第四节多元复合函数与隐函数求导

第四节多元复合函数与隐函数求导 一、多元复合函数的求导法则二、隐函数的微分法

设函数， 而u，v又都是x，y的函数于是是和复合而成的复合函数，其中u和v为中间变量。定理1：设函数在点(x,y)处有偏导数，在相应的点(u,v)处有连续的偏导数，则复合函数在点(x,y)处有偏导数，其满足：一、多元复合函数的求导法则以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。关于这个复合函数的导数我们有如下的定理：

证明： 只证第一个公式，第二个可同理证明。 — — 函数在相应点(u,v)处相应于Δx的全增量 — 由于有连续的偏导数，所以设自变量x有一改变量Δx,则相应地，u和v有改变量

其中当时，上式两边同除以得而这样，就有所以因而必有

成立。 同理可证例1 设函数解：多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。

- - - - - - - 对于具有三个中间变量的函数其中 u，v，w分别是x，y的函数，有

例2 设函数 - 解：令 - 则 - - - - - - 当然我们同理也可求得所以

则（1）例3 设函数解：令故 - - - 下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导：称之为全导数。

（2） 例4 设函数解：令

例5 设 - 连续偏导数，求解： - 则（3）抽象函数的求导方法及记号于是

- - 例6 解：注意：上式中的与不是一个概念。

例7 设 求 - 解： - 例8 设求 - - 解：

- 二、隐函数的微分法隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程F（x,y）=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y），它满足条件y0=f(x0), 且有公式证明：仅推导公式。

例9求由方程 所确定的隐函数y=f(x)的导数。 - - 解：设则 - - - 所以 - - 由于方程F（x，y）=0满足定理中的条件，所以它可以确定一个单值函数y=f(x,y)，这时有两边对x求导得再由已知条件有

- - 例10 设求 - - 隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程F（x,y,z）=0在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y,z），它满足条件z0=f(x0,y0),且有公式证明：（略）

解：设 - - 则 - - - - - - - - - - - - - - 所以

第四节 多元复合函数与隐函数求导