Mõõtmine põhikooli matemaatikas

1. Mõõtmine põhikooli matemaatikas Meeli Haljand, Tiiu Kaljas Tallinna Ülikool

2. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Mõõtmine on oma olemuselt protsess, mille kaudu on määratletud konkreetne arvuline väärtus, mis omistatakse objektile või sündmusele. • Koolimatemaatika programmid näevad ette näiteks järgmiste mõõtmisega seotud mõistete käsitlemist: pikkus, pindala, mass, ruumala, nurk, aeg, temperatuur.

3. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Need mõõdetavate objektide või nähtuste omadused on oma olemuselt erinevad, kuid nende mõistetega tutvumine eeldab teatavate etappide läbimist, mis aitavad õpilastel aru saada mõõdetavast suurusest ja õpetavad mõõtma objektide omadusi või ka vastavaid sündmusi.

4. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Neid etappe saab kirjeldada järgmiselt: • 1) võrreldakse objekte, tuginedes tajule; • 2) valitakse võrdlemise ühik, mis võib olla kas juhuslik või standartne; • 3) võrreldakse objekti mõõtühikuga; • 4) loendatakse ühikute arv, selleks kasutatakse ka mõõtevahendeid, vastavaid valemeid.

5. Pikkus • Intuitiivne arusaamine, kui esmalt hinnatakse objektide pikkusi silma järgi. • konkreetse objekti pikkuse leidmine, kasutades enda valitud „ühikut“, näiteks pliiatsit. • Erinevate lõikude pikkuste võrdlemine, kus ühikuks üks lõikudest. • Mõõtühikute kümnendsüsteem, pikkuste konkreetne mõõtmine. Õpilased peavad saama ise palju konkreetseid esemeid mõõta.

6. Pikkus • Pikkuste ligikaudne hindamine ei võimalda ainult „arvata ja kontrollida“, vaid ta annab ka põhjuse mõõtmiseks. Erinevate tegevuste kaudu tuleks arendada laste arusaamist pikkusest kui omadusest, mis ei iseloomusta ainult pikki ja peenikesi objekte. Näiteks on võimalik mõõta ka inimese puusaümbermõõtu, silindriliste kujundite ümbermõõtu jms.

7. Pindala • Intuitiivne arusaamine: • -et pindala on tasapinnaliste kujundite teatav arvuliselt kirjeldatav omadus, mida saab ka silma järgi hinnata, • -kui vastavate objektide erinevused kirjeldatava omaduse suhtes on piisavalt suured ja • -kui objektid ise on piisavalt sarnased, näiteks raamatu kaane pind, tahvli pind jne. • Sarnaseid kujundeid oleks lihtsam võrrelda, kui neid oleks võimalik välja lõigata ja teineteise peale asetada. Juhul kui see pole võimalik, tuleks otsida kolmas kujund, millega saaks teostada kaudset võrdlust.

8. Pindala • Järgmise sammuna tuleks ühikuna kasutada konkreetse küljepikkusega ruudukest ning loendada, mitu ruutu või ühikruutu vaadeldavale pinnale mahub. • Viimasena tuleks pindala leidmiseks tutvustada pindala arvutamise valemit. • Pindala arvutamise valemite mehhaanilisele kasutamisele peab eelnema praktiline tegevus. • Kujundi katmist suvalise ühikuga või ühikruuduga peaks õpilane iseseisvalt läbi viima või õpetaja visuaalselt demonstreerima erinevaid töövahendeid kasutades.

9. Ruumala • Mõiste selgitamist alustada otsesest võrdlusest. Soovitatakse kallata vett või liiva ühest anumast teise ja seejärel teha vastavad järeldused. • Pärast eksperimenteerimist saab teha juba ka tajule toetuvaid järeldusi. • Kolmanda sammuna võiks täpseks mõõtmiseks kasutada vastava märgistusega anumat. • Ruumala ühikutest soovitatakse kõigepealt tutvustada liitri mõistet ja alles seejärel teisi ruumalaühikuid. • Kindlasti soovitatakse ruumala mõiste kujundamisel ja ruumala valemi tuletamisel rakendada neid praktilisi tegevusi, mida kasutatakse pindala mõiste kujundamisel.

10. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Arvutades on oluline teada: • millises arvusüsteemis me arvutusi teeme, • millist ühikut kasutame mõõtmisel? • Viimane sõltub mõõdetavast suurusest ja mõõtmisobjektist.

11. Mõõtmisprotsess • Mõõtmisprotsess eeldab alati ühiku olemasolu; • kaht mõõtmistulemust on lihtne võrrelda, kui kasutada võrdseid ühikuid; • mõni ühik võib mõõtmisel olla sobivam kui teine; • ühik, mida mõõtmisel kasutatakse, sõltub mõõdetavast objektist või nähtusest ja soovitavast tulemuse täpsusest; • ühikute arvu ja ühikute suuruse vahel kehtib teatud pöördsuhe – kui objekti mõõta kolme erineva ühiku abil, siis mida suurem on ühik, seda väiksem on vastav mõõtühikute arv; • standardühikud on vajalikud mõõtmistulemustest üheselt arusaamiseks; • väiksem ühik annab täpsema mõõtmistulemuse; • kõik mõõtmistulemused on ligikaudsed.

12. Geomeetria Mõõtmine Aritmeetika Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Mõõtmise teema tähtsus koolimatemaatikas - otseselt seotud reaalse elu probleemide lahendamisega. • Mõõtmise teema on ühendavaks lüliks aritmeetika ja geomeetria vahel.

13. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Mõõtmise teemaga seonduv valmistab õpilastele suuri raskusi • Tasemetööde tulemused 2011. aastal - 6. klass • Väga keeruliseks osutus sentimeetrite ja meetrite teisendamine kilomeetriteks • Mõisted kolmnurga pindala ja kolmnurgaümbermõõt ära vahetatud; pindalaks aluse ja haara korrutis. • Kes pagan mõõdabvahemaad väravani sentimeetrites? Ja ärge tulge rääkima elulisusest!

14. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Pooled õpilastest pole osanud teisendada pindala ja ruumala ühikuid. • Levinud veana leitakse kolmnurga pindala asemel ümbermõõt. • Sarnaselt on pindala ja ümbermõõdu valemeid segamini aetud ka ristküliku pindala arvutamisel • Üheks probleemiks võib olla ümbermõõdu tähistamine tähega P. • Pindala mõiste ja pindala arvutamine on õpilaste jaoks pigem formaalne kui sisuline tegevus. • H. Jukk (2004)

15. Õpetajate küsitlus 2013. aasta kevad • Õpilased ei tunneta pikkusühikuid; nad ajavad sageli segamini mõisted „ümbermõõt“ ja „pindala“; • õpilased ei saa aru mõistetest „pikkus“ ja „laius“; • õpilastel on raskusi ruumala mõiste omandamisega, ruumala mõiste aetakse segamini pindala ja massi mõistega; • suuri raskusi valmistab pea igas tasemetöös oleva mahuühiku „liiter“ olemus, kuigi seda ühikut kasutatakse sageli igapäevaelus; • õpilased ei taju massi ühikuid, massi mõiste aetakse segamini ruumala mõistega; • on õpilasi, kes ei oska lugeda nn seieritega kella; ei teata, et ajaühikud kuuluvad kuuekümnendsüsteemi.

16. Õppekava - I kooliaste • Kasutab mõõtes sobivaid mõõtühikuid, kirjeldab mõõtühikute suurust temale tuttavate suuruste kaudu; • hindab looduses kaugusi ning lahendab liiklusohutuse ülesandeid; • teisendab pikkus-, massi- ja ajaühikuid (valdavalt ainult naaberühikuid; • mõõdab õpitud geomeetriliste kujundite küljed ning arvutab ümbermõõdu; • kasutab mõõtes sobivaid mõõtühikuid, kirjeldab mõõtühikute suurust temale tuttavatesuuruste kaudu.

17. Õppekava - II kooliaste • teab ning teisendab pikkus-, pindala-, ruumala- ja ajaühikuid • Arusaada objektide mõõtmise vajadusest, mõõtühikute süsteemist ja mõõtmise protsessist.

18. PISA ülesanne • Millisel kujundil on suurim pindala? Selgita, kuidas leidsid. • Kirjelda mingit meetodit kujundi C pindala ja ümbermõõdu leidmiseks.

19. PISA ülesanne • Hinda Antarktika pindala, kasutades juuresolevat mõõtkavaga kaarti. Kirjelda oma tööd ja selgita, kuidas leidsid pindala, võid joonistada ka kaardile (6. tase).

20. Õpetajate küsitlus 2013. aasta kevad • Õpetaja D selgitab, et pindala mõiste juurde minnes alustab ta ülesannetest, kus tuleb esialgu pindala hinnata silma järgi. Enne vastava valemi juurde jõudmist lahendatakse ka ülesandeid, kus tuleb kokku lugeda, mitu ruutu ristküliku sisse mahub.

21. Õpetajate küsitlus 2013. aasta kevad • Õpetaja A mõõdab õpilastega koos oma sõrme, peopesa ja iseenda pikkuse. Tema arvates peaks õpilastele meelde jääma, et õpetaja on pikem kui 1 m ja lühem kui 2 m. Sama õpetaja mõõdab ära ka klassi pikkuse ja laiuse, et õpilastel oleks ligikaudugi teada, millised klassi mõõtmed on. Õpetaja arvates on oluline ka see, et õpilased valiksid õige ühiku pikkuse mõõtmisel: lühemaid esemeid mõõdetakse sentimeetrites, pikemaid meetrites ning väga suuri kilomeetrites. Viimane paneb aluse ka pikkusühikute vahelistele seostele.

22. Õpetajate küsitlus 2013. aasta kevad • Õpetaja G seostab ruumala mõiste klassiruumiga ja selgitab, mida tähendab ruumi täitmine kuupmeetritega, kuidas me ruumi kuupe paigutame ja kuidas siis vastavat ruumala mõõta. Ruumala valemite tuletamisel küsib õpetaja alati, millise ühikuga on lõppvastus, et luua seos vastava valemi ja mõõtühiku vahel.

23. Õpetajate küsitlus 2013. aasta kevad • Õpetaja I toob klassi meepurgi ja krõpsupaki ning selgitab nende abil massi mõistet. Kumb on raskem? Millest see sõltub? Kas ruumalast või millestki muust?

24. Järeldused küsitlusest • Kui võrrelda õpetajate vastuseid eespool loetletud seisukohtadega, siis näeme, et õpetajad on neist küllaltki paljusid mainitud. • Mõõtühikutevaheliste seoste tuletamisel lähtuvad õpetajad sageli seaduspärasustest ja loogikast. • Mõõtmisprotsessi käigus ei mõõdeta objektide omadusi mittestandardsete ühikutega ja liialt pööratakse tähelepanu vastavate valemite rakendusoskuse omandamisele, mitte sisulisele omandamisele. • Viimane on kindlasti seotud põhikooli riiklikus õppekavas olevaga. Õppekava järgi tuleb mõõtmise olemusest aru saada väga varakult ja lühikese ajaperioodi jooksul.

25. Järeldused küsitlusest • Pikkuse mõiste kujundamine toimub kolmandas klassis, pindala 4. klassis ja ruumala 5. klassis. • Paljudele meist on teada tõsiasi, et sageli on 4. klassi õpilaste jaoks probleemne ruudu ümbermõõdu ja pindala valemite rakendamine. • Tasemetööde analüüsides on selgelt välja toodud, et 5. klassis õpilased valdavalt ei omanda ruumala mõistet. On selge, et nende mõistete sisulise poolega tuleb tegeleda kogu põhikooli jooksul, mitte drillida ainult valemeid nende sisust aru saamata. • Valemite ületähtsustamine on tõenäoliselt viinud selleni, et erinevat tähelist sümboolikat kasutades ei suuda õpilased vastavaid valemeid rakendada.

26. Järeldused küsitlusest • Õpetajate küsitlusest selgus ka, et mõõtühikute teisendamise oskus on otseselt seotud arvutamisoskusega. Kui õpilane ei oska nt korrutada arvu järguühikuga, siis ta ei oska ka mõõtühikuid teisendada. Kinnitust sai ka väide, et mõõtmise teema omandatus sõltub sellest, kui hästi tuntakse geomeetrilisi kujundeid.

27. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Mõõtmise temaatika õpetamine loob head eeldused probleemõppe läbiviimiseks. Näiteks Vormsi saare pindala leidmiseks võivad õpilased toimida järgmiselt: • kata sobiva suurusega ehk mõõtmetega Vormsi kaart läbipaistva ruudulise kilega, kus ruudu serva pikkus on 1 cm • kata kaart kilega, mille peal on võrdse kaugusega paralleelsed sirged (kaugus olgu näiteks 1 cm • kasuta ruudulise kile asemel täpilist kilet; • kasuta pindala leidmisel kaalumist; • puista pinnatükile riisiteri.

28. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Tarkvaraprogramm GeoGebra võimalda mõõtmist veelgi lihtsamalt läbi viia. Näiteks joonisel oleva kujundi ligikaudne pindala ühikruutudes on välimise ja sisemise hulknurga pindalade aritmeetiline keskmine. Seega 43 ühikruutu.

29. Üheks heaks abimeheks on ka geolaud- kummidega koosteraamid

31. Mõõtmine põhikooli matemaatikas • Tänan tähelepanu eest.