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第七章 : 二元关系

第七章 : 二元关系. 主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后面各章的关系 是函数的基础 是图论的基础. 第七章 : 二元关系. 第一节：有序对与笛卡儿积. 引言. 关系是数学中最重要的概念之一 父子关系、师生关系 等于、大于、小于关系 直线的平行、垂直关系 在计算机科学中有广泛应用 人工智能 程序设计 数据库管理 — 关系数据库. 7.1 有序对与笛卡儿积.

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第七章 : 二元关系

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  1. 第七章: 二元关系 • 主要内容 • 有序对与笛卡儿积 • 二元关系的定义与表示法 • 关系的运算 • 关系的性质 • 关系的闭包 • 等价关系与划分 • 偏序关系 • 本章与后面各章的关系 • 是函数的基础 • 是图论的基础

  2. 第七章: 二元关系 第一节：有序对与笛卡儿积

  3. 引言 • 关系是数学中最重要的概念之一 • 父子关系、师生关系 • 等于、大于、小于关系 • 直线的平行、垂直关系 • 在计算机科学中有广泛应用 • 人工智能 • 程序设计 • 数据库管理—关系数据库

  4. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 有序对（序偶）：由两个元素x，y(允许x=y)按给定顺序排列组成的二元组合 • 符号化：<x，y> • x为第一元素，y为第二元素 • 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标 • ＜1,3＞和＜3,1＞是表示平面上两个不同的点 • <x，y> = <u，v>当且仅当x=u ，y=v • 如果xy，那么＜x，y＞＜y，x＞

  5. 7.1 有序对与笛卡儿积 例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>，求x,y 解：根据有序对等式定义，只需求解方程式 x+2=5 和 2x+y=4 得到： x=3, y=-2

  6. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 笛卡尔积A×B：集合A中元素为第一元素，集合B中元素为第二元素的有序对集 • A×B={<x，y>xAyB} • 例：设集合A={a，b，c}，B={0，1}，求A×B，B×A，(A×B)∩(B×A) • A×B={<a，0>，<a，1>，<b，0>，<b，1>，<c，0>，<c，1>} • B×A={<0，a>，<1，a>，<0，b>，<1，b>，<0，c>，<1，c>} • (A×B)∩(B×A)=

  7. 7.1 有序对与笛卡儿积 例：设集合A={1，2}，求P(A)A 解： P(A)={，{1}，{2}，{1，2}} P(A)×A ={<，1>，<，2>，<{1}，1>，<{1}，2>，<{2}，1>，<{2}，2>， <{1，2}，1>，<{1，2}，2>}

  8. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 说明： • 如A，B均是有限集，A=m,B=n， 则必有AB=mn

  9. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 笛卡儿积的性质： • 对于任意集合A，A=，A= • 一般不满足交换律，当A，B，AB时， ABBA • 一般不满足结合律，即当A，B，C均非空时，(AB)CA(BC)

  10. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 笛卡儿积的性质（续）： • 对任意三个集合A，B，C有 （1）A(B∪C)=(AB)∪(AC) （2）A(B∩C)=(AB)∩(AC) （3）(B∪C)A=(BA)∪(CA) （4）(B∩C)A=(BA)∩(CA) （5）AC  B D A×BC×D

  11. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 证明： • 对任意三个集合A，B，C有 A(B∪C)=(AB)∪(AC) 证明：<x，y>A(B∪C)  xA yB∪C  xA (yB  yC)  (xA yB) (xAyC)  <x，y>AB <x，y>AC  <x，y>(AB)∪(AC)

  12. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ • ABAC BC • 不正确。取A，BC，AB=AC= • A-(BC)=(A-B)  (A-C) • 不正确。取A=B={1}，C={2}， A-(BC)={1}-{<1,2>}={1} 而(A-B)  (A-C)={1}=

  13. 7.1 有序对与笛卡儿积 • 例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ • A=B，C=D ACBD • 正确。 • 存在集合A使得A  AA • 正确。取A=时，AAA

  14. 第七章: 二元关系 第二节：二元关系

  15. 7.2 二元关系 • 关系是指事物之间（个体之间）的相互联系 • 二元关系R：满足下列条件之一的集合 • 集合非空，且它的元素都是有序对 • 集合为空集 • 定义：A，B是集合，A×B的子集叫做从A到B的一个二元关系 • 例：A={0，1}，B={1，2，3} • R1={<0,2>}，R2={<0,1>} • R3=

  16. 7.2 二元关系 • 几类特殊关系： • 全域关系EA＝A×A • 恒等关系IA＝{<x，x>|x∈A} • 空关系

  17. 7.2 二元关系 • 例： A={0,1,2} • EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>, <1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>} • 恒等关系IA ={<0,0>,<1,1>,<2,2>}

  18. 7.2 二元关系 • 包含关系 • A是一个集合,定义P(A)上的一个关系 • R ={<u，v>uP(A)，vP(A)，且uv} • A={a，b}，P(A)={ ，{a}，{b}，A} • R={<，{a}>，<，{b}>，<，>，<，A>，<{a}，{a}>，<{a}，A>，<{b}，{b}>，<{b}，A>，<A，A>} • 例： A={2，3，4，5，6} • R={<a，b>a是b的倍数} • R={<2，2> ，<3，3>，<4，2>，<4，4>，<5，5>，<6，2>，<6，3>，<6，6>}

  19. 7.2 二元关系 • 关系表示方法 • 枚举法（直观法、列举法） • xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R • 谓词公式表示法（暗含法） • 关系矩阵表示法 • 关系图表示法

  20. 7.2 二元关系 • 关系表示方法 • 枚举法（直观法、列举法） • xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R • 谓词公式表示法（暗含法） • 关系矩阵表示法 • 关系图表示法

  21. 7.2 二元关系 • 关系矩阵表示法 设集合A={a1,…,am},B={b1,…,bn},R是A到B的关系,则R的关系矩阵是一个mn阶的矩阵 MR=(rij)mn 其中rij =1,当<ai,bj>R rij=0,当<ai,bj>R 如果R是A上的关系时,则其关系矩阵是一个方阵

  22. 7.2 二元关系 例：A={a,b,c,d},B={x,y,z},A=4，B=3, R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 则MR是43的矩阵 1 0 1 MR= 0 1 0 0 0 1 0 1 0 其中r13=1表示<a,z>R,而r23=0,表示<b,z>R

  23. 7.2 二元关系 • 关系表示方法 • 枚举法（直观法、列举法） • xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R • 谓词公式表示法（暗含法） • 关系矩阵表示法 • 关系图表示法

  24. 7.2 二元关系 • 关系图：A={a1,…,am}，B={b1,…,bn} • 结点：m+n个空心点分别表示a1,…,am和b1,…,bn • 有向边：如果<ai,bj>R,则由结点ai向结点bj通一条有向弧,箭头指向bj • 自回路：<ai,ai>R,则画一条以ai到自身的一条有向弧 • 这样形成的图称为关系R的关系图

  25. 7.2 二元关系 2 4 6 5 3 2 3 4 5 6 • 例：A={2,3,4,5,6} (1)R1={<a,b>a是b的倍数} (2)R2={<a,b>(a-b)2A}

  26. 第七章: 二元关系 第三节：关系的运算

  27. 7.3 关系的运算 • 二元关系的定义域和值域 • 定义域： • 值域： • 例 • X={1,2,3,4,5,6},Y={a,b,c,d,e,f} • R={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>} • domR={1,2,3,4} • ranR={a,b,c,d}

  28. 7.3 关系的运算 • 二元关系的逆关系 • R-1就是将R中的所有有序对的两个元素交换次序成为R-1，故|R|=| R-1 | • 说明 • R-1的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即 MR-1=(MR)T • R-1的关系图就是将R的关系图中的弧改变方向即可以

  29. 7.3 关系的运算 • 例： • R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>，<c,b>，<d,c>} • R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>，<b,c>，<c,d>} 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 MR= 1 1 0 0 MR-1=MRT= 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

  30. 7.3 关系的运算 R的关系图 R-1的关系图 a a b d b d c c • 例： • R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>，<c,b>，<d,c>} • R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>，<b,c>，<c,d>}

  31. 7.3 关系的运算 • 关系的右复合 • 例 • A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3} • R={<x,y>|x+y=6} ={<1,5>,<2,4>,<3,3>} • S={<y,z>y-z=2} ={<3,1>,<4,2>,<5,3>} • RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

  32. 7.3 关系的运算 1 1 2 3 2 3 4 4 3 5 5 1 1 2 2 3 4 3 5 例（续） 从而RS的关系图

  33. 7.3 关系的运算 • 例： A={a,b,c,d,e} • R={<a,b>,<c,d>,<b,b>} • S={<d,b>,<b,e>,<c,a>} • RS={<a,e>,<c,b>,<b,e>} • SR={<d,b>,<c,b>} • RR={<a,b>,<b,b>} • SS={<d,e>} • 注意：RSSR

  34. 7.3 关系的运算 • 定义：R是二元关系，A是集合 • R在A上的限制 • A在R下的像 A R[A]

  35. 7.3 关系的运算 • 例：R = {<1, 2>, <1, 3>, <2,2>, <2,4>, <3,2>}, 求：

  36. 7.3 关系的运算 • 优先顺序： • 逆运算优先于其他运算 • 关系运算优先于集合运算 • 没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序

  37. 7.3 关系的运算 • 定理：设F是任意的关系，则 • (F-1)-1=F • domF-1 =ranF, ranF-1 =domF

  38. 7.3 关系的运算 • 定理：设F，G，H是任意的关系 • (FG)H = F(GH) • (FG)-1 =G-1F-1 证明：<x，y>(FG)-1  <y，x>FG  t(<y，t>F  <t，x>G)  t(<x，t>G-1 <t，y>F-1)  <x，y>G-1F-1

  39. 7.3 关系的运算 • 例 • R={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<c,b>,<c,c>} • S={<a,1>,<a,4>,<b,2>,<c,4>,<c,5>} • RS={<a,1>,<b,2>,<c,2>,<a,4>, <c,4>,<a,5>,<c,5>} • (RS)-1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>, <4,c>,<5,a>,<5,c>} • R-1={<a,a>, <c,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>} • S-1={<1,a>,<4,a>,<2,b>,<4,c>, <5,c>} • S-1R-1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>, <4,c>,<5,a>,<5,c>}

  40. 7.3 关系的运算 • 定理: 设R为A上关系，则 RIA＝IAR＝R • 定理: • R(S∪T)=RS∪RT • R(S∩T)RS∩RT • (S∪T)X=SX∪TX • (S∩T)XSX∩TX

  41. 7.3 关系的运算 证明R(S∪T)=RS∪RT <x,z>∈ R(S∪T) y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S∪T)  y(<x,y>∈R∧(<y,z>∈S∨<y,z>∈T))  y((<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨ (<x,y>∈R∧<y,z>∈T))  y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨ y(<x,y>∈R∧<y,z>∈T) <x,z>∈RS ∨<x,z>∈ RT <x,z>∈RS∪RT

  42. 7.3 关系的运算 • 证明 R(S∩T)RS∩RT <x,y>∈R(S∩T)t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S∩T) t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S∧<t,y>∈T)t ((<x,t>∈R∧<t,y>∈S) ∧(<x,t>∈R∧<t,y>∈T))t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S) ∧t (<x,t>∈R∧<t,y>∈T)  <x,y>∈RS∧<x,y>∈RT <x,y>∈RS∩RT

  43. 7.3 关系的运算 • 定理: • R↾(A∪B) = R↾A∪R↾B • R[A∪B] = R[A]∪R[B] • R↾(A∩B) = R↾A∩R↾B • R[A∩B] R[A]∩R[B]

  44. 7.3 关系的运算 • 定理: R[A∩B] R[A]∩R[B] 证明：y∈R[A∩B] x(<x,y>∈R∧x∈A∩B) x(<x,y>∈R∧x∈A∧x∈B) x((<x,y>∈R∧x∈A)∧(<x,y>∈R∧ x∈B)) x(<x,y>∈R∧x∈A)∧ x(<x,y>∈R∧ x∈B) • y∈R[A]∧y∈R[B] • y∈R[A]∩R[B]

  45. 7.3 关系的运算 • R的n次幂 • 记为Rn • R0=A • Rn+1=RnR • 定理: 设R是集合A上的关系，m,n∈N • RmRn=Rm+n • (Rm)n=Rmn 证明思路：使用归纳法并利用复合关系的结合律

  46. 7.3 关系的运算 • 例R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,5>} • R0={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} • R1=R • R2={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<3,5>} • R3=R2R ={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,5>} • R4=R3R ={<1,1>,<2,2>,<1,5>,<2,4>,<1,3>} • R5=R4R ={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,5>}

  47. 7.3 关系的运算 从关系图来看关系的n次幂 R： 1 2 3 4 5 R2就是所有在R中通过二条弧连接的点，则在R2这两点间直接有条弧。 1 2 3 4 5 R3,R4…

  48. 7.3 关系的运算 • 定理：R是A上的二元关系，若存在自然数s和t，且s<t，使Rs=Rt，则 • 对所有的k≥0，则Rs+k=Rt+k • 对所有的k,i≥0，则有Rs+kp+i=Rs+i • p=t-s • 设S={R0,R1,R2,…,Rt-1}，则R的每一次幂都是S的元素，即对任意q∈N, Rq∈S

  49. 7.3 关系的运算 • 定理：R是A上的二元关系，若存在自然数s和t，且s<t，使Rs=Rt • 对所有的k≥0，则Rs+k=Rt+k • 对所有的k,i≥0，则有Rs+kp+i=Rs+i • p=t-s • 设S={R0,R1,R2,…,Rt-1}，则R的每一次幂是S的元素，即对任意q∈N, Rq∈S

  50. 7.3 关系的运算 证明：对k进行归纳。 k=0时Rs+kp+i=Rs+i显然成立 假设Rs+kp+i=Rs+i，这里p=t-s ，那么 Rs+(k+1)p+i=Rs+kp+i+p=Rs+kp+iRp =Rs+iRp =Rs+p+i =Rs+t-s+i =Rt+i=Rs+i

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