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三角形的外心. ?. 什麼是「外心」呢. 三角形三邊中垂線 ( 垂直平分線 ) 的交點稱為「外心」。. 外心的性質. 畫一個 △ ABC , 利用尺規作圖畫出各 邊中垂線,這三條中垂線會交於一點, 這一 點稱之為「外心」。. A. C. 外心. B. ∵ L 1 為 AB 的中垂線 ∴ AO=B0. ∵ L 2 為 AC 的中垂線 ∴ AO=C0. ∵ L 3 為 BC 的中垂線 ∴ BO=C0. 因此 AO=BO=C0. 外心的性質. A. L 2. L 1. 外心. O. C. B. L 3. 三角形的外心到三頂點的距離相等.
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三角形的外心 ? 什麼是「外心」呢 三角形三邊中垂線(垂直平分線) 的交點稱為「外心」。
外心的性質 畫一個△ABC,利用尺規作圖畫出各 邊中垂線,這三條中垂線會交於一點, 這一 點稱之為「外心」。 A C 外心 B
∵ L1為AB的中垂線 ∴AO=B0 ∵ L2為AC的中垂線 ∴AO=C0 ∵ L3為BC的中垂線 ∴BO=C0 因此 AO=BO=C0 外心的性質 A L2 L1 外心 O C B L3 三角形的外心到三頂點的距離相等
外心的位置 利用尺規作圖知道銳角三角形的外心在「三角形內部」。 直角三角形以及鈍角三角形的外心一樣在三角形內部嗎? Let’s go. 馬上利用尺規作圖畫畫看。 1. 銳角三角形 2. 直角三角形 3. 鈍角三角形 外心在三角形內部 外心在斜邊中點 外心在三角形外部
1.連接 AB、BC 、AC O 3.以外心 O 為圓心, AO 為半徑畫圓, 即為所求。 外接圓 任意A、B、C三點,求作一個通過此三點的圓。 作法 C 2.作三線段的中垂線,三中垂線相交於 O B A 同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的外接圓,圓心稱為此三角形的外心,而三角形稱為此圓的內接三角形。
例題1 直角三角形外接圓半徑 直角三角形 ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,試求△ABC 外接圓的半徑長。 ∵ △ABC 為直角三角形, ∴ BC = =10, 解 BC 中點 O 即為外心, 故外接圓半徑= OB =10÷2=5。
例題2 直角三角形的外心 如圖,外心 O 在斜邊中點上, 且 OA+ OB+ OC =15 又 OA= OB = OC ∴ OA=5,BC =10 解 有一個等腰直角三角形,其外心到三頂點的距離總和為 15,試求此三角形的面積。 ∴ 三角形的面積 =
例題3 外接圓的應用 ∵∠A= ∠BOC 解 如右圖,△ABC 中,∠A=67°,O 為△ABC 外心,試求∠BOC。 A 如圖,畫出△ABC 的外接圓。 O ∴ ∠BOC =2∠A =2.67°=134° B C
例題4 外接圓的應用 在優弧 QR 上任取一點 A, 解 ∵ ∠P=128° ∴ QAR=2.128°=256° QPR =360°-QAR =360°-256°=104° 如右圖,鈍角三角形PQR 中,∠P=128°,若O 為△PQR 外心,試求∠QOR。 P 如圖,畫出△PQR 的外接圓。 Q R O A 故∠QOR=104°。
四邊形的外接圓 任意三角形都有外接圓,那是否所有的四邊形都有外接圓呢? 若四邊形ABCD 有外接圓,則此圓必通過 A、B、C 三點,即為△ABC 的外接圓,所以「四邊形ABCD 是否有外接圓」的問題就變成「D 點是否在△ABC 的外接圓上」。 作△ABC 的外接圓,探討則D 點的位置,有以下三種可能: D D D C C C A A A B B B 1. D 在圓內 2. D 在圓上 3. D 在圓外
四邊形的外接圓 1. D 在圓內 2. D 在圓上 3. D 在圓外 D D 2 1 D C C C A A A B B B ∠ADC>∠1 ∠ADC<∠2 ∠B+∠ADC>∠B+∠1 ∠B+∠ADC<∠B+∠2 ∠B+∠ADC>180° ∠B+∠ADC<180° ∠B+∠D=180° 若四邊形的對角互補,則此四邊形有外接圓。
例題5 四邊形外接圓 如右圖,圓 O 通過平行四邊形ABCD 的兩頂點 A、B,且分別與 AD、BC 交於E、F 兩點,試證C、D、E、F 四點在同一圓上。 • 如圖,連接 EF。 證明 (2)∵A、B、F、E 四點在同一圓上, ∴四邊形ABFE 為圓內接四邊形, 故∠A=∠1 E A D (3)∵ABCD 為平行四邊形, ∴∠A+∠D=180° 1 B C F (4)由2、3知:∠1+∠D=180°, ∴四邊形CDEF 的對角互補, 因此四邊形CDEF 有外接圓, 故C、D、E、F 四點在同一圓上。
例題6 四邊形外接圓的應用 證明 (1) ∵ PC 為切線 ∴∠1=∠2= 同理∠3=∠4= 如圖,兩圓交於A、B 兩點,過 A 點作直線分別交兩圓於 C、D 兩點,分別過 C、D 兩點作切線交於 P 點,連接 BC、BD,試證 P、C、B、D 四點共圓。 P 1 A (2) △PCD 中, ∠P+∠1+∠3=180°, ∠P+∠2+∠4=180°, ∠P+∠CBD=180°, ∴ P、C、B、D 四點共圓。 3 D C 2 4 B
重點回顧 三角形三邊中垂線(垂直平分線)的交點稱為「外心」。 1. 三角形的外心到三頂點的距離相等 2. 銳角三角形的外心在圓內、直角三角形的外心在斜邊中點、鈍角三角形的外心在圓外。 3. 同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的 外接圓,圓心稱為此三角形的 外心,而三角形稱為此圓的 內接三角形。 4. 若四邊形的對角互補,則此四邊形有外接圓。 5.