A ’

1. A B ω dr r R σ A’ 例8-1： 如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为σ的剩余电荷。假定圆盘绕其轴线AA′以角速度ω转动，磁场B 的方向垂直于转轴AA′，试求磁场作用于圆盘的力矩大小和方向。 解：将圆盘分成许多同心 圆环，取一半径为 r 宽度 为 dr 的圆环，环上电荷： dq =σ2πrdr 环以ω角速度转动的电流： dI = dqω/2π=ωσrdr 相应磁矩大小：dpm =πr2 dI =πσωr3 dr

2. dpm A dM B ω dpm方向垂直圆盘向上 (σ＞0)，相应环上受 的磁力矩为： dM=Bdpm=πσωr3 Bdr ( ∵dpm⊥B ) 由于所有环的磁力矩dM方向垂直B 向里(σ＞0)，所以圆盘所受的磁力矩大小为： M =  dM = 0Rπσωr3 Bdr =1 /4πσωR4 B  dr r R σ A’

3. pm A M B ω dpm方向垂直圆盘向上 (σ＞0)，相应环上受 的磁力矩为： dM=Bdpm=πσωr3 Bdr ( ∵dpm⊥B ) 由于所有环的磁力矩dM方向垂直B 向里(σ＞0)，所以圆盘所受的磁力矩大小为： M =  dM = 0Rπσωr3 Bdr =1 /4πσωR4 B 磁力矩 M 的方向垂直 B 向里。 R σ A’

4. 例：有一流过强度 I = 10 A 电流的圆线圈，放在等于 0.015 T ( 特斯拉 )的匀强磁场中,处于平衡位置，线圈直径 d = 12 cm。使线圈以它的直径为轴转过  =  / 2时，求外力所必需作的功 A；如果转角  = 2，必需作的功又为多少？ 解：初态，平衡位置，M = pm B= 0；  pm B  S1 B  1 = 0 m1 =  B · dS = B · S1 = B S 末态，  =  / 2  2 = 1+  =  / 2 m2 = B · S2 = 0

5. m1 = BS，m2 = 0。 磁力作功：A = I ( m2 - m1 ) = - I m1 外力作功： A外= - A = I m1 = 10  0.015  3.14 (0.12)2  4 = 1.7  10 -3 J 当  = 2 时，2’ = 2， m2’ = B · S2 = B S. 磁力作功：A’ = I ( m2’- m1 ) = I ( BS - BS ) = 0 外力作功： A外’= - A’ = 0

6. 例：均匀磁场 B沿水平方向，有一竖直平面内的圆形线圈可绕通过其圆心的轴 OO’ 以角速度  转动。已知线圈内产生的感应电流为 i = Io sin t ( 忽略自感，且 t = 0 时，线圈平面法向沿着 B )，若线圈半径为 R ，试求： ( 不计轴上摩擦 )(1) 在转动过程中，该 线圈所受的磁力矩 (2) 为维持匀速转动， 外界需供给的平均 功率 o B i o’

7. 解：(1) 已知 i = Io sin t t 时刻，线圈绕轴 OO’ 转动角度 t 。 磁矩：pm(t) = i S =IoR2 sin t 磁力矩：M(t) = pm(t) B sin t = Io B R2 sin2t M方向：垂直画面向里  o pm M  t B B i o,o’ o’

8. 解法 1：(t) =  B . dS = B. S = BR2 cos t d = - BR2 sin t dt 磁力矩作功： A(t) = 12 i(t) d = - 0t Iosint BR2sint dt = - 0t IoBR2 sin2t dt 平均功率： <P磁>= A( T ) / T = - 0T IoBR2 sin2t dt / T = - IoBR2 / 2 <P外>= - <P磁>= IoBR2 / 2

9. 解法 2： M(t) = Io B R2 sin2t dA = - M d ( 负号表示 M 顺时针方向与逆时针相反 ) 功率： P磁 (t) = dA /dt = - M d /dt = - M  = - IoB R2 sin2t 平均功率：<P磁>= 0T P磁 (t)dt /T = - 0T IoB R2 sin2t dt / T = - IoB R2 / 2 <P外>= - <P磁>= IoBR2 / 2

10. μ I d l μ I d 解：  o dB = = o π π 4 R 4 2 R μ I d  B =  dB =  o I π 4 R 2  μ I Idl o = d π 4 R R O  μ I l o = π 4 R 2 例：试求半径为 R 的圆弧中心的磁场。

11. I R o dS Io r B 例8-4 求圆截面的无限长载流直导线的磁场分布。设导线的半径为 R，电流I均匀通过横截面，导线的磁导为 o，导线外介质磁导率为  。 解：根据对称性， H只与 r 有关， H的方向沿切线方向。 1、r < R ∮H · dl =∮H dl = 2rH ΣIo = r2I/R2 = Ir2/R2  2rH = Ir2/R2  H = Ir/2R2, B = oIr/2R2

12. I R r B B H μ μ I I I 0 π π 2 2 R R π 2 R r r 0 R 0 R 2、r＞R ∮H · dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看，磁场分布与全部电流 I 集中在轴线上相同。

13. 12-2 在半径为 R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为 r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为 a ，今在此导体上通以电流 I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上 O’点的磁感应强度的大小为 ——— 。 R I O a  r o’

14. 12-2 在半径为 R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为 r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为 a ，今在此导体上通以电流 I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上 O’点的磁感应强度的大小为 ——— 。 R R  I I’ O O a   r o’

15. 12-2 在半径为 R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为 r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为 a ，今在此导体上通以电流 I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上 O’点的磁感应强度的大小为 ——— 。 R R  I O O a  r  r o’ o’

16. 12-2 在半径为 R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为 r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为 a ，今在此导体上通以电流 I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上 O’点的磁感应强度的大小为 ——— 。 R R  I I’ O O a   r  r o’ o’

17. 解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。 R I’ O   r o’

18. 解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。 大实心圆柱体通电电流： I’ = I R2/ ( R2- a2 ) 大实心圆柱体产生磁场： B’R(a) = o a I’/2R2 R I’ O  a o’

19. 解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。 大实心圆柱体通电电流： I’ = I R2/ ( R2- a2 ) 大实心圆柱体产生磁场： B’R(a) = o a I’/2R2 通电小圆柱体产生磁场为： Br(0) = 0 R O  r o’

20. 解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。解：可视为通电大实心圆柱体与反向通电小圆柱体产生磁场的迭加。 大实心圆柱体通电电流： I’ = I R2/ ( R2- a2 ) 大实心圆柱体产生磁场： B’R(a) = o a I’/2R2 通电小圆柱体产生磁场为： Br(0) = 0 BO’ = B’R(a) - Br(0) = o a I’/2R2 = o a I /2( R2- a2 ) R I’ O  a  r o’

21. 12-4 将通有电流 I 的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为 R ，求圆心 O 点的磁感应强度。 R o I

22. 12-4 将通有电流 I 的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为 R ，求圆心 O 点的磁感应强度。 解：半无限长导线 1 在 O 点的磁场：B1 = o I /4R R o 1 I

23. 12-4 将通有电流 I 的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为 R ，求圆心 O 点的磁感应强度。 解：半无限长导线 1 在 O 点的磁场：B1 = o I /4R 半圆环圆心 O 的磁场： B2 = o I /4R =o I /4R 2 R o I

24. 12-4 将通有电流 I 的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为 R ，求圆心 O 点的磁感应强度。 解：半无限长导线 1 在 O 点的磁场：B1 = o I /4R 半圆环圆心 O 的磁场： B2 = o I /4R =o I /4R 半无限长导线 3 在延长线 上的磁场：B3 = 0 R 3 o I

25. 12-4 将通有电流 I 的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为 R ，求圆心 O 点的磁感应强度。 解：半无限长导线 1 在 O 点的磁场：B1 = o I /4R 半圆环圆心 O 的磁场： B2 = o I /4R =o I /4R 半无限长导线 3 在延长线 上的磁场：B3 = 0 故总磁感应强度：B = o I /4R + o I /4R 2 R 3 o 1 I

26. 12-8 一无限长通电流的扁平铜片，宽度为 a ，厚度不计，电流 I 在铜片上均匀分布。在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为 b 处的 P 点的磁感应强度 B 的大小为 ——————。 I P a b x

27. 12-8 一无限长通电流的扁平铜片，宽度为 a ，厚度不计，电流 I 在铜片上均匀分布。在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为 b 处的 P 点的磁感应强度 B 的大小为 ——————。 解：在 x 处 , dx 宽无限 长通电流: dI =Idx /a 在 P 点的磁感应强度: dB =o dI /2 (a+b-x) =oIdx /2a(a+b-x) B =o aoIdx /2a(a+b-x) =oI ln[(a+b)/b] / 2a I x dx P a b x

28. 13-1 有一无限长载流导线通有电流 I1，在其旁有一长为 a ，通电为 I2 的导体细棒，两者相互垂直，但不共面，棒的一端到长直导线的距离也为 a ，求导体细棒所受磁力。 解：长载流导线 I1的磁场： B = o I1 / 2 r 电流元 I dl 所受磁力： df = I2dl B sin =I2dl sin o I1 / 2 r = o I1 I2 dr / 2 r y B dr dl a r I2   o I1 a

29. 磁力：df = o I1 I2 dr / 2 r 磁力 df方向为垂直纸面向外：  f = df =  a1.414 a o I1 I2 dr / 2 r = o I1 I2 ln 1.414 / 2 磁力f方向为垂 直纸面向外：  y B dr f  a r I2   o I1 a