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第四章 双因子试验设计. 双因子试验的数学模型 固定效应模型的统计分析 随机效应模型的统计分析 混合模型的统计分析. 4.1 双因子试验的数学模型. 设因子 A 有 a 个不同的水平， 因子 B 有 b 个不同的水平 ，在因子 A 的第 i 个水平、因子 B 的第 j 个水平下第 k 个重复试验的结果用 y ijk 表示， i=1, …, a ； j=1, … ,b ； k=1, … ,n 。总共要做 abn 个试验。这 abn 个试验应按随机顺序进行，使此设计成为完全随机化设计。设 abn 个试验的数据如下表所示。. 上表的数据有如下结构：. (4.1).
E N D
第四章 双因子试验设计 双因子试验的数学模型 固定效应模型的统计分析 随机效应模型的统计分析 混合模型的统计分析
4.1 双因子试验的数学模型 设因子A有a个不同的水平，因子B有b个不同的水平，在因子A的第i个水平、因子B的第j个水平下第k个重复试验的结果用yijk表示，i=1,…,a；j=1,…,b；k=1,…,n。总共要做abn个试验。这abn个试验应按随机顺序进行，使此设计成为完全随机化设计。设abn个试验的数据如下表所示。
上表的数据有如下结构： (4.1) • iid为独立同分布英文缩写。
μ称为一般平均，它表示ab个总体的均值的平均值。μ称为一般平均，它表示ab个总体的均值的平均值。 表示因子A取第i个水平时的b个处理组合所对应的b个总体的均值的平均值。 表示因子B取第j个水平时的a个处理组合所对应的a个总体的均值的平均值。
τi为因子A的第i个水平的主效应，它表示因子A取第i个水平时的b个总体的均值的平均值比一般平均大或小多少。τi为因子A的第i个水平的主效应，它表示因子A取第i个水平时的b个总体的均值的平均值比一般平均大或小多少。 βj为因子B的第j个水平的主效应，它表示因子B取第j个水平时的a个总体的均值的平均值比一般平均大或小多少。 显然
称 为因子A的第个水平、因子B的第个水平的交互效应，它表示因子的水平搭配对指标的影响。 显然 无交互作用，否则称为有交互作用。
当A、B对指标无交互作用时，模型(4.1)可表示为：当A、B对指标无交互作用时，模型(4.1)可表示为： (4.2) 约束条件为： (4.2)称为可加效应模型。
当A、B对指标有交互作用时，模型(4.1)可表示为：当A、B对指标有交互作用时，模型(4.1)可表示为： (4.3) 约束条件为： (4.2)称为交互效应模型。
在讨论双因子试验的数学模型式（4.2）和（4.3）时，区分为下列三种情况：在讨论双因子试验的数学模型式（4.2）和（4.3）时，区分为下列三种情况： （1）如果因子A的a个水平和因子B的b个水平是根据试验的具体情况在试验前就指定好的，并在试验中得到很好控制的，则（4.2）和（4.3）称为固定效应模型。检验结论只适用于试验所用过的因子A的各个水平和因子B的各个水平，而不能推广到试验中并未使用过的水平。 （2）如果因子A的a个水平和因子B的b个水平不是试验前定好的，而是在试验过程中从因子A、B的全部可能的水平的总体中选取的一个随机样本，则（4.2）和（4.3）称为随机效应模型。检验结论是相对于因子A、B的全部可能的处理而言，而不管它们在试验中是否被使用过。
（3）如果因子A和因子B两者之一的诸水平是试验前指定的，另一个是在试验过程中随机选定的，则（4.2）和（4.3）称为混合模型。（3）如果因子A和因子B两者之一的诸水平是试验前指定的，另一个是在试验过程中随机选定的，则（4.2）和（4.3）称为混合模型。
4.2 固定效应模型的统计分析 对固定效应模型(4.2)的试验设计而言，一般不必进行重复试验，此时n=1，模型可简写为： (4.4) 约束条件为：
在H01成立的条件下， 。 在H02成立的条件下， 。 一、方差分析 1、提出假设 H01： H02： 2、 构造统计量
3、求临界值 4、求观察值。 根据给定的试验数据求统计量FA、FB的观察值。
5、作出判断。 拒绝H01意味着因子A的诸水平之间有显著差异。 拒绝H02意味着因子B的诸水平之间有显著差异。
为了考察高温合金中碳的含量（因子A）和锑与铝的含量之和（因子B）对合金强度的影响，因子A取3个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义同上）。在每个水平组合下各做一个试验，试验结果如下：为了考察高温合金中碳的含量（因子A）和锑与铝的含量之和（因子B）对合金强度的影响，因子A取3个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义同上）。在每个水平组合下各做一个试验，试验结果如下： 例1
解： 方差分析的结果可由如下方差分析表所示 由于F0.01(2,6)=10.9<70.02， F0.01(3,6)=9.78<21.91，因此，当显著性水平α=0.01时，因子A的3个水平和因子B的4个水平都对合金强度之间有显著差异，即因子A、B都是显著的。
二、参数估计 我们讨论固定效应模型(4.3)的参数估计问题。按求正规方程组的三条规则，得到可待估参数所满足的正规方程组如下：
在约束条件 下，得到唯一解如下：
三、有交互作用模型的统计分析 (一)、方差分析 1、提出假设 H01： H02： H03：
2、 构造统计量
在H01成立的条件下， 。 在H02成立的条件下， 。 在H03成立的条件下， 。
3、求临界值 4、求观察值。 根据给定的试验数据求统计量FA、FB、FAB的观察值。
5、作出判断。 拒绝H01意味着因子A的诸水平之间有显著差异。 拒绝H02意味着因子B的诸水平之间有显著差异。 拒绝H03意味着因子A、B之间的交互效应显著。
为了考察某种电池的最大输出电压受极板材料与使用电池的环境温度的影响，材料类型（因子A）取3个水平（即取3种不同的材料），温度也取3个水平，每个水平组合下重复4次试验，数据如下：为了考察某种电池的最大输出电压受极板材料与使用电池的环境温度的影响，材料类型（因子A）取3个水平（即取3种不同的材料），温度也取3个水平，每个水平组合下重复4次试验，数据如下： 例2
解： 方差分析的结果可由如下方差分析表所示 由于F0.05(2,27)=3.35，F0.05(4,27)=2.73，因此，当显著性水平α=0.05时，因子A、B以及交互效应AB都是显著的。
（二）、参数估计 下面讨论模型(4.3)的参数估计。 按求正规方程组的规则，得到各待估参数所满足的正规方程组如下：
在约束条件 下，得到唯一解如下：
4.3 随机效应模型的统计分析 在双因子试验问题中，两个因子往往有无限多个水平，或很多个水平可供选择，但在事先又不可能确定选择哪些水平做试验，而只能在试验过程中随机地选择其中某些水平完成整个试验。由于试验中使用的诸水平是随机选定的，因此所作的统计推断是针对因子的全部水平的。 这种试验问题的线性统计模型是
H01： H02： H03： 1、提出假设
2、 构造统计量
在H01成立的条件下， 。 在H02成立的条件下， 。 在H03成立的条件下， 。
3、求临界值 4、求观察值。 根据给定的试验数据求统计量FA、FB、FAB的观察值。
5、作出判断。 拒绝H01意味着因子A的诸水平之间有显著差异。 拒绝H02意味着因子B的诸水平之间有显著差异。 拒绝H03意味着因子A、B之间的交互效应显著。
如果例2中3种材料是从很多材料中随机选定，3个温度也是从很多不同温度中随机选定。原模型转化为随机效应模型，由于诸偏差平方和的计算公式不变，方差分析中只有F值不同而已。方差分析的结果如下表所示：如果例2中3种材料是从很多材料中随机选定，3个温度也是从很多不同温度中随机选定。原模型转化为随机效应模型，由于诸偏差平方和的计算公式不变，方差分析中只有F值不同而已。方差分析的结果如下表所示： 例3
