第十三章 材力的基本内容

2. 学习与应该掌握的内容 材料力学的基本知识 基本变形的主要特点 内力计算及内力图 应力计算 二向应力状态及强度理论 强度、刚度设计 第十三章 材力的基本内容

3. 材料力学的研究模型 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。 杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆； 材料力学的主要研究对象就是等直杆。 材料力学的基本知识

4. 变形 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种： 弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形 塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形 变形固体的基本假设 连续性假设 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质 均匀性假设 假设材料的力学性能在各处都是相同的。 各向同性假设 假设变形固体各个方向的力学性能都相同 材料力学的基本知识

5. 材料的力学性能 -----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。 构件的承载能力： 强度---构件抵抗破坏的能力 刚度---构件抵抗变形的能力 稳定性---构件保持原有平衡状态的能力 内力的概念 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。 材料力学的基本知识

6. 利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图 横截面上内力分析 其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。 FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力 Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩

7. 截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开； 取其中任一部分并在截面上画出相应内力； 由平衡条件确定内力大小。 横截面上内力计算--截面法 例：左图 左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分： ∑Fx=0 FP,=FN,

8. 已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力 例13-1 解： 1、假想从m-n面将机架截开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ （方向如图示）。 （水平部分/竖直部分的变形？） 3、由平衡方程得： ∑Fy=0 FP-FN=0 FN=FP ∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp · a

9. 载荷特点：受轴向力作用 基本变形—(轴向)拉伸、压缩 轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正 变形特点：各横截面沿轴向做平动 内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN FN=P

10. 载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线） 基本变形---剪切 • 变形特点：各横截面发生相互错动 • 内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力FQ 剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下

11. 载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面） 基本变形---扭转 • 变形特点：横截面绕轴线转动 • 内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T T=M 正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系

12. 载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。 基本变形---弯曲（平面） • 变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。 中性轴（面） • 内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）

13. 应力的概念 单位面积上内力的大小，称为应力 平均应力Pm，如图所示 正应力、切应力 △F △A Pm= A—截面面积 正应力σ 单位面积上轴力的大小，称为正应力； 切应力τ 单位面积上剪力的大小，称为切应力 应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2

14. 单元体及简单应力状态 在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元（体）； 此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。 单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-----简称单向应力状态（如图） 对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。

15. 构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。 如图： AA’连线称为A点的线位移 θ角度称为截面m-m的角位移，简称转角 注意，单元K的形状也有所改变 位移

16. 分析单元K 单元原棱长为△x，△u为绝对伸长量，其相对伸长△u/ △x的极限称为沿x方向的正应变ε。 △u △x 即： εx=lim △x→∞ ) aa’ aa’ γ= = oa △x 应变 a点的横向移动aa’，使得oa直线产生 转角γ，定义转角γ为切应变γ

17. 实验证明： 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系， 即：σ=Εε 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕） 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系 即：τ=Εγ 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa 胡克定律 钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa 铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa 木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa

18. 第十四章 杆件的内力 §14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力 §14-2 扭转圆轴的内力 总第十二讲

19. 定义 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩 内力的计算 截面法 如左图 内力的表示 轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况 §14-1 轴向拉压杆件的内力

20. 例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。 轴力图 解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示 ∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN 2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示 ∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画FN2方向与实际相反） 3)图14-1-4位AB杆的轴力图

21. 为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。 轴力图

22. 扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴 功率、转速和扭矩的关系 M=9549 扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。 §14-2 扭转圆轴的内力 其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)

23. 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图 例14-2 扭矩图 解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)画出扭矩图如 d)

24. §14-3 弯曲梁的内力 §14-4 弯曲梁的内力图---剪力图和弯矩图 总第十三讲

25. 弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 §14-3 弯曲梁的内力 • 常见梁的力学模型 • 简支梁 • 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座 • 外伸梁 • 一端或两端伸出支座支外的简支梁 • 悬臂梁 • 一端为固定端，另一端为自由端的梁。

26. 梁的内力 剪力FQ 弯矩MC 梁内力的正负规定 • 梁内力的正负规定 • 内力方向 • 梁的变形

27. 例14-3 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力 §14-3 弯曲梁的内力—例 2 3 1 FBy 解：1）求得A、B处反力FAY,FBY； FAy 2）1-1截面内力：(0≤x1 ≤ a) 3）2-2截面内力： (a≤x2<2a)

28. 续例14-3 4）3-3截面内力：(0 ≤ x3 ≤ a，此处x3的起点为B点，方向如图)

29. §14-4内力图----剪力图 1.当：0≤x1≤a 时 AC段 FQ1=5q.a/6 2.当：a≤x2≤2a 时,即CD段 FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ） 3.当： 0≤x3≤a (起点在B点） FQ3=-q.a/6

30. §14-4内力图----弯矩图 • 当：0≤x1≤a 时， M1=5q.a.x1/6为直线 • 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2 • 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6;

31. 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图 典型例题-1 解：1〉求A,B支座反力( a+b=l ) 2〉求x截面内力 a) 0<x<a b) a<x<l

32. 根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(b>a)（或CB,a>b）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l 典型例题-1(续) • 本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即： FQ=FQ(x) Mc=M(x)

33. 简支梁受力偶作用 典型例题-2 • 求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l • AC段X截面处剪力FQ=Fay, • 同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左 • AC段弯矩方程M1 M1=FAY·x=M ·x /L • BC段弯矩方程M2 M2=FAY· x-M=M(x -L)/L

34. 悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图 典型例题-3 • 写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程 • 剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且

35. 设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。 M、FQ与q的关系 • 取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得： ∑Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a) ∑MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b) 在上式中略去高阶微量后，得

36. 使用关系式画FQ、M图

37. M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m 例题-7 解： 求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图： AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m

38. 作业(解答)

39. 14-5 (c) 14-8 (c) 作业 2004.3.25

40. 14-5（c）解答 AC: FQAC=-qx; |FQACmax|=qa/2 MQAC=-qx2/2; |MQACmax|=qa2/8 BC:(B点为圆点，x向左） FB=qa/2-qa/8=3qa/8 FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8 FQBC=0,x=3a/8 MBC=q(3ax-4x2)/8; MBC|x=3a/8=9qa2/128>0; MBC|x=3a/4=0

41. 14-8（c）解答 A、B支反力： FA=qa/2; FB=5qa/2 AB段：q<0；斜直线（左上右下） A点：FQA=FA=qa/2； B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2 D点：FQAB=0；x=a/2 BC段：q=0；直线（水平） C点：FQC=F=qa=FQB D 弯矩图：AB段：q<0；抛物线，上凸 A点： MC=0， D点： MD= FA a/2 –q.a2/8=qa2/8 B点：MB=FA.2a-2qa2=-qa2； BC段:q=0 直线（左下右上） MC=0,MB=-F.a=-qa2

42. 第一讲 §15-1轴向拉压杆件的应力与变形 第二讲 §15-2扭转圆轴的应力与应变 第三讲 §15-3弯曲梁的正应力 第四讲 §15-4弯曲梁的切应力 §15-5弯曲梁的变形 总第十四讲 第15章 杆件的应力与变形

43. §15-1轴向拉压杆件的应力与变形 杆件轴向拉压时横截面上的应力 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式 横向变形与泊松比 第一讲 轴向拉压

44. 平面假设 杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。 横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。 两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。 杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式 FN—轴力 A---横截面面积 横截面上的应力 σ的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负

45. 一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力 例15-1 解： 求轴力FN; FN=-F=-20kN=-20x103N 求横截面面积： A1=bh=20x25=500mm2 A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2 求应力 由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上 FN -20X103 σ= = =-66.7MPa（负号表示为压应力） A 300

46. 轴向变形 设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形△l和轴向（相对变形）线应变ε分别为： △l=l1-l0 直杆横截面上的正应力： 当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：σ=Eε 由以上可以得到： 式中EA称为杆件的抗拉压刚度 此式称为拉压变形公式

47. 横向变形与泊松比 如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△b和ε’; △b=b1-b0 ε’= △b /b0 实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， ε’为负 ； 杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， ε’为正； 可见， 轴向线应变ε和横向线应变ε’恒为异号 实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变ε’与轴向线应变ε之比为一负常数： 即： 或 比例系数ν称为泊松比，是量刚为一的量

48. 一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变ε=120x10-6,横向线应变ε’=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比ν一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变ε=120x10-6,横向线应变ε’=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比ν 例15-2 p241 解： 求试件的轴力FN=F=3kN; 横截面面积A=bh=120mm2, 横截面上的应力σ=F/A 根据胡克定律σ=Eε得： 泊松比：

49. 钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。 例15-3 p241 解：画出杆件的轴力图 求出个段轴向变形量 AC段： CD段： DB段： 由ε=△L/L得： ε1= -300x10-6 ε2= 200x10-6 ε3= 400x10-6 总变形：△l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm

50. P269 15-5 作业