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1. 餘弦的差角公式：

一、差角與和角公式. 1. 餘弦的差角公式：. 證明：. (1) A 、 B 、 O 三點不共線 ：. y. B. . . x. 1. O. A. 又由餘弦定理知：. To be continued  (2) A 、 B 兩點重合 & (3) A 、 B 、 O 三點共線. 餘弦的差角公式：. (2) A 、 B 兩點重合 ：此時  =  。. = 1 。. = 1 。. To be continued  (3) A 、 B 、 O 三點共線. 餘弦的差角公式：.

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1. 餘弦的差角公式：

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Presentation Transcript

  1. 一、差角與和角公式 1. 餘弦的差角公式： 證明： (1) A、B、O 三點不共線： y B   x 1 O A 又由餘弦定理知： To be continued  (2) A、B 兩點重合 & (3) A、B、O 三點共線

  2. 餘弦的差角公式： (2) A、B 兩點重合：此時 = 。 = 1。 = 1。 To be continued  (3) A、B、O 三點共線

  3. 餘弦的差角公式： (3) A、B、O三點共線：此時 = 180 (或 = 180)。 = 1。 = 1。 本段結束

  4. 2. 餘弦的和角公式： 證明： 本段結束

  5. 3. 正弦的和角與差角： 證明： To be continued  (2) sin (    )

  6. (2) 正弦的差角公式： 證明： 本段結束

  7. 4. 範例： y 解： 3 5  x O 4 y 5 13  x 12 O Let’s do an exercise !

  8. 馬上練習. y 解：  3 x O 5 y 4  7 O x 25 24 ＃

  9. 5. 範例：如右圖，兩直角三角形有一 D 解： 1 C 1   B A 1 E Let’s do an exercise !

  10. 馬上練習. 如右圖，ABCD 為圓內接四邊形， C 解： D 15 20 7  24  A B 25 = 225 ＃

  11. 6. 範例： 求其外接圓半徑。 解： A 6 C B ＃

  12. 7. 正切的和角與差角公式： (1) 正切的和角公式： 證明： 同除 cossin  To be continued  (2) tan (   )

  13. (1) 正切的和角公式： (2) 正切的差角公式： 證明： 本段結束

  14. 8 範例：如右圖，由 3 個一樣大小的正方形組成四邊形， 設 FBE = ，FCE = ，FDE = ， 求：(1) tan(+)之值。 (2)  +  + 的度數。 A H G F 解：    E B C D = 1。 = 90。 Let’s do an exercise !

  15. 馬上練習. 如圖，ABC 與 ECD 均為直角三角形， E 求： (1) tanACE 之值。 (2) ACE 的面積。 4 5 解： A  1   D B 3 3 C y 3 = 3。 =  3。  x O 1 ＃

  16. 9 範例：如右圖，由 6 個一樣大小的正方形組成多邊形， 求 tanPBQ 之值。 A 解：設 ABP = ，CBQ = ， P Q     C B 5 + 3 ＃

  17. 二、二倍角公式 1. 正弦二倍角公式： 證明： 注意： 本段結束

  18. 2. 範例：右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形， 已知最上方的直角三角形斜邊長為 8， 解： D 8 C B 30 15 15 A O Let’s do an exercise !

  19. 馬上練習. 坐標平面上，以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1, 0)，B，C， 已知銳角三角形 OAB 的 求 △OAC 的面積。 解： y (cos2, sin2) C (cos, sin) B   x O A(1,0) ＃

  20. 3. 餘弦二倍角公式： 證明： 注意：cos 2 有三種型式： 本段結束

  21. 4. 範例：如右圖，直角三角形 ABD 中，A 為直角， D ABD  2ABC， 解： x C 6   B A 5 Let’s do an exercise !

  22. 馬上練習. y 解： x  O 3 2 ＃

  23. 5. 正切二倍角公式： 證明： Let’s do an exercise !

  24. 6. 範例：設 為銳角， 求 tan之值。 解： Let’s do an exercise !

  25. 馬上練習. 設 tan 與 tan 為方程式 7x2  8x + 1 = 0 的兩根， 解： ＃

  26. 7. 範例： 解： ＃

  27. 三. 三倍角公式 1. 三倍角公式： 餘弦三倍角：cos3 = 4cos3  3cos (台語口訣：元 3 = 4元3  3元) 證明：cos3 = cos(2 + ) =cos2cos sin2sin = (2cos21)cos(2sincos)sin = 2cos3  cos  2(1cos2)cos = 4cos3  3cos。 正弦三倍角：sin3 = 3sin  4sin3 (即與 cos3 前後對調) 證明：sin3 = sin(2 + ) =sin2cos + cos2sin = (2sincos)cos + (12sin2 )sin 本段結束 = 3sin 4sin3。 = 2sin(1sin2) + sin  2sin3

  28. 2. 範例： 求 sin3+ cos3的值。 解： ＃

  29. 3. 範例：求 sin18的值。 解：令  = 18 5 = 90 2= 90 3 sin2 = sin(903) = cos3 2sincos = 4cos3 3cos 同除 cos得 2sin = 4cos2 3 2sin = 4(1sin2)  3 整理得 4sin2 + 2sin1 = 0 ＃

  30. 4. 範例：設 f(x) = 8x3 6x + 1， 解：由餘式定理：f(x)除以 (ax  b)的餘式為 ＃

  31. 5. 範例：已知 △ ABC 中， 且 A 2C， < 99學測 > A 解： 2 x 2 由正弦定理得  B C 3 ＃

  32. 四. 半角公式： 1. 正弦半角公式： 證明： 馬上練習： 本段結束

  33. 2. 餘弦半角公式： 證明： 馬上練習： To be continued  注意

  34. 注意： 本段結束

  35. 3. 範例： 解： Let’s do an exercise !

  36. 馬上練習. 解： 第二象限角 = 2。 ＃

  37. 4. 範例：如右圖，A，B，P 是圓心為原點 O 的單位圓上三點， 求 P 點坐標。 y 解： P x O A(1,0) ＃

  38. 5. 半角平方表示法： 說明： To be continued  範 例

  39. 範例： 解： ＃

  40. 6. 正切半角公式： 證明： 馬上練習： 注意：半角平方表示法： 本段結束

  41. 7. 範例： 解： ＃

  42. 8. 範例： 的最大值與最小值。 解： = 0。 =  6。 本 節 結 束

  43. 1. 餘弦的和角公式： (2) A、B兩點重合：此時 = 。 (3) A、B、O三點共線：此時 = 180 (或 = 180)。 本段結束

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