METODA BACKTRACKING

1. 1.PROBLEME METODA BACKTRACKING

2. 1. Problema reginelorSă se determine toate posibilităţile de aranjare a nregine pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât reginele să nu se atace reciproc. Regina atacă piesele aflate pe aceeaşi linie, coloanăsau diagonală. • Recursiv type vector=array [1..30] of integer; var x: vector; n: integer; procedure solutie; vari,j : integer; begin writeln for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do if x[i]=j then write (‘*’) else write (‘_’); writeln; end; end;

3. function continuare (k:integer):boolean; var i:integer; ok:boolean; begin ok:=true; for i:=1 to k-1 do if (x[k]=x[i]) or ( abs(x[k] – x[i]) = (k-1)) then ok:=false continuare:=ok; end; procedure back(k:integer); var i: integer; begin if (k=n+1) then solutie else begin for i:=1 to n do begin x[k]:=i; if continuare(k) then back (k+1); end; end; end; begin write(‘n=‘); readln(n); back(1); readln; end;.

4. Iterativ varsolutie: array [1..9] of integer; n:integer; function valid (k: integer): boolean; vari: integer; begin valid:=true; for i:= 1 to k-1 do if (sol [k] = sol [i]) or (abs(sol [k] – sol [i])=abs(k-1)) then valid:=false end; procedure back(k:integer); vari:integer;

5. begin if k=n+1 then begin for i:=1 to n do write (sol [i]);writeln; end else begin sol[k]:=0; while sol [k] < n do begin sol [k] :=sol [k] +1; if valid (k) then back (k+1) end; end; end; begin write(‘n’); readln(n); back(1) end.

6. 2.Plata uneisumecu bancnote de valori dateSe dausuma S şin tipuri de bancnoteavândvaloria1,a2,…,an lei. Se certoatemodalităţile de plată a sumei S utilizândacestebancnote. Se presupunecăse dispune de un numărsuficient din fiecare tip debancnotă. • Recursiv const=7; const a: array[1..n] of integer=(1,5,10,50,100,200,500); type vector= array [1..n] of integer; varx:integer; suma, s: integer; procedure solutie; vari: integer; begin for i:=1 to n do if x[i] >0 then write (x[i], ‘bacnote de’, a [i], ‘lei’); writeln (‘============‘); end; function continuare (k:integer): boolean; begin continuare:=(x [k]* a [k] + s < suma) and (k<=n); end;

7. procedure back (k:integer): integer; begin if ( s= suma) then solutie else begin x[k]:=1; while continuare(k) do begin x[k]:=x [k]+1 s:=s+x[k]*a[k]; back(k+1); s:=s-x [k] *a [k]; end; end; end; begin write (‘suma=‘); readln (suma); back(1); readln(1); end.

8. 3.Problema colorării hărţilorFiind data o hartă cu n ţări, se ceretoatesoluţiilede colorare a hărţii, utilizândcelmult4 culori, astfelîncâtdouăţăricu frontierăcomunăsăfie coloratediferit. • Recursiv const c: array [1..4] of char= (‘G’,’R’,’A’,’V’); type vector=array [1..50] of integer; matrice=array [1..50,1..50] of integer; var a:matrice; x:vector; n:integer; procedure citire (var n: integer; var a:matrice); vari,j:integer; begin write(‘n=‘);readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin write (‘a[‘, i, ‘,’ , j, ‘]=‘); readln (a[i,j] ) end; end; procedure solutie; vari: integer; begin for i:=1 to n do writeln (‘tara’, I, ‘:’, c [x [i]]); end;

9. funtioncontinuare (k: integer): boolean; vari: integer; begin continuare:= true; for i:=1 to k-1 do if (a[i,k]=1) and (x[i]=x [k]) then continuare :=false’ end; procedure back (k:integer); vari:integer; begin if (k=n+1) then solutie else for i:= 1 to 4 do begin x[k]:=1; if continuare (k) then back (k+1); end; end; begin citire (n,a); back(1); end;.

10. 4.Săritura caluluiSe consideră o tablă de şahnxnşi un cal plasatîncolţuldin stânga, sus. Se ceresăse afişeze un drum al caluluipetable de şah, astfelîncâtsătreacăo singurădatăprinfiecarepătratal tablei. • Recursiv type vector=array [1..400] of integer; matrice=array [1..20,1..20] of integer; coustdx:array [1..8] of integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2); dy:array[1..8] of integer=(-1,-2,-2,-1,1,2,2,1); vara:matrice; x,y: vector; n:integer; procedure solutie vari,j: integer; begin writeln for i:=1 to n do begin for i:=1 to n do write (a[I,j], ‘ ‘); writeln; end; end; function continuare (k:integer):boolean; varok: boolean; begin ok::=true; if (x [k]<1) or (x [k]>n) or (y [k]<1) or (y [k]k>n) or (a[x[k], y[k]]>0) then ok:= false; continuare:=ok; end;

11. procedure back (k:integer); vari:integer; begin if (k= n*n+1) then solutie else begin for i:= 1 to 8 do begin x [k]:= x [k-1] +dx [i]; y [k]:= y [k-1] +dy [i] ; a [x [k],y [k] ]:=k; if contiuare (k) then begin back(k+1); a [x [k], y [k] ]:=0; end; end; end; end; begin write(‘n=‘); readln(n); x[i]:=1; y[1]:=1; a[1,1]:=1; back (2); end.

12. 5.Generarea permutărilor unui vectorSe citesc cele n elemente ale unuivector a de numere întregi. Să se genereze permutările de n elemente ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţiexecutareaalgoritmuluipentrun=3. • Recursiv type vactor=array [1..20] of integer; vara,x: vector; n:integer; procedure citire(var n: integer; var a: integer); vari: integer; begin write (‘n=‘); readln(n); for i:= 1 to n do begin write(‘a[‘, i, ‘]=‘); readln (a[i]); end; end; procedure solutie; varI :integer; begin for i := 1 to n do write (a [x [i] ], ’ ‘); writeln; end;

13. function continuare (k: integer): boolean; vari:integer; begin continuare := true; for i:= 1 to k-1 do if x[i]=x[k] then continuare:= false; end; procedure back (k:integer); vari: integer; begin if (k=n+1) then solutie else for i:= 1 to n do begin x[k]:=I; if continuare (k) then back ( k+1); end; end; begin citire(n,a); back(1); end.

14. Rezolvarepentru n=3 = 3! = 2 * 3= 6 (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

15. 6.Generarea aranjamentelor de n elemente luate câte p ale unui vectorSe citesc cele nelemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate aranjamentele de n elemente luate câte p ale mulţimii{a1,a2,…,an}. Simulaţiexecutareaalgoritmuluipentrun=4 şip=2. • Recursiv type vector=array [1..20] of integer; varx: integer; n,p: integer; procedure solutie vari: integer; begin for i:=1 to p do write (x[i], ‘ ‘]; end; function continuare ( k:integer): boolean; vari:integer; begin continuare := true; for i:=1 to k-1 do if x[i]=x[k] then continuare := false; end;

16. procedure back (k: integer); vari: integer; begin if (k=p+1) then solutie else for i:=1 to n do begin x[k]:=I; if continuare (k) then back(k+1); end; end; begin write (‘n=‘); readln(n); write (‘p=‘); readln(p); back(1); end.

17. Rezolvarepentru n=4si p=2 = = = = = 12 (1,2) (2,1) (3,1) (4,1) (1,3) (2,3) (3,2) (4,2) (1,4) (2,4) (3,4) (4,3)

18. 7.Generarea combinărilor de n elemente luate câte p ale unui vectorSe citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate combinările de n elemente luate câte p ale mulţimii{a1,a2,…,an}. Simulaţiexecutareaalgoritmuluipentrun=4 şip=2. • Recursiv type vector=array [0..20] of integer; var x:vector; n,p: integer; procedure solutie; var i: integer; begin for i:= 1 to p do write (x[i], ‘ ‘); writeln; end;

19. procedure back (k:integer); var i:integer; begin if (k=p+1) then solutie else for i:= x[k-1] +1 to n do begin x [k]:= i; back (k+1); end; end; begin write (‘n=‘); readln(n); write (‘p=‘); readln(p); back(1); end.

20. Rezolvarepentru n=4si p=2 = = = = 6 (1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (1,4) (3,4)

21. 8.Generarea partiţiilorFie mulţimea A={1,2,…,n}. Se numeştepartiţiea mulţimii A, un set de knmulţimicare îndeplinesccondiţiilede maijos:a) A1UA2U…UAk=Ab) AiAj=, i,j{1,2,…,n} • Iterativ var sol: array [0..10] of integer; n,i, j,max: integer; procedure tipar; begin max:=1; for i:=2 to n do if max< sol[i] then max:= sol[i]; writeln(‘Partitie’); for i:=1 to max do begin for j:=1 to n do if sol[j]=1 then write(j, ’ ‘); writeln; end; end;

22. procedure back (k:integer); vari, j, maxprec: integer; begin if k=n+1 then tipar else begin maxprec:=0; for j:=1 to k-1 do if maxprec< sol[j] then maxprec:= sol[j]; for i:=1 to maxprec+1 do begin sol [k]:=i; back(k+1) end; end; end; begin write(‘n=‘); readln(n); back(1); end.

23. 2.GRILE

24. Varianta 16 Un algoritm generează în ordine crescătoare toate numerele de n cifre, folosind doar cifrele3, 5 şi 7. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 33333, 33335, 33337,33353, 33355, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării. Rezolvare: Ultimeletreisolutii generate in ordineagenerariisunt: 77773, 77775, 77777. Varianta 17 Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre eleavând cifrele în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5 soluţii generate sunt 56789,46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordineagenerării. Rezolvare: Ultimeletreisolutii generate in ordineagenerariisunt: 12347, 12346, 12345.

25. Varianta 19 Un algoritm generează în ordine crescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifre distincte,care nu audouăcifre parealăturate. Dacăpentrun=5,primele 5soluţii generatesunt10325,10327, 10329,10345, 10347, precizaţicare sunt următoarele 3soluţiigenerate,în ordinea obţinerii lor. Rezolvare: Următoarele 3 soluţiigenerate în ordinea obţinerii lor sunt: 10349, 10352, 10354. Varianta 20 Un algoritm generează în ordine descrescătoare, toate numerele de n cifre(n<9), cu cifreleîn ordine strict crescătoare, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţiigenerate sunt 56789, 45789, 45679, 45678, 36789, precizaţi care sunturmătoarele 3 soluţii generate,înordineaobţinerii lor. Rezolvare: Următoarele 3 soluţii generate,înordineaobţinerii lorsunt: 35789, 35689, 35679.

26. Varianta 21 Următoarele probleme se referă la mulţimea de numere reale M={x1, x2, …, xn} (n>1000).Care dintre acestea, comparativ cu celelalte, admite un algoritm care se încheie după unnumăr minim de paşi? Rezolvare: c. determinarea elementului minim al mulţimiiM Varianta 22 In timpul procesului de generare a permutărilor mulţimii {1,2,…,n} prin metoda backtracking, întabloulunidimensional x este plasat un element xk (1≤k≤n). Acestaeste considerat valid dacă este îndeplinită condiţia: Rezolvare: a. xk∉{x1, x2, …, xk-1}

27. Varianta 32 În vederea participării la un concurs, elevii de la liceul sportiv au dat oprobă de selecţie, înurma căreia primii 6 au obţinut punctaje egale. În câte moduri poate fi formată echipaselecţionată ştiind că poate avea doar 4 membri, aleşi dintre cei 6,şi căordinea acestora încadrul echipei nu contează? a. 24 b. 30 c. 15 d. 4 Rezolvare: = = 15 c) 15 Varianta 34 Completarea unui bilet de LOTO presupune colorarea a 6 numere dintre cele 49, înscrise pe bilet. O situaţie statistică pe o anumită perioadă de timp arată că cele mai frecvente numerecare au fostextrase la LOTO sunt: 2, 20, 18, 38, 36, 42, 46, 48. Câtebilete de 6 numere se pot completa folosind doar aceste valori, ştiind că numărul 42 va fi colorat pefiecarebilet? a. 21 b. 6! c. 42 d. 56 Rezolvare: = = 21 a) 21

28. Varianta 38 Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 9 casumă a cel puţin două numere naturale nenule distincte.Termenii fiecărei sume suntînordine strict crescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+2+6, 1+3+5, 1+8, 2+3+4, 2+7, 3+6 şi 4+5.Seaplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 8.Câte soluţii vor fi generate? a. 3 b. 4 c. 6 d. 5 Rezolvare: 1+2+5 1+3+4 1+7d) 5 2+6 3+5 Varianta 40 Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 6 casumă a cel puţin două numere naturale nenule. Termenii fiecărei sume sunt în ordinecrescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+2, 1+1+1+3, 1+1+4, 1+5, 2+2+2, 2+4 şi 3+3. Se aplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 9.Câtesoluţii de forma 2+... vorfi generate? (4p.) a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Rezolvare: 2+2+2+3 2+2+5 2+3+4c) 4 2+7

29. Varianta 45 Utilizând metoda backtracking se generează toate cuvintele de câte 3 litere din mulţimea{a,b,c}. Dacă primele patru cuvinte generate sunt, în acestă ordine: aaa, aab, aac,aba, care este cel de-al optulea cuvânt generat? a. acbb. acc c. aca d. bca Rezolvare: 5. abb 6. abc 7. aca 8. acb a) acb Varianta 49 Se generează în ordine strictcrescătoare numerele de câte şase cifre care conţin: cifra 1 osingură dată, cifra 2 de două ori şi cifra 3 de trei ori. Se obţin, în această ordine, numerele:122333, 123233, 123323, …, 333221. Câte numere generate prin această me-todă au prima cifră 1 şi ultima cifră 2? a. 1 b. 3 c. 4 d. 8 Rezolvare: 123332 132332 133232 133322 c) 4

30. Variante 54 Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică toate anagramelecuvântului caiet ( cuvinte formate din aceleaşi litere, eventual în altă ordine). Care este aşaseasoluţie? a. cateib. actie c. actei d. catie Rezolvare: caiet -> 12345 1. 12345 2. 12354 3. 12435 4. 12453 5. 12534 6. 12543 a) catei Varianta 74 Prin metoda backtracking segene-rează toate anagramele(cuvinteleobţi-nute prinpermutarea literelor)unui cuvânt dat.Ştiind că se aplică această metodă pentru cuvântulsolar,precizaţi câte cuvinte se vor genera astfel încât prima şi ultima literă din fiecarecu-vânt generat să fie vocală(sunt consi-derate vocale caracterele a, e, i , o, u)? a. 24 b. 6 c. 10 d. 12 Rezolvare: aslroasrlo arsloarlso alrsoalsro 6*2=12 d) 12

31. Varianta 69 Construim anagramele unui cuvânt c1c2c3c4 prin generarea în ordine lexicografică apermutărilor indicilor literelor cuvântului şi obţinemc1c2c3c4 c1c2c4c3 c1c3c2c4 … c4c3c1c2c4c3c2c1. Pentru anagra-mele cuvântului pateu, după şirul paetu, paeut, paute cuvinteleimediat următoare sunt: a. pauetşiptaeu b. ptaeuşiptaue c. pauetşiptaue d. ptaeuşipatue Rezolvare: paute -> 12534 12543 -> paute 13245 -> ptaeu a)pauetşiptaeu Varianta 57 Se utilizează metoda backtracking pentru a genera în ordine lexicografică toate cuvintele decâte patru litere din mulţimea {d,a,n,s}, astfel încât în niciun cuvânt să nu existe două literealăturate identice. Ştiind că primele trei cuvinte generate sunt, în ordine, adad, adan şi adas,care va fi ultimul cuvânt obţinut? a. snns b. nsns c. snsn d. dans Rezolvare: adad, adam, adas,..., snsn c) snsn

32. Varianta 63 Se generează, prin metoda backtracking, toate partiţiile mulţimii A={1,2,3} obţinându-seurmătoarele soluţii:{1}{2}{3};{1}{2,3};{1,3}{2};{1,2}{3};{1,2,3}. Se observăcă dintre acestea prima soluţie e alcătuită din exact trei submulţimi.Dacă sefolo-seşteaceeaşi metodă pentru a ge-nera partiţiile mulţimii {1,2,3,4} sta-biliţi câte dintre soluţiilegenerate vor fi alcătuite din exact treisubmulţimi. a.3 b.12 c. 6 d.5 Rezolvati: {1,2}{3}{4}; {1}{2,3}{4}; {1}{2}{3,4} a) 3 Varianta 70 Pentru rezolvarea cărei probleme dintre cele enumerate mai jos se poate utiliza metoda backtracking ? a. determinareareuniunii a 3 mulţimi b. determinarea tuturor divizorilor unui număr din 3 cifre c. determinarea tuturor elementelor mai mici decât 30000 din şirul lui Fibonacci d. determinareatuturorvariantelorîn care se pot genera steagurile cu 3 culori (din mulţimea:”roşu”, ”galben”, ”albastru” şi ”alb”), având la mijlocculoarea ”galben” Rezolvare: d. determinareatuturorvariantelorîn care se pot genera steagurile cu 3 culori (din mulţimea:”roşu”, ”galben”, ”albastru” şi ”alb”), având la mijlocculoarea ”galben”

33. Varianta 58 Se utilizează metoda backtracking pentru a genera în ordine lexicografică toate cuvintele decâtetreiliteredistincte din mulţimea {d,a,n,s}. Care este cel de-al treileacuvântobţinut? a. ads b. ans c. dand. and Rezolare: 1. adn 2. ads 3. ans b) ans Varianta 55 Se generează în ordine crescătoare, toate numerele naturale de 5 cifre distincte, care se pot forma cu cifrele 2,3,4,5 şi 6. Să se precizeze numărul generat imediat înaintea şinumărul generat imediat după secvenţa urmă-toare : 34256, 34265, 34526, 34562. a. 32645 şi 34625 b. 32654 şi 34655 c. 32654 şi 34625 d. 32645 şi34655 Rezolvare: 34256 -> 23145 => 32654, 34256 34562 -> 23451 => 34561, 34625 c) 32654 si 34625

34. Realizator:ALBU DANIELA Clasa :a XI-a B