具体数学 Concrete Mathematics

1. 北京航空航天大学计算机学院 具体数学Concrete Mathematics 赵启阳 2014年9月28日星期日

2. 2.6 Finite and Infinite Calculus差和分与微积分

3. 差分算子与求导算子 • 通常意义上的微积分，CM中称（无限）微积分，其基础是求导算子D（derivative operator）： • 离散求和时用到的差和分，CM中称“有限”微积分，其基础是差分算子∆（difference operator）：

4. 差分算子与微分算子 • 差分算子是求导算子在“有限”离散集上的原型； • 求导算子是差分算子在“无穷”连续集上的推广； • D、∆定义在函数上，得到的结果是新的函数，因此可称为“函数的函数”——算子（泛函——无限维向量的函数）； • 若f是从实数到实数的光滑函数，则Df也是从实数到实数的函数，∆f的也如此。

5. 差和分中的“幂”—阶乘幂 • 在微分算子下，幂具有很良好的计算方面的性质。在差分算子下，对应有一类“m次阶乘幂”，在∆下具有很好的变换性质： • 由于在形式上与阶乘函数n!=n(n–1)…1很相近，因此称为下降阶乘幂和上升阶乘幂。

6. 差分算子下的下降阶乘幂 • 幂函数在求导算子下的计算： D(xm) = nxm-1 • 下降幂在差分算子∆下的计算：

7. 差和分基本定理 • 在微积分中，在求导算子D和积分记号∫ 下，函数及其导函数之间有如下基本定理： g(x) = Df(x)iff.∫g(x)dx = f(x) + C（C是常数） • 与∫dx相对应，差和分中的记号是∑δx。函数及其差分函数之间有如下基本定理： g(x) = ∆f(x)iff. ∑g(x)δx = f(x) + C • 注1：这里的C不必是常数，可以是任意满足p(x+1) = p(x)的周期函数p。推论：C在所有整数上是常数。 • 注2：∑g(x)δx 中的∑并不是前面的求和操作，也不能独立于δ 而出现。 ∑-δ记号在这里表示所有差分函数为g(x)的函数。

8. 定和分 • 在微积分的定积分中：若g(x)=Df(x)，则有 • 在差和分的定和分中：若g(x)=∆f(x)，则有 • 同样地，记号也不是指求和计算，也不能独立于δ出现。 ∑ba-δ记号在这里表示差分函数为g(x)的函数在数值a、b上的函数值之差。

9. 定和分的性质 • 从差和分的定义和记号本身出发，定和分的计算具有如下性质： • 1、b = a时， • 2、b = a + 1时， • 3、对于(a, b)和(a, b + 1)上的定和分，

10. 如何由定和分转换到求和计算 • 综合以上观察，可以得到定和分 在整数a和b上的含义： • 换句话说，除了不包括上限下标上的被加项之外，定和分可以被看做是具有上下界的求和。（定和分记号到求和记号的转换） • 注意：目前仅定义了b ≥ a情形的定和分。

11. 定和分的性质 • 回想定积分中，积分上下限顺序的变化会带来符号的变化： • 同样在定和分中，若b ≤ a会有什么结果？ • 此外还容易得到 • 至此，我们在不同的计算上看到了“定和分”与“定积分”之间的相似性。下面来看上述性质的应用。

12. 定和分性质的应用 • 下降阶乘幂的求和： • 特别地，对于前n – 1个正整数的求和 • 此外还有 ，容易看出，可以结合上面的等式计算2次方和和3次方和。事实上，对一般n次幂，可以采用Stirling数计算在下降阶乘幂上的展开形式。

13. 负指数的下降阶乘幂 • 在讨论下降幂的和分之前，需要先引入负指数幂。 • 注意到： • 顺着可以写出： • 因此，定义负指数的下降阶乘幂为 • 每次除以递减1的因子

14. 下降阶乘幂的运算性质 • 1、幂的乘法与指数的加减法 • 注：在引入负指数的下降阶乘幂之后，上面的m、n可以取任意整数。 • 举例：

15. 下降阶乘幂的运算性质 • 2、任意指数的下降阶乘幂的差分计算 • 注：m可以取任意整数。 • 举例：

16. 下降幂的和分的完整讨论 • 对m ≠ -1的任意m，下降幂的定和分如下： • 对于m=-1时，与微积分中的情形相似，需要提供一个非幂函数f，使之满足 • 显然在x为正整数时，调和数Hx即满足条件：

17. 下降幂的和分的完整讨论 • Hx不仅是ln的对应，事实上在x足够大时，Hx与ln(x)之差几乎不超过1（见Chap. 9）。 • 现在对所有整数指数，给出下降幂和分的完整描述：

18. 差和分中的指数函数 • 微积分中还有一个特殊的函数ex：导函数等于自身，那么在差和分中能否找到对应呢？ • 令 ，则 • 因此有 。这是很简单的递归关系，易得到一个解为 。 • 对于一般指数函数cx： • 这与微积分中的情形有所不同。

19. 基于定和分的几何级数求和 • 根据一般指数函数的差分计算，可知cx的不定和分为 • 这个结论可以用于计算几何级数的求和：

20. 定和分的其他问题 • 在差和分中，复合函数的差分没有简洁的计算法则，无法对应微分计算的链式法则。 • 然而对于分部积分，仍然存在优美的对应： • 注意： • 1、函数v(x+1)而非v(x)； • 2、上式还可写成u(x+1)⊿v(x) + v(x)⊿u(x)； • 3、CM引入平移算子E来化简公式。

21. 分部和分的例子 • 1、 • 2、 • 3、 因此有 可对照多重求和

22. 2.7 Infinite Sums无限和

23. 2.7 无限和 • 前面处理的都是有限求和。事实上，被加项有无限个的无限求和情形，也是非常重要的求和问题。 • Bad News：面对无限和时，此前处理∑时所用的方法并不总是成立。 • Good News：对于很多常见的无限求和问题，此前的运算法则都是完全适用的。

24. 无限求和的正例和反例 • 正例：对无限和 double一下得到 因此有S=2。 • 反例：对无限和 double一下得到 因此有T = -1………..What???......You serious???

25. 一般和的定义 • 问题出在对无限求和的理解上。下面较为严格地定义在非负项上的一般性求和： • 如果不存在这样的确定的值A，则该求和问题的结果为∞ 。（注：不考虑下标在F中的顺序） • 因此，在所有非负整数下标上的无限求和可以写成 • 例子：

26. 含有负项的无限求和 • 对于 • 1、如果写成 因此得到结果为0； • 2、如果写成 因此得到结果为1； • 3、如果采用 代入x=-1，因此得到结果为1/2???!!! 为什么会出现3种不同的结果？

27. 含有负项的无限求和 • 事实上，上面的问题涉及到“条件收敛”的问题，沿着这个思路的讨论将把我们引入到级数理论。CM不需要引入条件收敛，而简洁地解决该矛盾。 • 对每个被加项xk，将其写作 xk = x+ - x-，这里x+ = x·[x > 0]， x-= x·[x < 0] • 显然x+和x-都是非负数，因此可以在非负项无限求和的基础上定义一般的无限求和

28. 一般无限求和的定义 • 假设 ，如果两个数值均为有限的确数，则称一般无限求和 绝对收敛到确数 。否则称无限和为发散的。 • 如何用该定义去厘清前面的矛盾问题？ • 多重无限求和的结论：对于在两个或更多下标上绝对收敛的无限求和，总是可以在任意的一个下标上开始求和计算。换言之，从任意下标还是的计算过程中不会出现求和的发散情形。

29. Recommended Exercises • 不需要提交 2.18，2.29，2.32，2.35