به نام آنکه علم را آفرید

1. به نام آنکه علم را آفرید

2. غیاث الدّین جمشید کاشانی زیر نظر دکتر آقایی ترم اول 88-87 گرد آورندگان: سمیرا صدّیقین فائزه ترکیان سارا رضایی مریم ره افروز

6. خلاصه زندگی نامه ی کاشانی • غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضیدان عالی قدر و محاسبی ماهر و منجمی • زبر دست و مؤلفی توانا و مخترع آلات دقیق رصد بود و به حق می توان • او را از برجسته ترین ریاضیدانان دوره ی اسلامی دانست. از مهمترین • تألیفات وی می توان به زیج خاقانی، مفتاح الحساب ،رساله ی محیطیه و • رساله ی وتر و جیب اشاره کرد. وی آلت“طبق المناطق“ را برای عروض • کواکب اختراع کرد و کتاب ”نزههَ الحقایق“ را در شرح آن نوشت.

7. از جمله شاهکارهای ریاضی او اختراع کسرهای اعشاری • است.وی عدد پی یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن را با • دقتی که تا 150 سال بعد از وی در دنیا بی رقیب ماند • حساب کرد.جیب زاویه ی یک درجه را با روش تکراری • حل نوعی معادله ی درجه سوم به وجه بسیار جالب توجهی • که تا زمان وی سابقه نداشت به دست آورد.

8. نگاهی به مقدمه ی مفتاح الحساب • در مقدمه مفتاح الحساب تعاریف زیر جلب توجه می کند: • موضوع علم حساب عدد است و عدد در شمردن بکار می آید و مشتمل است بر واحد و آنچه از آن تألیف می شود و به اعتبار کمیت ذاتی یعنی اگر به عدد دیگر مضاف نشود آن را صحیح می نامند مانند یک,دو, پانزده وغیره. و به اعتبارکمیت اضافی یعنی اگر به عدد دیگر مضاف شود آن را کسر می گویند. و عدد منسوب الیه را مخرج می خوانند مانند یک از دو(کالواحد من الاثنین) آن نصف است و سه از پنج (کالثلاثه من الخمسه)و آن سه پنجم است. • عدد مفرد عددی است که فقط در یک مرتبه واقع شود.(یعنی از یکی از ارقام نه گانه و احیانا یک یا چند صفر تشکیل گردد)مانند 1,2,20,90,30000.

9. عدد مجرد ,واحد در هر مرتبه ای که واقع شود عدد مجرد نامیده می شود مانند 1,10,1000 (یعنی یکی از قوای صحیح عدد 10). • عدد مرکب عددی است که در دو مرتبه یا بیشتر واقع شود مانند 11,133. • زوج الزوج عددی است که بتوان آن را آنقدر نصف کرد تا به یک رسید مانند 8,16(یعنی یکی از قوای صحیح عدد 2). • زوج الزوج و الفرد عددی است که زوج الزوج نباشد ولی بیش از یک بار بتوان آن را نصف کرد مانند 12,20(یعنی حاصل ضرب یک عدد فرد در یکی ازقوای عدد 2). • زوج الفرد عددی است که فقط یک بار بتوان آن را نصف کرد مانند 10,30 (یعنی حاصل ضرب یک عدد فرد در 2).

10. نگاهی به بابهای اول ودوم از مقاله ی اول مفتاح الحساب • در آغاز باب اول کاشانی می گوید که حکمای هند برای عقود نه گانه ی • معروف نه رقم وضع کرده اند به این صورت 1,2,3,4,5,6,7,8,9 و • سپس مراتب را تعریف می کند و می گوید:“مراتب عبارت است از • مواضع ارقام متوالی از راست به چپ روی یک سطر و موضع اول را • مرتبه ی یکان و موضع سمت چپ آن را مرتبه ی دهگان گویند...“و بعد • می نویسد:“و بدان که هر صورتی از صورتهای نه گانه اگر در مرتبه ی • اول واقع شود علامت یکی از اعداد یک تا نه است واگر در مرتبه ی دوم • واقع شود علامت یکی از عقود نه گانه ی عشرات است که عبارت اند از • 10,20,...,90 و اگر در مرتبه ی سوم واقع شود علامت یکی از عقود نه • گانه ی مات است و به همین قیاس .“

11. کاشانی در این باب از صفر به عنوان رقم یا عدد نام نمی برد اما بعد از • تعریف مراتب می نویسد:“و هر مرتبه ای که در آن عدد نباشد واجب است • که در آن صفری به شکل دایره ی کوچک قرار دهیم تا آنکه خللی در • مراتب حاصل نگردد“و نیز در باب دوم مقاله ی اول مفتاح در ضمن شرح • عمل ”تنصیف “وقتی می خواهد عدد 4000527 را نصف کند می • گوید:“4 را نصف می کنیم می شود 2 و آن را زیر 4 قرار می دهیم و • چون صفر نصف ندارد زیر آن یک صفر قرار می دهیم...“پس در اینجا • هم کاشانی صفر را عدد نمی شمرد و نمی گوید که نصف صفر صفر • است.

12. اما با این حال در باب سوم مقاله ی اول مفتاح هنگامی که از ضرب کردن • دو عدد در هم گفتگو می کند می گوید:“هر مرتبه ای که در آن صفر واقع • باشد...در حاصل ضرب جزءِ نظیر آن صفری قرار می دهیم ،زیرا حاصل • ضرب صفر در هر عدد دیگر صفر است“پس کاشانی در این موضع صفر • را عدد می شمردو از این هم مهمتر آن است که چنانکه بعداً خواهیم دید • وی صفر را به عنوان نماینده ی قوه به کار برده و به آن معنی یک عدد • واقعی داده است.

13. نگاهی به باب سوم مقاله ی اول مفتاح الحساب تعریف کاشانی از ضرب عددهای صحیح: • ”ضرب کردن دو عدد صحیح عبارت از یافتن امثال یکی از آن دو • عدد است به عده ی آحاد عدد دیگر“ • :“ضرب کردن دو عدد به دست آوردن عددی است که • نسبت آن به یکی از آن دو عدد مساوی باشد با نسبت دیگری به واحد. • سپس کاشانی چند قاعده برای عمل ضرب ذکر می کند و برای هر کدام مثالی می آورد. تعریف جامع عمل ضرب:

14. مثال 1: • برای ضرب کردن عدد 547800 در عدد یک رقمی 4 حاصلضربهای • جزء یعنی4 8= 32, 7 4= 28 , 4 4= 16 , 5 4=20 را • طوری مطابق با جدول زیر در دو سطر می نویسد که هر یک از ارقام • آنها به محاذات رقم هم مرتبه ی خود در عدد 5478 قرار گیرد و پس از • جمع کردن اعداد حاصل ، صفرها را در مقابل حاصل جمع فرود می • آورد.

16. تبصره: • کاشانی در اینجا به این مطلب اشاره نمی کند که می توان یک عدد یک • رقمی را در یک عدد چند رقمی همانگونه که امروزه متداول است از • راست به چپ ضرب کرد ونتیجه را نوشت . • امّا با اینکه وی این روش را برای مبتدیان تشریح نمی کند،می توان یقین • داشت که خود او این طریقه را بکار می بسته است.زیرا بعداً خواهیم دید • که کاشانی همین روش را برای ضرب کردن یک عدد یک رقمی در یک • عدد چند رقمی در موقع انجام دادن عمل تقسیم به کار می برد، وعلاوه بر • این در دستگاه شمار شصتگانی همین روش را توصیه می کند و آن را • برای کسانی که مبتدی نیستند راه ساده ای می داند.

17. مثال 2: • سپس کاشانی به بیان قاعده ی ضرب دو عدد چند رقمی می پردازد و • حاصلضرب 7806 175 را به وسیله ی شبکه ی ضرب مطابق با شکل • زیر به دست می آورد. 7 8 0 6 4 5 4 9 6 0 2 3 4 3 5 0 0 0 1 3 6 6 0 5 0

18. کاشانی ”شبکه ی ضرب ”را که از پیشینیان خود گرفته به صورت بهتری در آورده و آن را ”شبکه ی مورّب ” نامیده است و حاصل ضرب • 624 358را مطابق زیر حساب کرده است: 4 3 2 1 5 2 6 0 8 2 6 0 3 1 8 1 2 3 0 6 1 4 8 2 3 9 2 2 3

19. 3 8 7 2 بالاخره کاشانی حاصلضرب 456 2783 را مطابق با شکل زیر به دست می آورد: در این مثا ل حاصلضرب های جزء یعنی 2783 6 و 2783 5 و 2783 4 نوشته شده است. 6 5 4 4 8 1 2 8 4 2 1 3 5 1 5 0 1 0 4 2 1 8 2 8 2 3 1 2 6 9 0 4 8

20. نگاهی به باب چهارم مقاله ی اول مفتاح الحساب • در مورد عددهای صحیح عبارت است از تجزیه ی مقسوم به اجزای متساوی که عده ی آنها مساوی با آحاد مقسوم علیه باشد، هر یک از این اجزا را خارج قسمت گویند. • بدست آوردن عددی است که نسبت آن به واحد مساوی با نسبت مقسوم به مقسوم علیه باشد و یا به دست آوردن عددی است که نسبت آن به مقسوم مساوی با نسبت واحد به مقسوم علیه باشد. تعریف کاشانی از تقسیم : تعریف جامع عمل تقسیم :

21. سپس در بالای نخستین وضع مقسوم علیه خطی افقی رسم می کنیم و مقسوم علیه را یک رقم به طرف راست انتقال می دهیم و در بالای وضع قبلی مقسوم علیه می نویسیم. • اگر فرض کنیم که رقم بعدی مقسوم (یعنی 1) را در سمت راست اولین باقیمانده ی جزء(یعنی 14) فرود آورده باشیم ،دومین مقسوم جزء(یعنی 141) درست به محاذات دومین وضع مقسوم علیه قرار می گیرد . • سپس دومین رقم سمت چپ خارج قسمت (یعنی صفر) را پیدا می کنیم و آن را در سمت راست رقم قبلی خارج قسمت (یعنی 4) می نویسیم و عمل را مطابق با جدول ادامه می دهیم. 4 0 خارج قسمت 5 2 مقسوم 6 2 1 4 7 2 2 نخستین مقسوم جزء مقسوم را می نویسیم و خطی افقی در بالای آن رسم می کنیم • و ارقام آن را بوسیله ی خطهای قائم از هم جدا می سازیم. • اگر رقم سمت چپ مقسوم علیه از رقم سمت چپ مقسوم کوچکتر بود، مقسوم علیه را در پایین مقسوم به فاصله ای مناسب به قسمی می نویسیم که ارقام آن به محاذات ارقام سمت چپ مقسوم قرار گیرند،و در غیر این صورت (مثلا ً درتقسیم عدد 2274126 بر 565 ) مقسوم علیه را در پایین مقسوم و با فاصله ی مناسب طوری می نویسیم که ارقام آن به محاذات ارقام سمت چپ مقسوم به استثنای آخرین رقم سمت چپ آن قرار گیرد (نخستین وضع مقسوم علیه در جدول )، • سپس اولین رقم سمت چپ خارج قسمت (یعنی 4) را (مطابق با قاعده ی کنونی ) می یابیم و آن را در خارج جدول بالای خط افقی مرسوم به محاذات رقم سمت راست مقسوم علیه (رقم 4 در مقسوم ) می نویسیم • و آن را در مقسوم علیه (یعنی 565) ضرب و حاصل (یعنی 2260) را از قسمتی از مقسوم که به محاذات مقسوم علیه قرار دارد (یعنی از 2274) کم می کنیم و باقیمانده (یعنی 14) را که نخستین باقیمانده ی جزء است می نویسیم. (مقسوم علیه)× 4 0 6 2 2 نخستین باقیمانده ی جزء=14 دومین مقسوم جزء 1 1 4 (مقسوم علیه)× 0 0 0 0 دومین باقیمانده ی جزء=141 سومین مقسوم جزء 2 1 4 1 0 3 1 1 (مقسوم علیه)× 2 آخرین مقسوم جزء 5 2 8 2 سومین باقیمانده ی جزء =282 1 آخرین باقیمانده آخرین وضع مقسوم علیه 5 6 5 5 6 5 سومین وضع مقسوم علیه 5 6 5 دومین وضع مقسوم علیه اولین وضع مقسوم علیه 5 6 5

22. تفاوت روش تقسیم کاشانی با روش کنونی : ما امروزه مقسوم علیه را در سمت راست مقسوم طوری می نویسیم که با مقسوم روی یک سطر قرار گیرد در صورتیکه کاشانی هر بار مقسوم علیه را یک رقم به سمت راست انتقال می دهد به قسمی که هریک از مقسوم های جزء درست به محاذات مقسوم علیه در همان تقسیم جزء قرار می گیرد.

23. خلاصه ی مطالب رساله ی محیطیه با اصطلاحات کنونی G • اثبات قضیه ی زیرکه اساس همه ی محاسبات بعدی کاشانی در رساله ی مذکور است در اینجا آمده است : • قضیه: • اگر روی نیمدایره ی به قطرAB=2r و به مرکز O قوس دلخواه AG را در نظر بگیریم و وسط قوس GB را که مکمل قوس AG است نقطه ی D بنامیم و AD را رسم کنیم رابطه ی زیر برقرار است • AG) AD ^2 r(2r D A O r B

24. و نتیجه گرفته است که اگر شعاع دایره و طول وتر AG معلوم و نقطه ی D وسط قوس BG باشد می توان وتر AD را حساب کرد. • اگر اندازه ی قوسAG را بر حسب رادیان 2 بنامیم و شعاع دایره را واحد بگیریم خواهیم داشت: • AG=2 Sin G D B O A r

25. AD=2Sin ½(2 + -2 / 2) =2Sin( /4+ /2) • و رابطه ی بصورت زیر در می آید: ( 2 / + 4 / ) 2^Sin 4= Sin 2 + 2 و از آنجا ( Sin + 1) = Sin ( /4+ /2) 2

26. D • در فصل دوم دایره ای به • قطر AB=2rرا در نظر می گیرد. • قوس AG را مساوی با 60 درجه • اختیار می کند. • وسط قوس BG را نقطه ی D و وسط قوس BD را نقطه ی Z و وسط قوس BZ را نقطه یH می نامد. او می گوید با استفاده از قضیه ای که ثابت شد می توان وتر AD را از روی AG و وترAZ را از روی AD و وتر AH را از روی AZ حساب کرد و عمل را تا هر جا لازم باشد ادامه داد.. G Z C0 C1 C2 H C3 B A

27. در واقع با اصطلاحات و علائم کنونی کاشانی روش محاسبه ی وتر های روبروی قوسهای زیر را بیان کرده است: • AG=a =60 AD=a1=180-60=120 AZ=a2=180-60/2=150 • AH=a3=180-60/(2^2)=165

28. و به طور کلی (**) • 180 - 60 = a • اگر وتر روبروی قوس a را Cبنامیم محاسبه ی هر یک از وتر های Cاز روی وتر ما قبل آن C به وسیله ی قضیه ی مذکور انجام می گیرد . • ( r( 2r+C = ( C) • و از آنجا C = r(2r+C ) • (*) n n 2 n n n n 2 n n n n

29. N اکنون روی شکل وتر AM را Cn فرض می کنیم و وتر BM را an می نامیم.پس از آنکه Cn ازروی دستور (*) حساب شد چون مثلث AMB قائم الزاویه است می توان an یعنی BM را حساب کرد. 2 Cn)^)- 2^(ran= (2 • امّا an درست مساوی با ضلع 2 3 ضلعی منتظم محاطی است زیرا با در نظر گرفتن تساوی (**) داریم: M Cn-1 Cn an B A n

30. n n n 1 1 • MB=180-AM=180-(180- 60 )= 60 = 360 • پس قوس MB مساوی با /1 محیط دایره و وتر MB مساوی با • ضلع ضلعی منتظم محاطی است. • پس : • به ازای هر مقدار دلخواه n (صحیح و مثبت) می توان an یعنی ضلع ضلعی محاطی را حساب کرد. 2 2 3 2 n 3 2 n 3 2 n 3 2

31. n 3 2 L • برای محاسبه ی ضلع ضلعی منتظم محیطی کاشانی این گونه عمل کرده است: • BM ضلع ضلعی منتظم • محاطی است. • اگر وسط قوسBM را نقطه ی • T بنامیم • و OT را رسم کنیم تا BM را • در نقطه ی I قطع کند • و در نقطه ی T مماسی بر دایره رسم کنیم تا امتداد OM را در نقطه ی L و امتداد OB را در نقطه ی Kقطع کند ، KL ضلع ضلعی منتظم محیط بر دایره و مشابه با ضلعی منتظم محاطی مذکور است. n 3 2 M T T Cn I K A O B n 3 2 n 3 2

32. کاشانی صحت رابطه ی BM/(KL-BM) = OI/(OT-OI) را ثابت کرده و گفته که چون OI نصف AM است اگر AM و BM معلوم باشند می توان KL را به وسیله ی این رابطه حساب کرد. بنابر این به ازای هر مقدار دلخواه n می توان KL یعنی ضلع ضلعی منتظم محیطی را به دست آورد. n 3 2

33. در فصل سوم محیطیه وی می خواهد عده ی اضلاع کثیرالاضلاع منتظم محاطی را طوری تعیین کند که در دایره ای که قطرش ششصد هزار برابر قطر کره ی زمین باشد اختلاف بین محیط کثیر الاضلاع و محیط دایره به یک مو نرسد . • او واحد های زیر را برای طولها بکار می برد: 1 فرسنگ = 12000 ذراع(تقریباً 6 کیلومتر) 1ذراع =24 اصبع (تقریبا ً50 سانتی متر ) 1 اصبع(انگشت)= 6 برابر عرض یک دانه جو ضخامت جو=6 شعره شعره = ضخامت موی یال اسب

34. کاشانی : • دایره ای که قطرش ششصد هزار برابر قطر کره ی زمین باشد طول محیطش نیز ششصد هزار برابر محیط کره ی زمین است و به فرض آنکه طول محیط کره ی زمین 8000 فرسنگ باشد محیط دایره ی مذکور را که 600000 × 8000 فرسنگ است در 12000 ضرب کرده تا بر حسب ذراع معلوم شود و سپس حاصل را به ترتیب در 24 و6 و6 نیز ضرب کرده تا اندازه ی محیط به ترتیب بر حسب اصبع و ضخامت جو و عرض مو به دست آید و پس از آنکه اندازه ی محیط دایره ی مذکور بر حسب مو معلوم شد یک درجه یعنی 1/360 آن را گرفته و نشان داده است که یک ثامنه{(8^60)/1}آن تقریباً مساوی با 5/ 4ضخامت یک مو است • 600000 8000 12000 24 6 6 = 200 ~ 4 360 (8^60) 243 5

35. و نتیجه گرفته که اگر محیطهای دو کثیر الاضلاع منتظم محاطی و محیطی را طوری استخراج کند ،که تفاوت بین دو محیط به یک ثامنه نرسد منظور حاصل میشودو به این نتیجه رسیده که باید در دایره ی به شعاع 60 واحد کثیرالاضلاعی محاط کند که طول هر ضلع آن از 8 رابعه ((4^60)/8) بیشتر نباشد و جدولی تشکیل داده که در یک طرف آن 120 درجه را 28 بار نصف کرده و در طرف دیگر آن عده ی اضلاع کثیر الاضلاع را ابتدا از مثلث 28 بار دو برابر کرده و عده ی اضلاع آن را • 805306368 = 2 3 • یافته است و بالاخره به این نتیجه رسیده که باید طول ضلع 2 3 ضلعی منتظم محاط در دایره ی به شعاع 60 واحد را حساب کند(در محیطیه محاسبات در دستگاه شصتگانی است) و نشان داده که برای آنکه نتیجه ی محاسبات دقیق باشد باید هر عمل را در دستگاه شصتگانی تا مرتبه ی ثامنه عشر ((18^60)/1) ادامه دهد. 28 28

36. محاسبه ی مقدار ∏ • در فصل هشتم محیطیه کاشانی مقدار محیط دایره را به فرض آنکه شعاع آن واحد باشد یعنی در واقع مقدار ∏ 2را در دستگاه شمار دهگانی و با کسرهای اعشاری که اختراع خود اوست به دست آورده به این شرح: 2831853071795865 ر 6= ∏ 2 همه ی شانزده رقم اعشاری این عدد دقیق است و این نهایت دقت کاشانی رادر محاسبه می رساند. برای آنکه در اثر اهمال نسخه نویسان در ارقام این عدد خللی وارد نیاید و ضمناً در حین محاسبه بتوانند از مضارب ∏ 2 استفاده کنند کاشانی مقدار∏ 2 را در اعداد صحیح از 1 تا 10 ضرب و حاصلها را در جدولی ثبت کرده است.

37. تفسیر رساله ی وتر وجیب کاشانی با اصلاحات و علائم کنونی • مطالب رساله ی مذکور را می توان به دو جزء تقسیم کرد:یکی روش به دست آوردن معادله ی مسئله یعنی معادله ی • a )+x )/( ) (1) سادسه)) =x • که در آن مجهول x وترقوس دو درجه از دایره است و یکی دیگر چگونگی حل این معادله با روش کاشانی که قسمت مهم و اساسی رساله ی مذکور است. 3 2 3 60

38. D C B • به دست آوردن معادله ی (1) : نیمدایره ای به مرکز H و به قطر AHG مساوی با 2r رسم می کنیم و فرض می کنیم که وتر رو به روی قوس دو درجه = وتر CD = وتر BC = وتر AB پس AD وتر قوس 6 درجه است.کاشانی ابتدا جیب 3 درجه را از روی تفاضل جیب 18 درجه و جیب 15 درجه که قبلاً آنها را می دانسته به دست آورده و آن را در 2 ضرب کرده و وتر قوس 6 درجه یعنی طول AD رامساوی با عدد زیر دردستگاه شمار شصتگانی حساب کرده است a)=6;16,49,7,59,8,56,29,40 ثامنه) = AD r G H A

39. D C B • و وتر روبروی قوس دو درجه یعنی • AB=BC=CD • راx معنی مجهول مسئله گرفته وبرای تشکیل دادن معادله ی مسئله به این طریق عمل کرده :از قضیه ی بطلمیوس در چهار ضلعی محاطی ABCD حاصل می شود: • AB.CD+BC.AD=AC.BD • و چون AB=BC=CD و AC=BD پس • AB+BC AD=AC • یعنی AC=BD =( وتر 6 درجه) x + x (2) • اکنون اگر از قطر AG طول GR را مساوی با CG جدا کنیم • و پاره خطهای BGو BR را رسم کنیم از دو مثلث متشابه ABH وARB نتیجه می شود • AR/AB=AB/AH و از آنجا • AB/r=AR r G H R A 2 2 2 2 2 2

40. 2 • بنابراین اگر شعاع دایره را 60 واحد بگیریم داریم: • GR=AG -AR=120-AB/60 • ازطرف دیگردرمثلث قائم الزاویه ی ACG با درنظرگرفتن رابطه بالا و • اینکه GC=GR داریم AC=AG – GC =(120)-(120-AB/60) یعنی AC=4AB-AB/3600 2 2 2 2 2 2 C 2 4 2 G R A

41. 2 اکنون اگر در رابطه ی آخر مقدارAC را از رابطه ی( 2) بگذاریم حاصل می شود x - x /3600 4 =(وتر 6 درجه) x + x که پس از تقسیم کردن طرفین بر x و ساده کردن: – x / 3600 x 3= وتر 6 درجه x + (60) (وتر 6 درجه ) = x ( 60) 3 2 2 4 3 2 3 2

42. امّا a سادسه = ( 60 ) ( a ثامنه ) = ( 60 ) (وتر 6 درجه ) پس داریم: x+ (a سادسه ) = x ( 60) 3 و از آنجا x + ( aسادسه) x = ( 60) 3 2 2 2 3 3 2

43. روش کاشانی در حل معادله ی (1) • شرح روش بدیع و جالب توجه کاشانی برای حل معادله ی (1): • معادله ی (1) را برای سهولت به شکل زیر می نویسیم: • َ ( 1 ) x=q+x • p • در دستگاه شصتگانی : (60 ) 3p = 0 , 0 , 3 p = • 40 , 29 ,56 , 8 , 59 , 7; 49 , 16 , 6 q = 3 2

44. یعنی در دستگاه اعشاری (60 ) / 59 + 7/60 + 49 +(60 ) 16 + ( 60) 6 q= (60 ) / 40 +(60 ) / 29+(60 ) / 56 + (60 ) / 80+ فرض می کنیم جواب معادله ی َ ( 1 ) در دستگاه شصتگانی به صورت a+b+c+… = x باشد که در آن a,b,c,… ارزش نسبی ارقام شصتگانی عدد x هستند.باید a,b,c,… را یکی پس از دیگری تعیین کنیم.چون x وتر روبروی قوس 2 درجه است مقدار آن نسبت به شعاع دایره که 60 فرض میشود کوچک است و مکعب آن یعنی x بسیار کوچک است و می توان در تقریب اول مکعب آن (که باید درمعادله ی اصلی بر60 3 نیز تقسیم شود ) صرف نظر کرد و x را تقریباً مساوی با q/p گرفت.پس نخستین مقدار تقریبی 2 2 4 3 5 6 3 2

45. x که آن را x1 می نامیم عبارت است از: • a~ x1=q/p • معلوم می شود: • ...+ 49 + (60) 16 + ( 60) × 6 x1= • 3 ×( 60) • یا • ... + 49 + (60 )×16 + 2 x1= • ( 60) × 3 • پس ارزش نسبی نخستین رقم شصتگانی x مساوی با 2 درجه (واحد)است 2 2 2

46. پس از یافتن a در طرف چپ معادله ی َ ( 1 ) به جای x مقدار a+b+… را که به حقیقت نزدیکتر است و در طرف راست آن مقدار تقریبی a را قرار میدهیم : • a+b+…= q+a • p • از آنجا b+…= q-ap+a • P • یعنی (ساده شده): 8 + ... + 49 +(60) × 1 + (60) / 5 b+…= • ( 60 ) × 3 3 3 2

47. پس ارزش نسبی دومین رقم شصتگانی x مساوی با 5/60 یعنی 5دقیقه است.پس دومین مقدار تقریبی x که آن را x2 می نامیم تعیین شد. • x2= a+b • برای تعیین ارزش نسبی سومین رقم در طرف چپ معادله ی َ ( 1 ) به جای x مقدار a+b+c+… را که به حقیقت نزدیکتر است و در طرف راست آن مقدار تقریبی a+b را قرار می دهیم: • a+ b+c+…= q+(a+b) p • از آنجا (در نهایت): bp+[(a+b)-a ]- q-ap+a )) c+…= • p 3 3 3 3

48. 2 پس از محاسبه : ( 60 ) / 39 c = پس سومین مقدار تقریبی x که آن را x3 می نامیم تعیین شد: a+b+cx3= با این روش می توانیم ارزش نسبی سایر ارقام شصتگانی x را تا هر کجا بخواهیم حساب کنیم و به این ترتیب حاصل می شود: ax1= p / [q+(x1) ] x2=(q+a ) /p= : p / ]xn=[q+( xn-1) 3 3 3

49. به دست آوردن Sin 1 • کاشانی با روش فوق وتر روبروی قوس دو درجه را در دستگاه شصتگانی تا رقم تاسعه ی آن حساب کرده است: • = وتر روبروی قوس دو درجه • 33 , 52 ,32 , 28 , 29 , 22 , 26 , 39 ; 5 ; 2 • وآن را نصف کرده و جیب یک درجه را به دست آورده است. • = sin 160 = جیب یک درجه • 17, 26, 16 , 44 ,14 ,11 ,43 , 49 , 2 ; 1 • اگر مقدار مذکور را به 60 تقسیم کنیم و حاصل را در دستگاه شمار دهگانی بنویسیم سینوس یک درجه با 22 رقم اعشاری به دست می آید:

50. 0174524064372835103712 ر0 = sin 1 که هفده رقم اعشاری آن با مقدار واقعی سینوس یک درجه موافق است. کاشانی برای نوشتن کسرهای اعشاری به چند طریق زیر عمل کرده و اگرچه او ممیز را اختراع نکرده ولی کسرهای اعشاری را تقریباً به شکلی که امروزه معمول است می نوشته است. وی قسمتهای صحیح و اعشاری را با رنگهای مختلف مثلاً سیاه و سرخ روی یک سطر می نوشته و یا قسمت صحیح را با خط ریز و قسمت اعشاری را با خط درشت می نوشته و یا اینکه اسامی صحیح و کسر را بالای قسمتهای صحیح و کسری ثبت می کرده و آنها را با خط قائم از کاشانی و کسرهای اعشاری