МАШИНА ТЬЮРИНГА

1. МАШИНА ТЬЮРИНГА Поздняков Сергей Николаевич pozdnkov@mail.ru

2. Зачем нам нужно определение алгоритма? • Можно ли написать программу для любой задачи? • Например, существует ли программа, которая по тексту другой программы определяет, зациклится она или нет? • Без строгого определения алгоритма ответ на этот вопрос невозможен.

3. Алгоритм – это автомат? • У автомата есть строгое определение: • Входные и выходные символы • Состояния автомата • Начальное состояние • Функция перехода между состояниями • Функция выхода

4. Граф автомата Автомат обычно изображается графом: Это автомат для сложения двоичных чисел произвольной длины

5. Может ли автомат перемножать числа произвольной длины? • Пусть такой автомат существует и имеет N состояний • Умножим с его помощью число 10N+1+1на себя: результат будет 10…010…01, где число нулей между соседними единичками равно N • После того, как на выходе появятся первые N+2цифры (исходное число), следующие N+1 цифр должны появится при пустом входе • Сначала должны появится N нулей, но после этого атомат перейдёт в одно из пройденных состояний и последняя единичка никогда на выходе не появится

6. Добавим к автомату бесконечную ленту • Автомат с присоединенной лентой и есть машина Тьюринга. • Вот как изображают результат в «википедиях» на различных языках.

7. Формальное определение машины Тьюринга • Алфавит (входной и выходной языки) • Состояния. Начальное и конечное состояния. • Функции перехода, вывода и сдвига вдоль ленты (R- вправо, L- влево, E - на месте). Их можно описать в форме таблицы, графа, набора «команд»

8. Пример машины Тьюринга • Проверка на чётность числа символов (единичек), записанных на ленте • q11 –> q2R* • q21 –> q1R* • q1* –> q0E чётное • q2 * –> q0E нечётное

9. Многоленточные и многоголовочные машины Тьюринга • Реализовать содержательный алгоритм на машине Тьюринга очень трудоёмко, поэтому рассматривают более удобные вариации машины Тьюринга, сводящиеся к ней. • Решим задачу проверки делимости натурального числа на меньшее: делимое будет записано на верхней ленте, а делитель – на нижней: q1(1,1) –> q1(R,R)(1,1) q1(1,*) –> q2(E,L)(1,*) q2(1,1) –> q2(E,L)(1,1) q2(1,*) –> q1(E,R)(1,*) q1(*,*) –> q0(E,E)(делится,*) q1(*,1) –> q0(E,E)(не делится,1)

10. Зачем придумали машину Тьюринга? • Проблема останова • Проблема самоприменимости • Предположим, что некто придумал алгоритм, который может определить, зацикливается ли любой представленный ему на анализ алгоритм или нормально заканчивает свою работу. • Теперь, когда у нас есть строгое понятие алгоритма, мы можем переформулировать задачу так: некто придумал машину Тьюринга A, которая, читая команды любой другой машины Тьюринга X, может определить, придёт ли она когда-нибудь в конечное состояние. • Тогда на основе этой машины Тьюринга мы сконструируем новуюмашину B, которая будет зацикливаться, при анализе машиной A останавливающейся машины X и останавливаться при анализе машиной A зацикливающейся машины X. • Теперь машину B мы представим на анализ машине A. Каков будет ответ? Если X будет проанализирована как останавливающаяся, это будет означать, что B зацикливается, но X=B!!!

11. Что должны знать все программисты? • Из изложенного следует, что у теории алгоритмов есть границы. Не для каждой задачи можно построить решающий её алгоритм. Это должен знать каждый программист, который не хочет потратить свою жизнь на создание «вечного двигателя». • Чем ещё полезна машина Тьюринга? • На формализации идеи алгоритма построена теория сложности алгоритмов. Оказывается, что есть такие алгоритмы, которые работают так долго, что практически применять их невозможно. • Для того, чтобы разделить «хорошие» алгоритмы от «плохих», рассмотрим понятие НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ машины Тьюринга.

12. Недетерминированная машина Тьюринга • Как построить машину Тьюринга для определения простоты числа на ленте? • Можно воспользоваться предыдущей машиной Тьюринга для определения делимости • Тогда для заданного числа N (N единичек на ленте) можно создать N-2 машины Тьюринга, на которых будет записано от 2 до N-1 единиц и запустить их всех сразу, если все машины дадут отрицательный результат, то число N-простое • Такая конструкция называется недетерминированной машиной Тьюринга • Понятно, что появление такого определения связано с решением задач «подбором» или более точно «перебором» всех вариантов

13. Как определяется сложность алгоритмов? • Предположим, что на ленте записано N символов и посчитаем, сколько шагов T сделает машина Тьюринга прежде, чем остановится. • Зависимость T(N) и можно рассматривать как меру сложности алгоритма • Для первого алгоритма (определение чётности числа) машина Тьюринга сделает N шагов, для второго (деление числа M на N) MN шагов • Но во втором случае мы рассматривали многоленточную машину Тьюринга. Если заменить её машиной с одной лентой, то шагов будет существенно больше. Может ли тогда трудоемкость иметь порядок T2, T3или больше? • Может, но это всегда будет степенная функция! Поэтому все такие алгоритмы объединяют в один класс сложности P –алгоритмы ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ сложности

14. Проблема на миллион долларов • В алгоритме для проверки простоты числа сразу работают N полиномиальных алгоритмов, класс сложности таких задач называют классом алгоритмов НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ сложности • До сих пор неизвестно, можно ли их свести к обычным «непереборным» алгоритмам. Эта задача называется задачей P≠NP и входит в число задач, поставленных для решения в XXI веке. • Например, существует «задача коммивояжера», состоящая в том, что надо найти кратчаший маршрут между городами, соединенными транспортной сетью. Проверить, что предложенный маршрут меньше какого либо заданного числа просто, но найти маршрут, длина которого меньше заданного числа, трудно. Это и демонстрирует суть проблемы P≠NP.

15. Задача о занятом бобре

16. Неоптимальное решение

17. Для тех, кто хочет попробовать себя в исследовании алгоритмов Сайт конкурса: www.kio.spb.ru/kio

18. Тьюрмиты и Тримувьи – плоские и пространственные машины Тьюринга

19. Галерея изображений, построенных трехмерной машиной Тьюринга

20. Журнал «Компьютерные инструменты в школе» Электронное приложение «Журнал в журнале»

21. Все, желающие найти статьи про машину Тьюринга, занятых бобров, тьюрмитов, тримувьев и прочее, могут получить БЕСПЛАТНЫЙ доступ к архивам журнала Для этого надо зарегистрироваться на сайте журнала и отправить электронное письмо с просьбой открыть архивы Позднякову С.Н.pozdnkov@mail.ru Сайт журнала: www.kio.spb.ru/journal