ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши.

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши.

2. Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х). • Их можно записать в виде где х — независимая переменная.

3. Наивысший порядокnвходящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

4. Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция, которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

5. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных постоянных C1, С2, ... , Сn: • Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

6. задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке) • краевая задача (дополнительные условия задаются в более чем одной точке)

7. Пример:

8. Решение задачи Коши. • сущность метода конечных разностей. состоит в следующем: • 1. область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек - узлами. Эти узлы составляют разностную сетку.

9. 2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (сеточной функцией). • 3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

10. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). • Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

11. Метод Эйлера. • Рассмотрим уравнение с начальным условием для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений х > x0.

12. 1.выбирается достаточно малый шаг и строится система равноотстоящих точек 2. Вычисляются

13. При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с вершинами .

14. Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2. • Погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: • где - значение точного решения уравнения при , • -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h . • - приближенное значение полученное с шагом h/2.

15. Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка • с начальными условиями

16. Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

17. Оценка погрешности в точке , полученная с помощью двойного пересчета, имеет вид: • где - значение точного решения уравнения при , • -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h . • - приближенное значение полученное с шагом h/2.

18. Метод Рунге-Кутта. • Рассмотрим уравнение с начальным условием

19. Если известно значение в точке , то вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

21. Многошаговые методы • Многошаговые методы -основаны на том, что для вычисления значения yi+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т. е. значения yi-k+1, yi-k+2, …, yi .

22. Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. • Запишем исходное уравнение в виде

23. Проинтегрируем обе части этого уравнения по х на отрезке • Интеграл от левой части легко вычисляется:

24. Для вычисления интеграла от правой части уравнения (2) строится сначала интерполяционный многочлен Pk-i степени k-1 для аппроксимации функции на отрезке по значениям

25. Таким образом,

26. Приравнивая выражения, полученные в (3) и (4), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1 в узле xi+1:

27. На основе предыдущей формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. • Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена Pk-i(x), для построения которого используются значения сеточной функции yi, yi-1 , …, yi-k+1, вычисленные на k предыдущих шагах.

28. Метод прогноза и коррекции. • Суть метода: • На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы: • с помощью явного метода по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле; • используя неявный метод, в результате итераций находятся приближения

29. разностные соотношения для k-ого шага метода прогноза и коррекции имеют вид:

30. Точность вычислений оценивается по формуле:

31. Метод Милна. • Для предсказания используем первую формулу Милна

32. Уточнение(коррекция) производится по второй формуле Милна

33. Для оценки точности вычислений используется формула: