的无偏估计．

3.有效估计 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而且无偏仅仅表明所有可能取的值按概率平均等于，有可能它取的值大部分与 相差很大。为保证的取值能集中于 附近，自然要求的方差越小越好。设，是 的两个无偏估计量，若定义3 则称较有效。若在 的一切无偏估计中，的方差最小，则称为 的最小方差无偏估计量。

故比有效． 例7 比较总体期望的两个无偏估计的有效性(方差为 )． (1) ; (2) 解：得利用初等不等式

选讲内容 例1 X~P()，求极大似然估计。解设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为：两边取对数得对求导数，并使其等于0得解这一方程得的极大似然估计为：例如，样本观测值为：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。则

例2 X服从参数为的指数分布，求的极大似然估计。解似然函数为

例3 设X~N(μ,σ2）,求μ,σ2的极大似然估计。 解似然函数L（x1,…，xn;μ,σ2) 则由得μ,σ2的极大似然估计为：

例4 设总体Ｘ具有[0,θ]均匀分布，密度函数为：求未知参数 的极大似然估计。解设x1,…, xn是取自这一总体的一个样本，似然函数为：显然L是 的一个单值递减函数。要使达到极大，就要使 达到极小，但 不能小于每一个xi( i=1, 2, 3…, n), 所以 的极大似然估计量为：对同一个参数用不同的方法得到的估计量可能不相同。

参数的点估计： 用样本统计量的值估计未知参数的值。