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アルゴリズムイントロダクション第２章 主にソートに関して

2010 年 CS 勉強会. アルゴリズムイントロダクション第２章 主にソートに関して. tniky1 http://www.tniky1.com. 本章の目的. 「アルゴリズムの設計と解析ってどうやるの？？」って人が大まかな流れ、やり方をつかむ。 簡単なソートでまずはやり方を覚えようってこと. 第２章の内容. 今回は実行時間に違いが現れるこの二つ。. ソートアルゴリズム 挿入ソート マージソート アルゴリズムの正当性 ループ不変式 アルゴリズムの実行時間 Θ 記法. 挿入ソート. （まあ、いまさらだろうけど。。） 左から順に挿入しながらソートしていく.

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アルゴリズムイントロダクション第２章 主にソートに関して

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Presentation Transcript

  1. 2010年CS勉強会 アルゴリズムイントロダクション第２章主にソートに関して tniky1 http://www.tniky1.com

  2. 本章の目的 • 「アルゴリズムの設計と解析ってどうやるの？？」って人が大まかな流れ、やり方をつかむ。 • 簡単なソートでまずはやり方を覚えようってこと Page 2

  3. 第２章の内容 今回は実行時間に違いが現れるこの二つ。 • ソートアルゴリズム • 挿入ソート • マージソート • アルゴリズムの正当性 • ループ不変式 • アルゴリズムの実行時間 • Θ記法 Page 3

  4. 挿入ソート （まあ、いまさらだろうけど。。） 左から順に挿入しながらソートしていく Page 4

  5. 擬似コード j 配列1から 1 2 3 4 5 6 2 5 6 4 1 3 i length[A] procedure Insertion-Sort(A) for j ← 2 to length[A] do key ← A[j] i←j−1 while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] ← A[i] i←i−1 A[i+1] ← key Page 5

  6. アルゴリズム作成後の手順 本当にそのアルゴリズムは正しいの？ そのアルゴリズムは有益なの？ まずはこっちから (1)正当性の検証 (2)実行時間を求める Page 6

  7. 挿入ソートの正当性 • ループ不変式を用いて正当性を示す • ループ不変式 • A[1...j-1]に格納されているカードはソートされている→ループ不変式として定式化 j 2 5 6 4 1 3 A[1...j-1] ループ中常にソートされている Page 7

  8. ループ不変式を用いたアルゴリズム正当性の示し方ループ不変式を用いたアルゴリズム正当性の示し方 • ループ不変式に対して３つの性質を示す • 初期条件 • ループの実行開始直前でループ不変式が真 • ループ内条件 • ループの何回目かの繰り返しの直前でループ不変式が真ならば、次の繰り返しの直前でも真 • 終了条件 • ループが終了した時、アルゴリズムの正当性証明を手助けする有力な情報(今回の場合は配列がソートされていること)が不変式から得られる。 この二つが成り立てば すべてのループの繰り 返しでループ不変式が真 終了時に有力な情報が得られないと意味がない Page 8

  9. ループ不変式でアルゴリズムの正当性を示す j 2 5 6 4 1 3 A[1...j-1] ループ中常にソートされている • 初期条件 • J=2 • つまりA[1]のみ • よってA[1..j-1]はソートされている • ループ内条件 • A[j]の入れるべき所を探し、見つかるまでA[j-1],A[j-2]...をひとつづつ右にずらし、最後にA[j]を挿入。 • 各繰り返しでループ不変式が成立(A[1..j-1]はソートされている) for j ← 2 to length[A] do key ← A[j] i←j−1 while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] ← A[i] i←i−1 A[i+1] ← key Page 9

  10. ループ不変式でアルゴリズムの正当性を示す j=n+1 1 2 4 3 5 6 A[1...j-1]=A[1..n] • 終了条件 • j=n+1 • つまり • A[1..j-1]=A[1..n]はソートされている! • よって配列全体がソートされており、 • アルゴリズムは正当である for j ← 2 to length[A] do key ← A[j] i←j−1 while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] ← A[i] i←i−1 A[i+1] ← key Page 10

  11. アルゴリズム作成後の手順 本当にそのアルゴリズムは正しいの？ そのアルゴリズムは有益なの？ (1)正当性の検証 次はこっち。。 (2)実行時間を求める Page 11

  12. アルゴリズムの実行時間を求める • 実行時間には下記のようなものがある • 最悪時の実行時間 • 最良時の実行時間 • 平均実行時間：(確率論が必要で５章で解説) • 通常最悪の場合を考慮すべし！ • 最悪になる場合が良くあるから(例えば、DB検索のアルゴリズムで検索結果がDBになかったときとか) • 最悪の場合を考えておけば、それ以上悪くなることを懸念しなくてすむ Page 12

  13. アルゴリズムの実行時間を求める j 1 2 3 4 5 6 各行の実行回数とその 各実行時間が出れば、 全体の実行時間は求まる！ 2 5 6 4 1 3 i n個 実行回数 for j ← 2 to length[A] do key ← A[j] i←j−1 while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] ← A[i] i←i−1 A[i+1] ← key n n-1 n-1 n-1 ループ判定は本体より一回多くなる tj というのは挿入する場所を探す回数 (ループ毎 に異なる) Page 13

  14. アルゴリズムの実行時間を求める 実行回数 コスト n n-1 n-1 n-1 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 for j ← 2 to length[A] do key ← A[j] i←j−1 while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] ← A[i] i←i−1 A[i+1] ← key 実行時間T(n) つまり、　　　　　が決まれば求めることができる。　　　　　は Page 14

  15. アルゴリズムの実行時間を求める 実行時間T(n) 　　　　　挿入する場所を探す回数 (ループ毎 に異なる) [最悪の場合] 毎回i=0までソートされる tj=i j 1 2 3 4 5 6 5 6 3 4 2 1 i 最悪の場合逆順で並んでいる 重要なのは実行時間の増加率 上記の式に代入 Page 15

  16. ソートアルゴリズム • 挿入ソート • 逐次添加法 • 部分列を整列した後、一つの要素を新しい場所に挿入することによってソートされた部分列を得る • マージソート • 分割統治法 • 問題をいくつかの部分問題に分割し、部分問題を再帰的に解く • 特徴として再帰的なアルゴリズムとなる Page 16

  17. マージの動作 番兵 Page 17

  18. マージの擬似コード 2 4 7 3 5 1 6 2 A p q r j i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 6 3 ∞ 2 4 7 5 ∞ L R n2 n1 k 1 2 3 3 2 4 6 2 A p q r Page 18

  19. マージの正当性 • ループ不変式 • Aには、L と R の要素中で小さい方から k − p 個がソートされて入っている • L[i] と R[j] は、L と R でまだ A に書き戻さ れていない要素のなかでそれぞれ最小要素である j i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 6 3 ∞ 2 4 7 5 ∞ L R 最小要素 最小要素 k 1 2 3 3 2 4 6 2 A p r ソートされて入っている Page 19

  20. j i マージの正当性 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 6 3 ∞ 2 4 7 5 ∞ L R 最小要素 最小要素 k 1 2 3 3 2 4 6 2 A p r ソートされて入っている • 初期条件 • k=p • つまりA[p..k-1]は空 • i=j=1であるのでL,Rは最小の配列要素。よってループ不変式は真 • ループ内条件 • L[i]<=R[j]と仮定 • L[i]がAに戻されていない要素で最小。 • L[i]をA[k]にコピーした後にもソートは成り立つ。iとkが１づつインクリメントされるのでL[i],R[j]が最小要素になることも成立。逆も同じ Page 20

  21. j i マージの正当性 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 6 3 ∞ 2 4 7 5 ∞ L R 最小要素 最小要素 k 1 2 3 3 2 4 6 2 A p r ソートされて入っている • 終了条件 • k=r+1 • つまりA[p..k-1]=A[p..r]はソートされている! • よって二つの整列した配列からのマージアルゴリズムの正当性は示された • 実行時間 • 「2 つの配列の先頭から小さい方を取る」を n回(n1+n2回)繰り返す: Θ(n) Page 21

  22. マージソート さっきのMERGEを利用してソート ソート列 初期配列 Page 22

  23. マージソートの正当性 配列 A の添字 p から r までをソートする p r A /* (終了条件) */ Page 23

  24. 分割統治アルゴリズムの実行時間 • 問題を a 個の部分問題に分割し、サイズを 1/b にした時 • If n <= c とは問題サイズが十分に小さい時 • D(n): 分割にかかる時間 • C(n): 結合にかかる時間 結合 分割 統治 Page 24

  25. マージソートアルゴリズムの実行時間 結合 分割 統治 • T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n) Merge には Θ(n) 時間かかる 問題を 2 個に分割し、 サイズが 1/2 に なるの で a = b = 2 部分列の中央 を計算する だけなので D(n) = Θ(1) • T(n) = 2T(n/2) + Θ(1) + Θ(n) if n > 1 • =Θ(1) if n = 1 これを一般的に解くのは４章で行う。ここではもっと直感的に解く方法を行う。 Page 25

  26. マージソートアルゴリズムの実行時間 最上位レベルの実行時間はcn(マージにかかる時間) Page 26

  27. マージソートアルゴリズムの実行時間 深さがlog2nとなる！ Page 27

  28. まとめ • アルゴリズムを書いた時に下記ができると思えればOKかな？ • ループ不変式を使用して正当性を示す • 実行時間を求める Page 28

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