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第十章

第十章. 立体几何几何初步. 第 57 讲. 平面与平面垂直. 用判定定理证明面 面垂直. 【 例 1】 如图，在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，点 D ， F 分别是 BC ， BB 1 的中点． (1) 求证：平面 AC 1 D ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ； (2) 若 BB 1 ＝ BC ，求证：平面 FAC ⊥ 平面 ADC 1. 点评. 要证明面面垂直，只需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直即可．. 【 变式练习 1】

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Presentation Transcript

  1. 第十章 立体几何几何初步

  2. 第57讲 平面与平面垂直

  3. 用判定定理证明面 面垂直 【例1】 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，F分别是BC，BB1的中点． (1)求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1； (2)若BB1＝BC，求证：平面FAC⊥平面ADC1.

  4. 点评 要证明面面垂直，只需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直即可．

  5. 【变式练习1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. 求证：平面PBC⊥平面DEF.

  6. 面面垂直的性质定 理的应用 【例2】 如下图，已知平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.

  7. 【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图所示．【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图所示． 在γ内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于直线AB，BC. 因为α⊥γ，β⊥γ，所以m⊥α，n⊥β. 又α∩β＝l，所以lα且lβ，所以m⊥l，n⊥l. 而m∩n＝P，所以l⊥γ.

  8. 点评 本题题目文字少，但有一定难度．只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题．

  9. 【变式练习2】 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.

  10. 与垂直有关的探 索性问题 【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：MD⊥AC； (2)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

  11. 点评 本题以立体几何中的棱柱为载体，重点考查立体几何中的垂直关系的探索及推理论证．第(1)问要证线线垂直，可通过线面垂直即可得证；第(2)问是开放性探究问题．要使得平面DMC1⊥平面CC1D1D，关键在于找出其中一个面的一条垂线，而另一个平面恰过这条垂线，从而问题转化为寻求平面CC1D1D的垂线．由条件DB＝BC，可联想到取DC的中点N，则BN就是平面CC1D1D的垂线，再结合平面图形的特点，从而可确定M点的位置．

  12. ②③

  13. 2.三个平面两两垂直，且它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的距离是 _______

  14. 3.二面角C－BD－A是直二面角，且DA⊥平面ABC，则△ABC是_______三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)

  15. 4.如图，设P是△ABC所在平面外一点，P到A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PBC⊥平面ABC.4.如图，设P是△ABC所在平面外一点，P到A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PBC⊥平面ABC.

  16. 5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M是棱AB的中点．求证：5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M是棱AB的中点．求证： (1)AC1∥平面B1MC； (2)平面D1B1C⊥平面B1MC.

  17. 面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍．

  18. 答案：①③ 选题感悟：本题是以空间中的线面的位置关系组成的多选题，并以推理的形式出现，这类题型一直是高考立体几何的热点，突出考查了空间想象能力和推理能力．

  19. 答案：2 选题感悟：本题是以空间中的位置关系组合而成的多选题，这类题能有效考查考生的空间想象能力和推理能力．

  20. 3．(2011·江苏省苏北四市第一次摸底考试)如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．3．(2011·江苏省苏北四市第一次摸底考试)如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．

  21. (1)求四棱锥P－ABCD的体积； (2)求证：PA∥平面MBD； (3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

  22. 选题感悟：立体几何解答题多以中档题的形式出现，着重考查线面平行及垂直关系，能全面考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力．选题感悟：立体几何解答题多以中档题的形式出现，着重考查线面平行及垂直关系，能全面考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力．

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