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3.3.1 几何概型

3.3.1 几何概型. 计算随机事件发生的概率的方法：. 一是通过做大量相同的重复试验得到事件的频率，以此近似估计概率；. 二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率. A 包含的基本事件的个数 P （ A ） = ———————————— 基本事件的总数. 问题提出. 在现实生活中 , 常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多个的情况. 这时如何求事件发生的概率 ?. 一、创设情景，引入新课. 　　在转盘游戏中，当指针停止时， 指针指向那种颜色区域的可能性大？. 为什么指针指向红色区域的可能性大？.

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3.3.1 几何概型

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  1. 3.3.1 几何概型

  2. 计算随机事件发生的概率的方法： 一是通过做大量相同的重复试验得到事件的频率，以此近似估计概率； 二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率. A包含的基本事件的个数 P（A）= ———————————— 基本事件的总数

  3. 问题提出 在现实生活中,常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多个的情况. 这时如何求事件发生的概率?

  4. 一、创设情景，引入新课 　　在转盘游戏中，当指针停止时，指针指向那种颜色区域的可能性大？ 为什么指针指向红色区域的可能性大？ 因为红色区域的面积大，所以指针落在红色的区域可能性大。

  5. 二、主动探索，领悟归纳 • 问题:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少? • 点击右侧的小转盘，更换一个转盘后，甲获胜的概率是多少？

  6. 主动探索 • 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的面积有关,而与字母B所在区域的位置无关. 上述问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但显然不能用古典概型的方法求解，怎么办呢？

  7. 领悟归纳 • 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

  8. 领悟归纳 • 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. • 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

  9. 问题1 (电话线问题)：一条长50米的电话线架于两电线杆之间, 其中一个杆子上装有变压器。在暴风雨天气中, 电话线遭到雷击的点是随机的。试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率。 变压器

  10. 解析：记“雷击点距离变压器不小于20米”为事件A, 在如图所示的长30m的区域内事件A发生，

  11. ② ① 问题2(撒豆子问题)：如图, 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计算它落到阴影部分的概率.

  12. ② ① 解析：记“落到阴影部分”为事件A, 在如图所示的阴影部分区域内事件A发生, 所以

  13. 问题3(取水问题)：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.

  14. 　解析：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A, 事件A发生的概率

  15. 三、巩固深化，应用拓展 几何概型的计算 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。 = [2 , 3] = 3-2 = 1 = 5- 0 = 5

  16. 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 分析：假设他在0－60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0－60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。

  17. 例2某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）例2某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份） 甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？

  18. 甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于顾客来说：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于顾客来说： P（获得购物券）= P（获得100元购物券）=1/20 P（获得50购物券）= P（获得20购物券）=

  19. 学法领悟 • 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.

  20. 练习 1、假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ A 0← S →10 解：设“等车时间不超过三分钟”为事件A，则 3 10 A 的长度 S 的长度 P(A) = ————— = —— 所以“等车时间不超过三分钟”的概率为

  21. 练习 2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。

  22. 练习 3.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大? 1m 1m 3m 解：如上图， 记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A， 把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。 由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率 P（A）=1/3。

  23. 练习 4.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。 分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 解： 在AB上截取AC’=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜AC’） 则AM小于AC的概率为

  24. 练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？ B 解：记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长}，取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点，当另一点在劣弧 CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD 的长度是圆周长的三分之一， 所以可用几何概型求解，有 . 0 C D E 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为

  25. 四、总结评价，促进成长 • 1.几何概型的特点. • 2.古典概型与几何概型的区别： 1）两种模型的基本事件发生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则要求基本事件有无限多个。 • 3.几何概型的概率公式及运用.

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