1 / 22

13.4 课题学习 最短路径问题

人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）. 第十三章 轴对称. 13.4 课题学习 最短路径问题. 看图思考：. 为什么有的人会经常践踏草地呢？. 禁止践踏. 爱护草坪. 绿地里本没有路，走的人多了 … …. 两点之间，线段最短. 将军饮马问题：. 两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：. 将军每天骑马从城堡 A 出发，到城堡 B ，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？.

jena
Download Presentation

13.4 课题学习 最短路径问题

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册） 第十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路径问题

  2. 看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？ 禁止践踏 爱护草坪 绿地里本没有路，走的人多了… … 两点之间，线段最短

  3. 将军饮马问题： 两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。

  4. (一)两点在一条直线两侧 将军饮马： A P 最短路线： A ---P--- B. B 根据： 两点之间线段最短. 例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？

  5. (二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？ A B 河

  6. (二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧 例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？

  7. (三)二次轴对称： 一点在两相交直线内部 草地 河边 .驻地A 例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A， 问：这位将军怎样走路程最短？ M O N

  8. (三)二次轴对称： 一点在两相交直线内部 例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？

  9. （四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部 例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

  10. A/ B/ P Q 最短路线：A P Q B B N M l A

  11. （四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部 例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

  12. . （四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部 M 例4变式： A' . A . C . B . O . D N B'

  13. 两点在一条河两侧 (五)造桥选址问题 A B 例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

  14. 思维分析 A B 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ Ｍ Ｎ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？

  15. 思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 各抒己见 1、把A平移到岸边. 古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵! 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.

  16. 合作与交流 上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验. 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?

  17. A B 问题解决 A1 Ｍ１ M 如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. Ｎ１ N 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN

  18. 问题延伸 如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

  19. 思维分析 如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处

  20. 思维方法 沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ. 最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.

  21. 将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------ 通过几何变换找对称图形。 （2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线， （3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。 （4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之间线段最短”加以解决。

  22. 反思是进步的阶梯 我的收获； 我的疑惑； 面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？

More Related