中考第一轮复习： 三角形相似

1. 中考第一轮复习： 三角形相似

2. 若 a、b、c、d为四条线段 ，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. a c = = a : b c : d , a b c 若 或 那么 , , , d 叫做四个数成比例。 ac bd b d = 一.比例线段 知识要点1 1. 成比例的数（线段）：

3. a c = Û = ad bc ; b d a∶b=c∶d 其中 ：a、b、c、d叫做组成比例的项， a、d叫做比例外项， b、c叫做比例内项， 比例的性质：

4. 问题一： 1. 2.已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。

5. 4.画一个△DEF与△ABC相似，相似比为2:1。

6. 问题二： 1.如图，P为线段AB 上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B， BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三 角形有( ) （A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对 【解析】选C.∵∠CPD=∠A=∠B，∴△PCF∽△BCP、△APG∽△BFP、△APD∽△GPD，故选C.

7. 2.如图所示，一般 书本的纸张是原纸张多次对开得到的， 矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿 MN对开，依次类推，若各种开本的矩形 都相似，那么 等于（ ） (A)0.618 (B) (C) (D)2 【解析】选B.∵矩形ABCD∽矩形AEFB，

8. 3.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连结成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）3.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连结成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2） 中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1 各边中点，连结成正六角星形 A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分； 如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEn 的面积为_______.

9. 【解析】由题意，知正六角星形AFBDCE∽正六角星形【解析】由题意，知正六角星形AFBDCE∽正六角星形 A1F1B1D1C1E1∽正六角星形A2F2B2D2C2E2∽…∽正六角星 形AnFnBnDnCnEn，根据相似多边形的面积比等于相似比 的平方，可得正六角星形A1F1B1D1C1E1面积为 正六角 星形A2F2B2D2C2E2面积为 正六角星形A3F3B3D3C3E3 面积为 依此类推，正六角星形AnFnBnDnCnEn 的面积为 答案:

10. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交； （2）两角对应相等； （3）两边对应成比例且夹角相等； （4）三边对应成比例；

11. 相似三角形基本图形的回顾： E D A A D E C B B C △ADE绕点A A E D D 旋转 E A B C B C 点E移到与C点 重合 A A D ∠ACB=Rt∠ D CD⊥AB B B C C

12. 问题三 1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4, AE＝3,求AF的长.

13. 2.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形 分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC =OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( ) (A)①与②相似 (B)①与③相似 (C)①与④相似 (D)②与④相似 【解析】选B.根据两边对应成比例且夹角相等得①与③相似.

14. 3.如图，△ABC是一张锐角三角形 的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40 cm，AD=30 cm，从这张 硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边 EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上， AD与HG的交点为M. (1)求证： （2）求这个矩形EFGH的周长.

15. 【自主解答】(1)∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，【自主解答】(1)∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF， ∴∠AHG=∠B，∠AGH=∠C，∴△AHG ∽△ABC， 又∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，AM⊥HG， (2)设HE=x cm，则MD=x cm，HG=2x cm， 由（1）知 因为BC=40 cm，AD=30 cm， 所以 解得x=12. 则HG=2x=24 cm，所以矩形EFGH的周长为2（HE+HG）= 2×（12+24）=72 cm.

16. 问题四 1.如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2， BC=BD=3，AC=4. （1）求证：AC⊥BD； （2）求△AOB的面积. 【解析】（1）过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，可得平行四边形ACED，∵AD=2，BC=BD=3，AC=4.∴BE=5，DE=AC=4，∴BD2+DE2=BE2，即△BDE是直角三角形，

17. 2.如图，工地上竖着两根电线杆AB、CD，它们相距15 m，分别自两杆上高出地面4 m、6 m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F处拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________.

18. 【解析】过P作PH⊥BD交BD于点H，设PH=x，则△PHD∽△ABD，△BHP∽△BDC，【解析】过P作PH⊥BD交BD于点H，设PH=x，则△PHD∽△ABD，△BHP∽△BDC， ∴ 解得x=2.4. 答案:2.4 m

19. 问题五 如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m>4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q. （1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）； （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围.

20. 【解析】（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合【解析】（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合 （如下图），∵PQ⊥PD，∴∠DPC=90°，∴∠APD+∠BPC=90°， 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴ ∴ ∴AP=2或8， ∴存在点P使得点Q与点C重合， 此时AP的长是2或8.

21. （2）如右图，∵PQ∥AC， ∴∠BPQ=∠BAC， ∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP， 又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴ 即 ∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B， ∴△PBQ∽△ABC， 即

22. （3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），（3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP, ∴PB=DA=4,AP=BQ=m-4, ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数解析 式为：S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=

23. D D b A A a 700 700 700 700 500 500 300 300 B B C C F F E E b a 问题六：画一画: 如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据) 300 300 200 200

24. B 4cm/秒 16 Q P 8 2cm/秒 C A 问题七： 1. 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？

25. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8， 点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边 BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD，垂足为N. （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

26. 【正确解答】（1）解法同上（1） （2）（Ⅰ）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE； ∴BD=DC ∵DE平分∠BDC，∴DE⊥BC，BE=EC 又∠ACB=90°，∴DE∥AC. ∴AD=5.

27. （Ⅱ）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN ∴EN∥BD 又∵EN⊥CD，∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高. 由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC， 综上，当AD=5或 时，△BME与△CNE相似.

28. 3.（2009·济南中考）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC,AD=3,DC=5, ∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每 秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿 线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时 间为t秒. (1)求BC的长； (2)当MN∥AB时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.

29. 【自主解答】(1)如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形，【自主解答】(1)如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形， ∴KH=AD=3, 在Rt△ABK中， AK=AB·sin45°= BK=AB·cos45°

30. 在Rt△CDH中， 由勾股定理得 ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10. (2)如图2，过D作DG∥AB交BC于点G， 则四边形ADGB是平行四边形， ∵MN∥AB,∴MN∥DG, ∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,

31. 由题意知，当M、N运动t秒时，CN=t,CM=10-2t, ∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC,又∠C=∠C, ∴△MNC∽△GDC,∴ 即 (3)分三种情况讨论： ①当NC=MC时，如图3， 此时t=10-2t,∴

32. ②当MN=NC时，如图4，过N作NE⊥MC于E，过D作DH⊥BC于H②当MN=NC时，如图4，过N作NE⊥MC于E，过D作DH⊥BC于H 方法一：由等腰三角形三线合一性质得 在Rt△CEN中， 又在Rt△DHC中，

33. 方法二：∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°, ∴△NEC∽△DHC,∴ 即 ③当MN=MC时，如图5,过M作MF⊥CN于F点，过D作DH⊥BC于H点 方法一：（方法同②中方法一）

34. 方法二：∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°, ∴△MFC∽△DHC,∴ 即 综上所述，当 时，△MNC为等腰三角形.

35. (2010·昆明中考)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB= 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

36. （2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3，请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是_________；②当k=2时，是_________；③当k=3时，是_________.并证明k=2时的结论.

37. 【解析】(1)∵AD∥BC, ∴∠OBP=∠ODE. 在△BOP和△DOE中, ∠OBP=∠ODE, ∠BOP=∠DOE, ∴△BOP∽△DOE（有两个角对应相等的两个三角形相似）.

38. （2）①平行四边形 ②直角梯形 ③等腰梯形 证明：∵k=2时， , ∴BP=2DE=AD, 又∵AD∶BC=2∶3,即 ED∥PC，∴四边形PCDE是平行四边形.

39. ∵∠DCB=90°, ∴四边形PCDE是矩形, ∴∠EPB=90°, 又∵在直角梯形ABCD中, AD∥BC，AB与DC不平行, ∴AE∥BP，AB与EP不平行, ∴四边形ABPE是直角梯形.