1 / 37

DIFERENTSIAALVÕRRANDID

DIFERENTSIAALVÕRRANDID. Diferentsiaalvõrrandiks ( DV ) nimetatakse võrrandit , mis seob sõltumatut muutujat x , otsitavat funktsiooni y = f ( x ) ja selle tuletisi y´, y´´, ...y ( n ). Sümbolites võib võib diferentsiaalvõrrandit esitada kujul. või. Näided :.

jayden
Download Presentation

DIFERENTSIAALVÕRRANDID

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DIFERENTSIAALVÕRRANDID

  2. Diferentsiaalvõrrandiks (DV) nimetatakse võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x,otsitavat funktsiooni y = f(x) ja selle tuletisi y´, y´´, ...y(n). Sümbolites võib võib diferentsiaalvõrrandit esitada kujul või

  3. Näided: • Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate tuletiste kõrgemat järku. I III II I I

  4. Diferentsiaalvõrrandi lahendiks ehk integraaliks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse.

  5. Näide 1.Olgu antud võrrand Näitame, et funktsioonon diferentsiaalvõrrandi lahendiks

  6. Lahendus: Funktsioonid kujulon antud võrrandi lahenditeks konstantideС1jaС2 mistahes väärtuste korral: Asetame:

  7. Esimest järku diferentsiaalvõrrand

  8. Esimest järku diferentsiaalvõrrandil on kuju Kui seda võrrandit saab lahendada y´ suhtes, siis võib teda esitada kujul • Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse funktsiooni mis sõltubühest suvalisest konstandist С. või (ilmutamata kujul) või

  9. Erilahendiks nimetatakse mistahes funktsiooni mis saadakse üldlahendist kui selles suvalisele konstandile C anda konkreetne väärtus С=С0. • Seost nimetatakse sel juhul võrrandi eriintegraaliks

  10. Näide 2.On antud DV: - üldlahend erilahendid

  11. Geomeetriline tõlgendus: • DV-i üldlahendikson koordinaattasandil asetsev joonteparv, mis sõltub ühest suvalisest konstandist C. • DV-i erilahendile vastab selle parve üks joon, mis läbib tasandi antud punkti у — üldlahend х (х0, у0) — erilahend

  12. Tingimust, et funktsiooni y väärtus peab võrdumaantud arvuga у0, kui х=х0nimetatakse algtingimuseks. • Ülesannet, milles otsitakse DV-i erilahendit y=y(x), mis rahuldab algtingimusiy(x0)=y0, nimetatakse Cauchy ülesandeks (ka algtingimustega ülesandeks). või

  13. Näide3.Lahendada Cauchy ülesanne: Lahendus: on üldlahend Asetame algtingimused: у х on erilahend

  14. Diferentsiaalvõrrandi lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem • Kui võrrandis esinev funktsioonf(x,y)ja tema osatuletison muutuja y suhtes pidevad xy-tasandi mingis piirkonnasD, mis sisaldab punkti (х0;у0), siis on sellel võrrandil ainult üks lahend mis rahuldab tingimust

  15. 1. Esimest järku eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandid • Diferentsiaalvõrrandit kujul nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks. Selle võrrandi üldintegraal on

  16. Näide 4.Lahendada DV: Lahendus: üldlahend: või у С 0 х Geomeetriliselt: see on kontsentriliste ringjoonte parve võrrand, kus iga ringjoone keskpunktiks on koordinaatide alguspunkt ja raadiuseks on С. С

  17. Näide 5.Lahendada DV: Lahendus: у С=3 С=1 0 х С=-2 С=-2 С=3 С=1 üldlahend: С või

  18. 2. Esimest järku eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid • Võrrandit, millel on kuju nimetatakse eralduvate muutujatega võrrandiks, kus on mingid funktsioonid.

  19. Integreerides saame:

  20. Märkus: • Jagades võrrandi mõlemad pooled avaldisega mingid lahendid võivad olla kaotatud. Seetõttu tuleb lahendada võrrandit ja leida neid DV-i lahendeid, mida ei ole võimalik saada üldlahendist nn iseärased ehk singulaarsed lahendid.

  21. Näide 6.Leidada DV-i üld- ja erilahendid. Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlahend: ⇒

  22. DV-i üldlahend on 2) Leiame DV-i erilahend, kui Asendades seda võrrandisse, leiame С: - DV-i erilahend. ⇒ Vastus:üldlahend on ja erilahend on

  23. Geomeetriliselt: у = 2х у (5;10) х Üldlahend on Erilahend on

  24. Näide 7.Leida DV-i üldlahend: Lahendus:

  25. ⇒ või Vastus.Üldlahend on

  26. Iseärase lahendi leidmine. Võrrandikuju on ху=0. Selle lahendidх=0, у=0 on antud võrrandi lahenditeks, kuid ei ole võimalik saada üldlahendist mitte ühegi konstandi C väärtuse korral. Seega on х=0, у=0 võrrandi singulaarsed lahendid.

  27. Näide 8.Leiame antud võrrandi üldlahend : Lahendus:

  28. ⇒ või

  29. Geomeetriliselt: у С=3 С=5 С=1 х С=-5 С=-2 Üldlahend:

  30. Näide 9. Lahendada Cauchy ülesanne : Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlalahend:

  31. või С DV-i üldlahend on

  32. 2) Leiame DV-i erilahend, kui Asetame algtingimused üldlahendisse ja leiame С: või DV-i erilahend:

  33. у Geomeetriliselt: С=5 С=-3 С=0 (0;1) х С=-6 Üldlahend on Erilahend on

  34. Näide 10.Lahendada Cauchy ülesanne : Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlahend:

  35. ⇒ DV-i üldlahend:

  36. 2) Leiame DV-i erilahend, kui Asendame seda üldlahendisse ja leiame С: Siis DV-i erilahend on

  37. Geomeetriliselt: у С=9 С=1 (0;4) С=-5 х С=-1 Üldlahend on Erilahend on

More Related