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九年级数学（上册）第一章 证明 ( 二 )

3. 角平分线（ 2 ） 三角形的内心. 九年级数学（上册）第一章 证明 ( 二 ). 阳泉市义井中学 高铁牛. 1. 做一做. A. C. E. O. D. B. 驶向胜利的彼岸. 尺规作图 角平分线的作法. 用尺规作角的平分线. 已知 : ∠AOB , 如图 . 求作 : 射线 OC, 使 ∠ AOC=∠BOC . 作法 :. 1. 在 OAT 和 OB 上分别截取 OD,OE, 使 OD=OE. 2. 分别以点 D 和 E 为圆心 , 以大于 DE/2 长为半径作弧 , 两弧在 ∠ AOB 内 交于点 C. 3. 作射线 OC.

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九年级数学（上册）第一章 证明 ( 二 )

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Presentation Transcript

  1. 3.角平分线（2） 三角形的内心 九年级数学（上册）第一章 证明(二) 阳泉市义井中学 高铁牛

  2. 1 做一做 A C E O D B 驶向胜利的彼岸 尺规作图角平分线的作法 • 用尺规作角的平分线. • 已知:∠AOB,如图. • 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. • 作法: • 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. • 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. • 3.作射线OC. • 则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.

  3. A D 1 P O 2 C E B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 角平分线的性质 • 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. • 如图, • ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) • ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.

  4. A D 1 P O 2 C E B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 角平分线性质定理的逆定理 • 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. • 如图, • ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), • ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么?

  5. 1 做一做 驶向胜利的彼岸 亲历知识的发生和发展 • 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. • 观察这三条角平分线,你发现了什么? 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.

  6. 2 做一做 驶向胜利的彼岸 亲历知识的发生和发展 利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. • 再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流. 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.

  7. 思考分析 D N M A F P E B C 驶向胜利的彼岸 命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 咋证三条直线交于一点 • 基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.

  8. 1 做一做 D N M A F P E B C 驶向胜利的彼岸 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 几何的三种语言 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 老师提示: 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.

  9. 1 随堂练习 A E C B D 驶向胜利的彼岸 挑战自我 • 如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. • (1)如果CD=4cm,AC的长; • (2)求证:AB=AC+CD. 老师期望: 你能正确地解答并规范地写出其过程.

  10. 1 试一试 A B C 梦想成真 1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗? 老师提示: 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个.

  11. 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心). 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个. A D 1 P O 2 C E B 小结 拓展 回味无穷

  12. 1 独立作业 A B C D 驶向胜利的彼岸 习题1.9 • 1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线. • 求证:BD=2CD. • 老师期望: • 你能写出规范的证明过程.

  13. 2 独立作业 A C B D E F 驶向胜利的彼岸 • 2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F. • 求证:点F在∠DAE的平分线上. 习题1.9 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.

  14. 3 独立作业 A C O P D B 驶向胜利的彼岸 习题1.9 • 3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D. • 求证: • (1)OC=OD; • (2)OP是CD的垂直平分线. 老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.

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