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7 積分的應用

7 積分的應用. Applications of Integration. 7.1 兩曲線之間區域的面積 7.2 體積：圓盤法 7.3 體積：圓柱殼法 7.4 弧長和旋轉面 7.5 功 7.6 質矩，質心和形心. P.343. Ch7 積分的應用. 7.5 功. 固定的力所作的功 如果一物沿一固定的力 F 施力的方向移動了一段距離 D ，則此力對此物的作功（ work ） W ，就定義為 WFD 。 力有許多形式向心力，電力，重力等等，力（ force ） 可以想成是一個推或拉的效果，力會改變一個物體運動

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7 積分的應用

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  1. 7 積分的應用 Applications of Integration

  2. 7.1 兩曲線之間區域的面積 7.2 體積：圓盤法 7.3 體積：圓柱殼法 7.4 弧長和旋轉面 7.5 功 7.6 質矩，質心和形心

  3. P.343 Ch7 積分的應用 7.5 功 固定的力所作的功 如果一物沿一固定的力 F 施力的方向移動了一段距離 D，則此力對此物的作功（work） W，就定義為WFD。 • 力有許多形式向心力，電力，重力等等，力（force） 可以想成是一個推或拉的效果，力會改變一個物體運動 的狀態，在地表上，通常以物體的重量代表此物所受到 的重力。

  4. P.343 Ch7 積分的應用 例 1抬高物體 求將一 50 磅的物體抬高 4 呎所需的功。 解　作用力 F 就是該物的重量，如圖7.48 所示。所以 抬高 4 呎所需的功是 W = FD = 50(4) = 200 呎–磅 • 在美國的度量衡標準，功的單位是呎－磅，吋－磅或呎－噸，而在公制（C-G-S）力的基本單位是達因（dyne）──使 1 克的物體產生每秒每秒 1 公分的加速度所需的力。在公制中，功的單位是達因－公分（爾格）或牛頓－公尺（焦耳），其中 1 焦耳107 爾格。

  5. P.343 Ch7 積分的應用 圖7.48將一50 磅的物體抬高4 呎需要作功200 呎-磅。

  6. 如果一連續變化的力 F(x) 施於一直線運動的物體，則 當該物自 x = a 移至 x = b 時，此力所作的功是 P.344 Ch7 積分的應用 定義變動的力所作的功

  7. P.344 Ch7 積分的應用 圖7.49當物體的位置改變了（Δx）時，施力也有變化。

  8. 1. 虎克定律（Hooke's Law）：在彈性極限內壓縮或拉 長一根彈簧所需的力 F 與此彈簧（從平衡點算起）縮 短或伸長的長度成正比，亦即 式中的比例常數 k（彈簧係數）因彈簧的彈性而異。 2. 牛頓萬有引力定律（Newton's Law of Universal Gravitation）：質量分別為 m1和 m2的兩質點之間的引 力與 m1, m2的乘積成正比，與其間距離的平方成反比 ，亦即 P.344 Ch7 積分的應用 物理定律

  9. P.345 Ch7 積分的應用 物理定律 式中 m1和 m2的單位是公克，d 的單位是公分，F 的單 位是達因，而 k = 6.670×10–8，單位是立方公分∕克-秒 平方。 3.庫倫定律（Coulomb's Law）：真空中電量分別為 q1 和 q2的兩電荷之間的引力或斥力與 q1，q2的乘積成正 比，與其間距離的平方成反比，亦即 如果 q1, q2採用靜電單位，d 的單位用公分，F 的單位 就是達因，並且 k = 1。

  10. P.345 Ch7 積分的應用 例 2壓縮彈簧 將一自然長度 15 吋的彈簧壓縮 3 吋需要 750 磅的力， 求再連續壓縮 3 吋所需作的功。 解　由虎克定律，將彈簧壓縮 x 單位所需的力 F(x)，滿 足 F(x) = kx。由題意可知 F(3) = 750 = (k)(3)。所以 k = 250 ，因而 F(x) = 250x，如圖7.50 ，假設壓縮一小段Δx 時，力量接近常數，此時所需作的功為 ΔW = (250x) Δx 因為要將彈簧從 x = 3 壓縮到 x = 6，所需的功應從 x = 3 積到 x = 6 。

  11. P.345 Ch7 積分的應用 圖7.50

  12. P.346 Ch7 積分的應用 例 3發射太空艙進入軌道 如圖7.51，有一在地表重 15 公噸的太空艙，需作多少 功才能將此太空艙送到 800 哩的高空？（地球半徑設為 4000 哩，忽略空氣阻力和推進器的重量） 解　太空艙的重量基本上是太空艙受到地心的引力（重 力），此力 f (x) 的大小與到地心距離的平方成反比。 在地表F 等於 15 公噸，而地球半徑接近 4000 哩，因此

  13. P.346 Ch7 積分的應用 例 3（續） 距離增加Δx 時，增加的作功是 ΔW = (力)(增加的距離) = 再者太空艙從 x = 4000 推進到 x = 4800 哩，總作功是 在C-G-S 制，將 1 呎－磅近似轉換成 1.35582 焦耳，所 作功為 W≈ 1.578 × 1011焦耳

  14. P.346 Ch7 積分的應用 圖7.51

  15. P.346 Ch7 積分的應用 例 4自貯油槽抽油所作的功 一半徑 8 呎的球形貯油槽只裝了一半的油，油重是每立 方呎 50 磅，今將油自頂端小孔完全抽出需作功若干？ 解　將油分層，每一層是厚度Δy，半徑 x 的圓盤，如 圖7.52。由於每一層圓盤所受的力是 ΔF = 重量 = (50磅∕立方呎)(體積) = 50(πx2Δy) 磅 圓心在 (0, 8)，半徑為 8 的圓方程式是 x2 + (y – 8)2 = 82 x2 = 16y – y2 所以 ΔF = 50(πx2Δy) = 50π(16y – y2)Δy 在圖7.52 中，注意到距離槽底y 呎的油必須抽高16 –y 呎，所以對此一層的作功是

  16. P.347 Ch7 積分的應用 例 4（續） ΔW = ΔF(16 – y) = 50π(16y – y2)Δy(16 – y) = 50π(256y – 32y2 + y3)Δy 由於只有半槽的油，y 的範圍從 0 到 8，因此總共需要 作的功是

  17. P.346 Ch7 積分的應用 圖7.52

  18. P.347 Ch7 積分的應用 例 5吊高鐵鍊 路面上有一 20 呎長密度 5 磅∕呎的鐵鍊，今將此鍊一 端吊起到 20 呎的高度，使鐵鍊完全拉直需作功若干？ 解　想像此鍊分成若干小節，每一小節長Δy，則每一 小節所受的力為 ΔF = (重力) = (5 磅∕呎)(長度) = 5Δy 由於一小節提高高度為 y，對此小節的作功為 ΔW = (重力)(距離) = (5Δy)y = 5yΔy y 的範圍從 0 到 20，因此總共需要作的功是

  19. P.347 Ch7 積分的應用 圖7.53將鐵鍊一端吊高 20 呎需作功 1000 呎-磅。

  20. P.348 Ch7 積分的應用 圖7.54氣體膨脹所作的功。

  21. P.348 Ch7 積分的應用 例 6氣體膨脹所作的功 一氣體開始時，體積 1 立方呎，壓力 500 磅∕平方呎， 膨脹至體積 2 立方呎。求此氣體的作功（假設壓力與體 積成反比）。 解　由於 p =k/V，p = 500 時 V = 1，所以，以 k = 500 代入 W 的積分公式計算得

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