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三角形的外心

三角形的外心. ？. 什麼是「外心」呢. 三角形三邊中垂線 ( 垂直平分線 ) 的交點稱為「外心」。. 外心的性質. 畫一個 △ ABC ， 利用尺規作圖畫出各 邊中垂線，這三條中垂線會交於一點， 這一 點稱之為「外心」。. A. C. 外心. B. ∵ L 1 為 AB 的中垂線 ∴ AO=B0. ∵ L 2 為 AC 的中垂線 ∴ AO=C0. ∵ L 3 為 BC 的中垂線 ∴ BO=C0. 因此 AO=BO=C0. 外心的性質. A. L 2. L 1. 外心. O. C. B. L 3. 三角形的外心到三頂點的距離相等.

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Presentation Transcript

  1. 三角形的外心 ？ 什麼是「外心」呢 三角形三邊中垂線(垂直平分線) 的交點稱為「外心」。

  2. 外心的性質 畫一個△ABC，利用尺規作圖畫出各 邊中垂線，這三條中垂線會交於一點， 這一 點稱之為「外心」。 A C 外心 B

  3. ∵ L1為AB的中垂線 ∴AO=B0 ∵ L2為AC的中垂線 ∴AO=C0 ∵ L3為BC的中垂線 ∴BO=C0 因此 AO=BO=C0 外心的性質 A L2 L1 外心 O C B L3 三角形的外心到三頂點的距離相等

  4. 外心的位置 利用尺規作圖知道銳角三角形的外心在「三角形內部」。 直角三角形以及鈍角三角形的外心一樣在三角形內部嗎？ Let’s go. 馬上利用尺規作圖畫畫看。 1. 銳角三角形 2. 直角三角形 3. 鈍角三角形 外心在三角形內部 外心在斜邊中點 外心在三角形外部

  5. 1.連接 AB、BC 、AC O 3.以外心 O 為圓心， AO 為半徑畫圓， 即為所求。 外接圓 任意A、B、C三點，求作一個通過此三點的圓。 作法 C 2.作三線段的中垂線，三中垂線相交於 O B A 同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的外接圓，圓心稱為此三角形的外心，而三角形稱為此圓的內接三角形。

  6. 例題1 直角三角形外接圓半徑 直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，試求△ABC 外接圓的半徑長。 ∵ △ABC 為直角三角形， ∴ BC ＝ ＝10， 解 BC 中點 O 即為外心， 故外接圓半徑＝ OB ＝10÷2＝5。

  7. 例題2 直角三角形的外心 如圖，外心 O 在斜邊中點上， 且 OA＋ OB＋ OC ＝15 又 OA＝ OB ＝ OC ∴ OA＝5，BC ＝10 解 有一個等腰直角三角形，其外心到三頂點的距離總和為 15，試求此三角形的面積。 ∴ 三角形的面積 ＝

  8. 例題3 外接圓的應用 ∵∠A＝ ∠BOC 解 如右圖，△ABC 中，∠A＝67°，O 為△ABC 外心，試求∠BOC。 A 如圖，畫出△ABC 的外接圓。 O ∴ ∠BOC ＝2∠A ＝2．67°＝134° B C

  9. 例題4 外接圓的應用 在優弧 QR 上任取一點 A， 解 ∵ ∠P＝128° ∴ QAR＝2．128°＝256° QPR ＝360°－QAR ＝360°－256°＝104° 如右圖，鈍角三角形PQR 中，∠P＝128°，若O 為△PQR 外心，試求∠QOR。 P 如圖，畫出△PQR 的外接圓。 Q R O A 故∠QOR＝104°。

  10. 四邊形的外接圓 任意三角形都有外接圓，那是否所有的四邊形都有外接圓呢？ 若四邊形ABCD 有外接圓，則此圓必通過 A、B、C 三點，即為△ABC 的外接圓，所以「四邊形ABCD 是否有外接圓」的問題就變成「D 點是否在△ABC 的外接圓上」。 作△ABC 的外接圓，探討則D 點的位置，有以下三種可能： D D D C C C A A A B B B 1. D 在圓內 2. D 在圓上 3. D 在圓外

  11. 四邊形的外接圓 1. D 在圓內 2. D 在圓上 3. D 在圓外 D D 2 1 D C C C A A A B B B ∠ADC＞∠1 ∠ADC＜∠2 ∠B＋∠ADC＞∠B＋∠1 ∠B＋∠ADC＜∠B＋∠2 ∠B＋∠ADC＞180° ∠B＋∠ADC＜180° ∠B＋∠D＝180° 若四邊形的對角互補，則此四邊形有外接圓。

  12. 例題5 四邊形外接圓 如右圖，圓 O 通過平行四邊形ABCD 的兩頂點 A、B，且分別與 AD、BC 交於E、F 兩點，試證C、D、E、F 四點在同一圓上。 • 如圖，連接 EF。 證明 (2)∵A、B、F、E 四點在同一圓上， ∴四邊形ABFE 為圓內接四邊形， 故∠A＝∠1 E A D (3)∵ABCD 為平行四邊形， ∴∠A＋∠D＝180° 1 B C F (4)由2、3知：∠1＋∠D＝180°， ∴四邊形CDEF 的對角互補， 因此四邊形CDEF 有外接圓， 故C、D、E、F 四點在同一圓上。

  13. 例題6 四邊形外接圓的應用 證明 (1) ∵ PC 為切線 ∴∠1＝∠2＝ 同理∠3＝∠4＝ 如圖，兩圓交於A、B 兩點，過 A 點作直線分別交兩圓於 C、D 兩點，分別過 C、D 兩點作切線交於 P 點，連接 BC、BD，試證 P、C、B、D 四點共圓。 P 1 A (2) △PCD 中， ∠P＋∠1＋∠3＝180°， ∠P＋∠2＋∠4＝180°， ∠P＋∠CBD＝180°， ∴ P、C、B、D 四點共圓。 3 D C 2 4 B

  14. 重點回顧 三角形三邊中垂線(垂直平分線)的交點稱為「外心」。 1. 三角形的外心到三頂點的距離相等 2. 銳角三角形的外心在圓內、直角三角形的外心在斜邊中點、鈍角三角形的外心在圓外。 3. 同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的 外接圓，圓心稱為此三角形的 外心，而三角形稱為此圓的 內接三角形。 4. 若四邊形的對角互補，則此四邊形有外接圓。 5.

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