390 likes | 861 Views
DIFERENTSIAALVÕRRANDID. Diferentsiaalvõrrandiks ( DV ) nimetatakse võrrandit , mis seob sõltumatut muutujat x , otsitavat funktsiooni y = f ( x ) ja selle tuletisi y´, y´´, ...y ( n ). Sümbolites võib võib diferentsiaalvõrrandit esitada kujul. või. Näided :.
E N D
Diferentsiaalvõrrandiks (DV) nimetatakse võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x,otsitavat funktsiooni y = f(x) ja selle tuletisi y´, y´´, ...y(n). Sümbolites võib võib diferentsiaalvõrrandit esitada kujul või
Näided: • Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate tuletiste kõrgemat järku. I III II I I
Diferentsiaalvõrrandi lahendiks ehk integraaliks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse.
Näide 1.Olgu antud võrrand Näitame, et funktsioonon diferentsiaalvõrrandi lahendiks
Lahendus: Funktsioonid kujulon antud võrrandi lahenditeks konstantideС1jaС2 mistahes väärtuste korral: Asetame:
Esimest järku diferentsiaalvõrrandil on kuju Kui seda võrrandit saab lahendada y´ suhtes, siis võib teda esitada kujul • Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse funktsiooni mis sõltubühest suvalisest konstandist С. või (ilmutamata kujul) või
Erilahendiks nimetatakse mistahes funktsiooni mis saadakse üldlahendist kui selles suvalisele konstandile C anda konkreetne väärtus С=С0. • Seost nimetatakse sel juhul võrrandi eriintegraaliks
Näide 2.On antud DV: - üldlahend erilahendid
Geomeetriline tõlgendus: • DV-i üldlahendikson koordinaattasandil asetsev joonteparv, mis sõltub ühest suvalisest konstandist C. • DV-i erilahendile vastab selle parve üks joon, mis läbib tasandi antud punkti у — üldlahend х (х0, у0) — erilahend
Tingimust, et funktsiooni y väärtus peab võrdumaantud arvuga у0, kui х=х0nimetatakse algtingimuseks. • Ülesannet, milles otsitakse DV-i erilahendit y=y(x), mis rahuldab algtingimusiy(x0)=y0, nimetatakse Cauchy ülesandeks (ka algtingimustega ülesandeks). või
Näide3.Lahendada Cauchy ülesanne: Lahendus: on üldlahend Asetame algtingimused: у х on erilahend
Diferentsiaalvõrrandi lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem • Kui võrrandis esinev funktsioonf(x,y)ja tema osatuletison muutuja y suhtes pidevad xy-tasandi mingis piirkonnasD, mis sisaldab punkti (х0;у0), siis on sellel võrrandil ainult üks lahend mis rahuldab tingimust
1. Esimest järku eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandid • Diferentsiaalvõrrandit kujul nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks. Selle võrrandi üldintegraal on
Näide 4.Lahendada DV: Lahendus: üldlahend: või у С 0 х Geomeetriliselt: see on kontsentriliste ringjoonte parve võrrand, kus iga ringjoone keskpunktiks on koordinaatide alguspunkt ja raadiuseks on С. С
Näide 5.Lahendada DV: Lahendus: у С=3 С=1 0 х С=-2 С=-2 С=3 С=1 üldlahend: С või
2. Esimest järku eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid • Võrrandit, millel on kuju nimetatakse eralduvate muutujatega võrrandiks, kus on mingid funktsioonid.
Märkus: • Jagades võrrandi mõlemad pooled avaldisega mingid lahendid võivad olla kaotatud. Seetõttu tuleb lahendada võrrandit ja leida neid DV-i lahendeid, mida ei ole võimalik saada üldlahendist nn iseärased ehk singulaarsed lahendid.
Näide 6.Leidada DV-i üld- ja erilahendid. Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlahend: ⇒
DV-i üldlahend on 2) Leiame DV-i erilahend, kui Asendades seda võrrandisse, leiame С: - DV-i erilahend. ⇒ Vastus:üldlahend on ja erilahend on
Geomeetriliselt: у = 2х у (5;10) х Üldlahend on Erilahend on
Näide 7.Leida DV-i üldlahend: Lahendus:
⇒ või Vastus.Üldlahend on
Iseärase lahendi leidmine. Võrrandikuju on ху=0. Selle lahendidх=0, у=0 on antud võrrandi lahenditeks, kuid ei ole võimalik saada üldlahendist mitte ühegi konstandi C väärtuse korral. Seega on х=0, у=0 võrrandi singulaarsed lahendid.
⇒ või
Geomeetriliselt: у С=3 С=5 С=1 х С=-5 С=-2 Üldlahend:
Näide 9. Lahendada Cauchy ülesanne : Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlalahend:
või С DV-i üldlahend on
2) Leiame DV-i erilahend, kui Asetame algtingimused üldlahendisse ja leiame С: või DV-i erilahend:
у Geomeetriliselt: С=5 С=-3 С=0 (0;1) х С=-6 Üldlahend on Erilahend on
Näide 10.Lahendada Cauchy ülesanne : Lahendus: 1) Leiame DV-i üldlahend:
⇒ DV-i üldlahend:
2) Leiame DV-i erilahend, kui Asendame seda üldlahendisse ja leiame С: Siis DV-i erilahend on
Geomeetriliselt: у С=9 С=1 (0;4) С=-5 х С=-1 Üldlahend on Erilahend on