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6. エネルギーとその保存則. 6 ．１ 仕事 6 ．２ 仕事の一般的定義 6 ．３ 仕事率 6 ．４ 保存力と位置エネルギー 6 ．５ 運動方程式のエネルギー積分. 6 ．１ 仕事. Δ ｒ. Δ ｔ. 質量ｍの静止していた物体が力Ｆを受けて Δ ｔ秒間に Δ ｒだけ移動したとしよう。 物体が受ける仕事はＷ＝Ｆ Δ ｒである。 Δ ｔ秒間に Δ ｒだけ移動したのだから その間の平均速度は である。 しかし最初は v ＝０であった。ということは、 Δ ｔ秒後は になる。. 6 ．１ 仕事. Δ ｒ. Δ ｔ.
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6. エネルギーとその保存則 6．１ 仕事 6．２ 仕事の一般的定義 6．３ 仕事率 6．４ 保存力と位置エネルギー 6．５ 運動方程式のエネルギー積分
6．１ 仕事 Δｒ Δｔ 質量ｍの静止していた物体が力Ｆを受けてΔｔ秒間にΔｒだけ移動したとしよう。 物体が受ける仕事はＷ＝ＦΔｒである。 Δｔ秒間にΔｒだけ移動したのだから その間の平均速度は である。 しかし最初はv＝０であった。ということは、 Δｔ秒後は になる。
6．１ 仕事 Δｒ Δｔ 仕事mechanical workは、 と書くことができる。 力積(impact)はＦΔｔであり、これは運動量の変化量である。静止していた物体は、力を及ぼされたことにより運動量を獲得する。 仕事によって物体は力学的運動エネルギーを獲得する。
6．２ 仕事の一般的定義 力を及ぼして物体が位置ｒ１からｒnまで移動したとき、 物体に与えた（損した）総仕事量は以下のように力と変位の内積の集合として与えられる。 物体が獲得した仕事はエネルギーが保存するときは当然、 となる。
6．３ 仕事率 単位時間当たりの仕事を仕事率という。 仕事 仕事率
6．４ 保存力と位置エネルギー 仕事 が のように書けると仮定しよう。このとき、 は位置積分可能な関数でなければならない。U(r)をrにおける位置のエネルギー、あるいはポテンシャルエネルギーという。このとき以下の関係がある。
6．４ 保存力と位置エネルギー 物体がU(r)の下をrAからrBまで移動したとする。 位置エネルギーは から となる。物体は の運動エネルギーを得る。 位置エネルギーの変化量と物体が獲得する運動エネルギー量は等しい。 この性質は のときのみ成り立つ。このときＦを保存力という。
6．４ 保存力と位置エネルギー 力が のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力 Conservative force という。 このとき、 位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和 はいつも一定である。
6．５ 運動方程式のエネルギー積分 力が場所積分可能な場合に僕らの運動の式はどうなるのだろうか試してみよう。 0からxまで積分しよう。 位置エネルギー差と同じ量の運動エネルギーが発生する。
6．４ 保存力と位置エネルギー 力が のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力 Conservative force という。 このとき、 位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和 はいつも一定である。
6．４ 保存力と位置エネルギー もし、物体が保存力の力によりある地点から移動して、再び元に戻ったとする。このときポテンシャルエネルギーは出発時点ともとに戻った時点では変わらない。よって運動エネルギーも元に戻る。仕事ゼロ。エネルギーはもちろん保存する。
6．４ 保存力と位置エネルギー 問： 以下の力は保存力か？ １） 保存力 ２） 保存力 ３） 保存力ではない
6．４ 保存力と位置エネルギー 問 スカラー関数Ａは が常に成り立つことを示せ。
6．４ 保存力と位置エネルギー １） は保存力か？ もし ならば、 ならば、Fは保存力である。 保存力＆一回りで仕事ゼロ
6．４ 保存力と位置エネルギー ２） 保存力＆仕事ゼロ
6．４ 保存力と位置エネルギー C(0,b) B(a,b) O A(a,0) ３） 保存力ではない。一周した場合 仕事あり。 もし、 なら保存力だった。だから、余るのは kyである。OA,BCについて力kyの仕事が、一周したときの仕事。 仕事は-kba
簡単な問題 m k 重力がなく、空気抵抗もない空間で、図のように バネにつながれた質量ｍの物体を、自然長を 原点として、原点からx0だけ引き伸ばし、時刻 ゼロで手を離した。 １）時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。 ２）物体に働く力、F(t)を求めよ。 ３）力のF(t)のポテンシャルエネルギーを求めよ。 ４） x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ５） 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ６） -x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ７） 0からx0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 x
簡単な問題 m k １）時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。 ２）物体に働く力、F(t)を求めよ。 ３）力のF(t)のポテンシャルエネルギーを求めよ。 ４） x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 x
簡単な問題 m k ５） 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ６） -x0から0まで移動する時に物体がもらう 仕事を求めよ。 ７） 0からx0まで移動する時に物体がもらう 仕事を求めよ。 x
簡単な問題 以下の力は保存力か？ １． 保存力 ２． 保存力ではない ３． 万有引力 保存力 ４． 粘性抵抗力 保存力ではない
簡単な問題 力 は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。 １） ２） Y O X
簡単な問題 力 は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。 １） ２） Y Y Y O O O X X X
簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギーを求めよ。 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座標成分が fx=axy, fy=by2 (a,bは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。 X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕事を求めよ
簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力 ｆ の直角座標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギーを求めよ。 問：X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕事を求めよ。 円周： 弦：
6．４ 保存力と位置エネルギー 重力は と書けるとき保存力であり、位置エネルギー がmghのような関数で表現できる。 摩擦などがないときの重力下の運動は 保存力下の運動である。 これまで学んだ振り子の運動を保存力と 位置エネルギー観点から調べよう。 θ mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA1君:重力は保存力ですね。 TA2君:そうです。 TA3君:右図の振り子を考えましょう TA4君：考えます。 TA5君:運動方向の力は です。 TA1君:そうです。 TA2君:保存力なら力学的ポテンシャルUがある はずです。そして にならなければなりません。 TA3君:そうです。当たり前です。 TA4君:振り子を動かしているのは一定の重力だから、 ポテンシャルエネルギーはU=mgh のような形にならなければなりません。 θ mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA5君:そうです、別にいいじゃないか。 TA1君:良くありません、なんで が U=mghから出てくるか問題です。 TA2君:そうです。問題です。 TA3君:考えて下さい。 TA4君:考えましょう。 横軸をｘ、縦軸をｙとしましょう。 そして最下点x=0,y=0のポテンシャル エネルギーをゼロとしましょう。 TA5君:そうしましょう。 TA1君:振り子の円弧の運動の方向はθ方向です。 TA2君:そうです。 TA3君:よって運動の位置の変数はlθです。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA4君:そうなんですか？ TA5君:そうなんです、lが大きければ移動距離が 大きくなります。 TA1君:つまり、 の微分変数を lθにせよと言いたいんですか？ TA2君:そうです。 TA3君:ふ～ん、まあいいや、そうしましょう。 TA4君:積分しましょう。 TA5君:積分しましょう。 TA1君:Fを積分します。 TA2君:よくできました。でもCが分かりません。 TA3君:最下点のUはゼロです。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA4君:なるほど、そう決めました。 になります。それで？ TA5君: です。 TA1君:え、ああ、そうね、それで？ TA2君:だから、 TA3君:だから？ TA4君: です。これはmghの形です。 TA5君:なるほど、よくできました。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA1君:でも異議あり、 と勉強しました。だからｘ、ｙ微分積分を使いたいです。 TA2君: です。 だから、 です。 あれ？いや違う。変だ、待てよ・・・・ TA3君:どうしたの？これでいいじゃん。 TA4君:いや、ちょっと待って、ええっと・・・・ ｘ、ｙ積分を使うときは、 力もｘ、ｙ成分を使わなければなりませんでした。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA5君:そうなんですか？ TA1君:そうなんです。だから、 です。 TA2君:そうですね・・・ TA3君:積分しましょう。 TA4君:積分しましょう。 TA5君:Fを積分します。 TA1君:よくできました。でもCが分かりません。 TA2君:最下点のUはゼロです。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー TA3君:なるほど、そう決めました。 それで？ TA4君: です。これはmghの形です。 TA5君:なるほど、よくできました。 変数によって力の成分を使い分けなければ ならないんですね。 TA1君:そうみたいですね。 面白いですね。 TA2君:面白いですね。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー 重力は である。振り子の場合は運動は自由 ではなく の条件で束縛されている。即ち、ｘ、ｙ 成分は自由ではない。 運動は円弧の内に限られている。 円弧接線方向の力成分は、 である。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー そして運動はθ方向だから運動の式は、 となる。 ポテンシャルエネルギーは、運動の方向の 変数lθで力を積分して求める必要がある。 から、最下点０とすると となる。 だから、 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー Ｕは、 である。 重力 をｙ方向に積分して求めた場合、 と一致する。 それでは、よく近似的に用いられる、 θが小さいときの式 の場合のポテンシャルエネルギーはどうなるのだろう？ Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー この場合、力は だから、 である。もともと であった。θが小さいときはマクローリン 展開的近似ができる。 近似的運動の式も保存力とポテンシャルエネルギーの 理論に矛盾はない。 Y θ Ｘ O mg
6．４ 保存力と位置エネルギー m k 次にバネの運動を調べよう。 バネを引っ張り、時刻ゼロで手を離した 場合を考えよう。 バネ常数k, 粘性抵抗係数α、 自然長の位置をゼロとする、 時刻ゼロではバネの速度は当然ゼロ。
５．２ 減衰振動のまとめ 運動の式 ｔ=0でv=0のとき、 ①減衰振動 ②臨界制動 ③過減衰
6．４ 保存力と位置エネルギー 代表例として減衰振動を調べよう。 ①減衰振動 変位xのときバネのもつエネルギーは である。 おもりmがバネから貰う運動エネルギーを考えよう。
6．４ 保存力と位置エネルギー 抵抗が無いときの運動エネルギーとバネのエネルギー時間変化はグラフのように相互に入れ換わり二つの合計は常に一定である。 バネのエネルギー 二つの合計 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー 運動エネルギーとバネのエネルギーの位置による変化はグラフのようになる。運動エネルギーは位置を決めれば必ず決まる。バネのエネルギーはポテンシャルエネルギーとなる。保存力。 運動エネルギーK バネのエネルギー
6．４ 保存力と位置エネルギー 粘性抵抗が少し発生しβ=0.5のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともに減衰する。二つの合計も減衰する。バネのエネルギーは抵抗による熱などの運動エネルギーで はないエネルギー 変換される。 二つの合計 運動エネルギーK バネのエネルギー
6．４ 保存力と位置エネルギー β=0.5のとき、位置に対して運動エネルギーはいくつもの値をとる。保存力ではない抵抗が働く運動である。 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=１のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともにより速やかに減衰する。二つの合計も減衰する。 二つの合計 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=１のとき、運動エネルギーは位置に対して極めて非対象になり、且ついくつもの値をとる。 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=２と大きくなると、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともによりさらに速やかに減衰する。二つの合計も減衰する。 二つの合計 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=２のとき、運動エネルギー、位置エネルギーとも非対象になり、負の位置の振幅は非常に小さい。 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=５の臨界制動のとき、バネのエネルギーは振動せず減衰する。運動エネルギーはピークを1つ持ちその後減衰する。二つの合計エネルギーは振動せず減衰する。 二つの合計 5 バネのエネルギー 運動エネルギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー β=５の臨界制動のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは正の位置のみ。 5 バネの エネルギー 運動エネル ギーK
6．４ 保存力と位置エネルギー このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。→ TA1君チェックせよ。 → TA2君無限遠方をゼロとして ポテンシャルエネルギーを求めよ。
